Exercícios: Lei da Gravitação Universal e leis de Kepler

Enuncie a Lei da Gravitação Universal de Newton com suas próprias palavras. Na sua resposta, diga de quais grandezas a força de atração gravitacional entre dois corpos depende e escreva a expressão matemática correspondente, indicando o significado de cada símbolo.

Duas esferas de massas $m_1 = 4{,}0\ \text{kg}$ e $m_2 = 6{,}0\ \text{kg}$ estão com os centros separados por uma distância de $2{,}0\ \text{m}$. Considere $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$. Calcule o módulo da força gravitacional com que uma esfera atrai a outra.

A Primeira Lei de Kepler (Lei das Órbitas) e a Segunda Lei de Kepler (Lei das Áreas) descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Enuncie cada uma delas e explique, em uma frase, o que a Segunda Lei diz sobre a velocidade de um planeta no periélio (ponto mais próximo do Sol) em comparação com o afélio (ponto mais distante).

Dois corpos se atraem com uma força gravitacional de módulo $F$. Responda, justificando com a expressão da Lei da Gravitação Universal, qual será o novo valor da força (em função de $F$) nos casos abaixo:

1. a) a distância entre os centros dos corpos é triplicada, sem alterar as massas;

1. b) a massa de um dos corpos é dobrada e a distância entre os centros é reduzida à metade.

Um planeta tem massa $M = 8{,}0 \times 10^{23}\ \text{kg}$ e raio $R = 2{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$. Considere $G = 6{,}7 \times 10^{-11}\ \text{N·m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Calcule a aceleração da gravidade na superfície desse planeta.

1. b) Calcule o peso, nessa superfície, de uma astronauta de massa $60\ \text{kg}$ e compare-o com o peso dela na Terra, onde $g = 10\ \text{m/s}^2$.

Um asteroide hipotético orbita o Sol com semieixo maior igual a $4$ UA (unidades astronômicas), em que $1$ UA é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de $1$ ano. Usando a Terceira Lei de Kepler, $T^2/a^3 = \text{constante}$, calcule o período de translação desse asteroide em anos e explique por que ele é maior que o da Terra.

Um satélite artificial de massa $500\ \text{kg}$ descreve uma órbita circular a uma altura de $6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$ acima da superfície da Terra. Considere o raio da Terra $R_T = 6{,}4 \times 10^{6}\ \text{m}$, a aceleração da gravidade na superfície $g_0 = 10\ \text{m/s}^2$ e despreze a rotação da Terra.

1. a) Determine a aceleração da gravidade na altura da órbita, em função de $g_0$ e calcule seu valor.

1. b) Calcule o módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre o satélite.

1. c) Explique por que os astronautas dentro de um satélite em órbita flutuam, apesar de a gravidade ali não ser nula.

Dois satélites, A e B, giram em órbitas circulares em torno do mesmo planeta. O raio da órbita de A é $r_A = 9{,}0 \times 10^{6}\ \text{m}$ e o de B é $r_B = 3{,}6 \times 10^{7}\ \text{m}$. O período de A é $T_A = 2{,}0\ \text{h}$.

1. a) Usando a Terceira Lei de Kepler, determine o período de B.

1. b) Partindo da igualdade entre a força gravitacional e a força centrípeta, mostre que a velocidade orbital de um satélite é $v = \sqrt{GM/r}$ e calcule a razão $v_A/v_B$.

1. c) Discuta se a massa de cada satélite influencia o seu período e a sua velocidade orbital, justificando com as expressões obtidas.