Gases ideais e leis da Termodinâmica
Larissa enche o pneu da bicicleta com uma bomba manual e, depois de alguns bombeamentos rápidos, percebe que o corpo da bomba está quente. De onde veio esse calor, se ela não colocou a bomba perto de nenhuma chama? Para responder, vamos entender como pressão, volume e temperatura de um gás se relacionam e como a energia se conserva quando um gás troca calor e trabalho.
O gás ideal e a equação de Clapeyron
Um gás é feito de moléculas que se movem em todas as direções e batem nas paredes do recipiente. Essas batidas produzem a pressão. Quanto mais rápido elas se movem, maior a temperatura do gás.
O gás ideal é um modelo: as moléculas são minúsculas, quase não interagem entre si e só trocam energia ao colidir. Gases reais, em pressões não muito altas e temperaturas não muito baixas, se comportam quase assim (ar, oxigênio, nitrogênio).
Para uma quantidade fixa de gás, pressão, volume e temperatura estão ligados pela equação de Clapeyron:
Valores de $R$: $R = 0{,}082\ \text{atm}\cdot\text{L/(mol}\cdot\text{K)}$ quando $P$ está em atm e $V$ em litros; $R = 8{,}31\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ quando $P$ está em Pa e $V$ em m³.
Por que kelvin? Porque a temperatura em kelvin é proporcional à energia média de movimento das moléculas. Em $0\ \text{K}$ essa energia seria mínima; em $0\,^\circ\text{C}$ ela não é zero, e a equação daria resultados absurdos. A conversão é $T = \theta + 273$.
Escreva a equação de estado de um gás ideal e identifique o que representa cada grandeza ($P$, $V$, $n$, $R$ e $T$). Indique também em qual escala de temperatura $T$…
Escreva a equação de estado de um gás ideal e identifique o que representa cada grandeza ($P$, $V$, $n$, $R$ e $T$). Indique também em qual escala de temperatura $T$ deve ser usada nessa equação.
Determine a quantidade de matéria de um gás ideal contido em um recipiente de $8{,}2\ \text{L}$, a pressão de $3{,}0\ \text{atm}$ e temperatura de $300\ \text{K}$. Use…
Determine a quantidade de matéria de um gás ideal contido em um recipiente de $8{,}2\ \text{L}$, a pressão de $3{,}0\ \text{atm}$ e temperatura de $300\ \text{K}$. Use $R = 0{,}082\ \text{atm}\cdot\text{L/(mol}\cdot\text{K)}$.
Transformações gasosas
Quando uma massa fixa de gás muda de estado, $n$ não varia. Dividindo a equação de Clapeyron entre o estado inicial e o final, obtemos a lei geral dos gases:
$$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$$Se uma das três grandezas fica constante, aparece um caso particular:
| Transformação | Constante | Relação | Nome da lei |
|---|---|---|---|
| Isotérmica | $T$ | $P_1 V_1 = P_2 V_2$ | Boyle |
| Isobárica | $P$ | $\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}$ | Charles (Gay-Lussac) |
| Isocórica (isovolumétrica) | $V$ | $\dfrac{P_1}{T_1} = \dfrac{P_2}{T_2}$ | Gay-Lussac (Charles) |
O porquê de cada uma: na isotérmica, se você comprime o gás, as moléculas têm menos espaço e batem mais vezes na parede, então $P$ sobe. Na isobárica, se você aquece, as moléculas ficam mais rápidas e empurram o êmbolo até o volume crescer. Na isocórica, o volume não muda, então aquecer só pode aumentar a pressão.
Uma massa fixa de gás ideal sofre uma transformação isotérmica em que o volume passa de $4{,}0\ \text{L}$ para $2{,}0\ \text{L}$. Se a pressão inicial era de…
Uma massa fixa de gás ideal sofre uma transformação isotérmica em que o volume passa de $4{,}0\ \text{L}$ para $2{,}0\ \text{L}$. Se a pressão inicial era de $1{,}0\ \text{atm}$, calcule a pressão final do gás.
Em um recipiente rígido de volume constante, Rafael mantém um gás ideal a $27\,^\circ\text{C}$ e pressão de $2{,}0\ \text{atm}$. O gás é aquecido até…
Em um recipiente rígido de volume constante, Rafael mantém um gás ideal a $27\,^\circ\text{C}$ e pressão de $2{,}0\ \text{atm}$. O gás é aquecido até $127\,^\circ\text{C}$. Identifique o tipo de transformação e calcule a pressão final do gás, lembrando de converter as temperaturas para Kelvin.
