Intensidade e fluxo em distribuições de carga

Um dipolo elétrico é um conjunto de duas cargas iguais e de sinal contrário, $+q$ e $-q$, muito próximas entre si; a molécula de água, por exemplo, comporta-se como um dipolo. Desenhe no caderno as linhas de campo de um dipolo.

1. a) Em que carga nascem as linhas de campo e em qual terminam?
2. b) Assinale no seu desenho uma região onde o campo seja intenso e outra onde seja fraco, justificando por meio da densidade de linhas.

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Duas cargas positivas iguais estão próximas uma da outra. Desenhe no caderno as linhas de campo delas.

1. a) O que acontece com o campo total no ponto médio do segmento que une as cargas? Relacione isso com o aspecto do seu desenho.
2. b) Duas linhas de campo podem se cruzar em um ponto? Justifique o que significaria um cruzamento para o vetor $\vec{E}$ nesse ponto.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Considere um dipolo formado pelas cargas $+q$ e $-q$, e estes pontos do espaço: os do eixo que une as cargas (fora do segmento) e os da mediatriz (a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto médio). Desenhe no caderno os vetores campo de cada carga nesses pontos.

1. a) Justifique para onde aponta o campo total num ponto do eixo situado fora do segmento (analise qual campo domina e o seu sentido).
2. b) Justifique para onde aponta o campo total num ponto da mediatriz (dica: repare nas componentes que se cancelam e nas que se somam).

Você pode fazê-lo em papel e enviar uma foto com a sua resposta.

O fluxo do campo elétrico através de uma superfície plana situada em um campo uniforme é definido como $\Phi = E \cdot S \cdot \cos \alpha$. Observe o esquema:

1. a) Identifique o que cada símbolo da fórmula representa, incluindo o ângulo $\alpha$.
2. b) Indique a unidade do fluxo no Sistema Internacional, construindo-a a partir das unidades de $E$ e de $S$.

Um campo elétrico uniforme $E = 500\ \text{N/C}$ atravessa perpendicularmente uma superfície plana de $0,2\ \text{m}^2$ (a normal à superfície é paralela ao campo, $\alpha = 0^\circ$). Calcule o fluxo do campo através da superfície.

Uma folha plana de $0,5\ \text{m}^2$ encontra-se dentro de um campo elétrico uniforme $E = 300\ \text{N/C}$, orientada de modo que as linhas de campo fiquem paralelas à folha. Observe o esquema:

1. a) Quanto vale o ângulo $\alpha$ entre o campo e a normal à folha?
2. b) Calcule o fluxo através da folha e explique, pensando nas linhas de campo, por que razão se obtém esse valor.

Um campo elétrico uniforme $E = 200\ \text{N/C}$ atravessa uma superfície plana de $0,5\ \text{m}^2$ cuja normal faz um ângulo de $60^\circ$ com o campo ($\cos 60^\circ = 0,5$). Calcule o fluxo do campo através da superfície.

Um campo elétrico uniforme $E = 4\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ atravessa uma superfície retangular de $30\ \text{cm}$ por $10\ \text{cm}$ cuja normal faz um ângulo de $45^\circ$ com o campo ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).

1. a) Expresse a área da superfície em $\text{m}^2$.
2. b) Calcule o fluxo do campo através dela.

Uma moldura quadrada de $0,1\ \text{m}^2$ pode girar dentro de um campo elétrico uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$. Mede-se o fluxo para diferentes orientações ($\cos 30^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$).

1. a) Calcule o fluxo quando a normal à moldura forma com o campo os ângulos $\alpha = 0^\circ$, $30^\circ$, $60^\circ$ e $90^\circ$.
2. b) Descreva como seria o gráfico do fluxo em função de $\alpha$ entre $0^\circ$ e $180^\circ$ e justifique por que o fluxo pode ser negativo.
3. c) Explique o que significa fisicamente um fluxo negativo, em termos de linhas de campo.