Trabalho de um gás
Quando um gás se expande, empurra o êmbolo e realiza trabalho sobre o ambiente. Se a pressão é constante (isobárica):
$$W = P \cdot \Delta V = P\,(V_f - V_i)$$Com $P$ em Pa e $V$ em m³, $W$ sai em joules. (Alguns livros escrevem $\tau$ no lugar de $W$.)
-
Expansão ($\Delta V > 0$): $W > 0$, o gás realiza trabalho.
-
Compressão ($\Delta V < 0$): $W < 0$, o ambiente realiza trabalho sobre o gás.
-
Isocórica ($\Delta V = 0$): $W = 0$.
Em um gráfico $P \times V$, o trabalho é numericamente a área sob a curva entre $V_i$ e $V_f$.
Primeira lei da Termodinâmica
A primeira lei é a conservação da energia aplicada a um gás. A energia interna $U$ do gás (a soma das energias de movimento das moléculas) varia quando ele troca calor ($Q$) e trabalho ($W$) com o meio:
Para um gás ideal, $U$ depende só da temperatura: $T$ sobe $\Rightarrow$ $\Delta U > 0$; $T$ constante $\Rightarrow$ $\Delta U = 0$; $T$ cai $\Rightarrow$ $\Delta U < 0$.
Casos importantes:
| Transformação | Consequência |
|---|---|
| Isotérmica | $\Delta U = 0$, logo $Q = W$ |
| Isocórica | $W = 0$, logo $\Delta U = Q$ |
| Adiabática (sem troca de calor) | $Q = 0$, logo $\Delta U = -W$ |
Um gás recebe $500\ \text{J}$ de calor e realiza $200\ \text{J}$ de trabalho ao se expandir. Usando a primeira lei da Termodinâmica, $\Delta U = Q - W$, calcule a…
Um gás recebe $500\ \text{J}$ de calor e realiza $200\ \text{J}$ de trabalho ao se expandir. Usando a primeira lei da Termodinâmica, $\Delta U = Q - W$, calcule a variação da energia interna do gás.
Um gás ideal sofre uma expansão isobárica à pressão de $2{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$, passando de $1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ para…
Um gás ideal sofre uma expansão isobárica à pressão de $2{,}0\times10^{5}\ \text{Pa}$, passando de $1{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$ para $4{,}0\times10^{-3}\ \text{m}^3$. Nesse processo, o gás recebe $900\ \text{J}$ de calor. Calcule o trabalho realizado pelo gás e a variação da sua energia interna.
Várias etapas e análise do processo
Em problemas com mais de uma transformação, resolva etapa por etapa, sempre em kelvin, e use a lei geral $\dfrac{P_1V_1}{T_1} = \dfrac{P_2V_2}{T_2}$ em cada uma. Depois compare o estado final com o inicial: como $U$ depende só de $T$, basta comparar as temperaturas.
Uma amostra de gás ideal ocupa $2{,}0\ \text{L}$ a $300\ \text{K}$ e $1{,}0\ \text{atm}$. Primeiro ela sofre uma expansão isobárica até o volume de $4{,}0\ \text{L}$. Em…
Uma amostra de gás ideal ocupa $2{,}0\ \text{L}$ a $300\ \text{K}$ e $1{,}0\ \text{atm}$. Primeiro ela sofre uma expansão isobárica até o volume de $4{,}0\ \text{L}$. Em seguida, sofre um resfriamento isocórico até que a pressão se reduza a $0{,}5\ \text{atm}$. Determine a temperatura do gás ao final de cada etapa e compare a temperatura final com a inicial. Discuta se a energia interna do gás aumentou ou diminuiu no processo completo, justificando.
Uma bomba manual de encher pneu de bicicleta é fechada na saída e o êmbolo é empurrado rapidamente, comprimindo o ar. Larissa nota que a bomba esquenta. Analise a…
Uma bomba manual de encher pneu de bicicleta é fechada na saída e o êmbolo é empurrado rapidamente, comprimindo o ar. Larissa nota que a bomba esquenta. Analise a situação usando a primeira lei da Termodinâmica, explicando o sinal de $W$, o valor aproximado de $Q$ (compressão rápida) e o que acontece com $\Delta U$ e com a temperatura. Depois, considere que o trabalho realizado sobre o gás foi de $150\ \text{J}$ e que não houve troca de calor, e calcule $\Delta U$.