O teorema de Gauss afirma que o fluxo resultante do campo elétrico através de uma superfície fechada depende unicamente da carga líquida encerrada em seu interior. A figura mostra uma carga externa próxima de uma superfície fechada.

1. a) Se uma superfície fechada não encerra nenhuma carga, quanto vale o fluxo resultante através dela?
2. b) Significa isso que o campo elétrico é nulo em todos os pontos da superfície? Justifique a resposta considerando uma carga pontual situada fora da superfície, mas muito perto dela.

Uma caixa cúbica de aresta $a = 10\ \text{cm}$ está imersa em um campo elétrico uniforme $E = 3\cdot10^{3}\ \text{N/C}$, paralelo a uma de suas arestas. A caixa não contém nenhuma carga. Observe o esquema:

1. a) Calcule o fluxo através de cada uma das seis faces do cubo, indicando o sinal em cada caso (convenção: o fluxo é positivo quando as linhas saem da superfície fechada e negativo quando entram).
2. b) Calcule o fluxo resultante através de toda a superfície do cubo e explique, com o teorema de Gauss, por que razão tem esse valor.

Uma carga pontual $Q = 6\ \text{nC}$ está no interior de uma superfície esférica (considere $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Aplique o teorema de Gauss, $\Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$, e calcule o fluxo resultante do campo através da esfera.
2. b) O resultado mudaria se a esfera tivesse o dobro do raio? Justifique.

Uma cúpula hemisférica de raio $R = 0,3\ \text{m}$, com a sua base horizontal, está imersa em um campo elétrico uniforme e vertical $E = 400\ \text{N/C}$. Observe o esquema:

1. a) Justifique que o fluxo através da superfície curva da cúpula é o mesmo que através da sua projeção horizontal (o círculo da base): as linhas de campo que atravessam o hemisfério são exatamente as que atravessam a sua base.
2. b) Calcule esse fluxo.
3. c) Se a cúpula fosse fechada com a sua base plana, formando uma superfície fechada sem carga no seu interior, quanto valeria o fluxo líquido? Explique como se compensam os fluxos da parte curva e da base.

Uma carga pontual $Q = 4\ \text{nC}$ está situada fora de uma superfície esférica fechada, a uma certa distância dela (dados: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Quanto vale o fluxo resultante do campo através da esfera? Aplique o teorema de Gauss e justifique o resultado.
2. b) O campo elétrico também é nulo nos pontos da superfície? Justifique a diferença entre fluxo resultante e campo em cada ponto.
3. c) Calcule o campo criado por $Q$ no ponto da esfera mais próximo dela, situado a $30\ \text{cm}$ da carga.

Uma carga $Q = 3\ \text{nC}$ está contida no interior de uma superfície fechada de forma irregular (por exemplo, a superfície de uma mochila), sem que a carga esteja no centro (considere $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Calcule o fluxo resultante do campo através da superfície.
2. b) Se a carga se deslocar para outra posição, sempre no interior da superfície, o fluxo resultante se altera? E o fluxo através de cada porção da superfície separadamente? Justifique ambas as respostas.

Uma superfície fechada envolve as cargas $Q_1 = 7\ \text{nC}$ e $Q_2 = -2\ \text{nC}$; uma terceira carga $Q_3 = 8\ \text{nC}$ está situada fora da superfície (considere $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a carga líquida envolvida pela superfície.
2. b) Calcule o fluxo resultante do campo através dela.
3. c) Justifique por que $Q_3$ não interfere no cálculo, embora contribua para o campo elétrico em cada ponto da superfície.
4. d) Se $Q_2$ passasse a valer $-7\ \text{nC}$, quanto valeria o fluxo resultante? Isso significaria que o campo é nulo na superfície? Justifique a resposta.

Um medidor registra o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada dividida em duas regiões: pela região 1 o fluxo é $\Phi_1 = -200\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (as linhas entram) e pela região 2 é $\Phi_2 = +350\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (as linhas saem); não existem outras regiões (considere $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). A figura mostra as duas regiões e o sentido das linhas.

1. a) Calcule o fluxo resultante através da superfície completa.
2. b) Deduza o sinal da carga líquida encerrada e calcule o seu valor aplicando a lei de Gauss.
3. c) Justifique o que aconteceria com os dois fluxos medidos se a carga encerrada dobrasse, mantendo-se tudo o resto igual.

Um dipolo é formado pelas cargas $q_1 = +1\ \text{nC}$ e $q_2 = -1\ \text{nC}$, separadas por $20\ \text{cm}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o campo (módulo, direção e sentido) que cada carga cria no ponto médio do segmento que as une.
2. b) Calcule o campo total nesse ponto.
3. c) Compare o resultado com o campo no ponto médio entre duas cargas iguais do mesmo sinal e explique a diferença.

Duas cargas $q_1 = +2\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ ocupam os pontos $(10, 0)$ e $(-10, 0)$, com as coordenadas em centímetros (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). Estuda-se o ponto $P(0, 10)$. A figura mostra a geometria da situação.

1. a) Calcule a distância de cada carga ao ponto $P$.
2. b) Calcule o módulo do campo que cada carga cria em $P$.
3. c) Desenhe os dois vetores no caderno e justifique quais componentes se cancelam entre si e quais se somam.
4. d) Calcule o módulo do campo total em $P$ e indique sua direção e seu sentido.

Você pode fazer isso no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Um dipolo é formado pelas cargas $q_1 = +2\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$, separadas por $10\ \text{cm}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Estuda-se um ponto do eixo do dipolo situado a $50\ \text{cm}$ do seu centro, do lado da carga positiva.

1. a) Determine a distância do ponto a cada uma das cargas.
2. b) Calcule o campo (módulo e sentido) que cada carga cria nesse ponto.
3. c) Calcule o campo total e indique o seu sentido.
4. d) Os dois campos quase se cancelam, porque as distâncias são semelhantes e as cargas, opostas: use esta ideia para explicar por que o campo de um dipolo diminui com a distância muito mais rapidamente do que o de uma carga isolada.

Considere um dipolo formado pelas cargas $+q$ e $-q$ (considere $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$ para o item c)).

1. a) Justifique, desenhando no seu caderno os vetores campo de cada carga, se existe algum ponto do plano, a distância finita, onde o campo total do dipolo seja nulo. Analise separadamente: o eixo fora do segmento, o eixo entre as cargas, a mediatriz e um ponto genérico fora dessas retas.
2. b) Conclua onde se anula realmente o campo de um dipolo.
3. c) Calcule o fluxo líquido através de uma superfície fechada que envolve todo o dipolo e relacione-o com o fato de as suas linhas de campo começarem em $+q$ e terminarem em $-q$.

Duas cargas idênticas $q = 4\ \text{nC}$ estão separadas por uma distância $d = 20\ \text{cm}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Estuda-se o campo nos pontos da mediatriz do segmento que as une, a uma distância $y$ do ponto médio. A figura mostra a geometria.

1. a) Justifique, por simetria, que o campo total na mediatriz é perpendicular ao segmento que une as cargas (quais componentes se cancelam?).
2. b) Calcule o módulo do campo total para $y = 0$, para $y = 10\ \text{cm}$ e para $y = 20\ \text{cm}$.
3. c) Calcule também o módulo para $y = 7\ \text{cm}$.
4. d) O campo é nulo em $y = 0$ e tende a zero quando $y$ é muito grande, mas no início aumenta com $y$: justifique, com os quatro valores calculados, que deve existir um máximo intermediário e determine entre quais distâncias ele se encontra.

Um programa de simulação desenha o mapa de linhas do campo elétrico de uma distribuição de cargas: numa região A, $12$ linhas atravessam cada $\text{cm}^2$ perpendicular ao campo, e numa região B, apenas $4$ linhas. Observe o esquema:

1. a) Que relação existe entre os módulos do campo em A e em B? Justifique a partir do significado da densidade de linhas.
2. b) Se na região B o campo vale $200\ \text{N/C}$, calcule o fluxo através de uma superfície de $0,05\ \text{m}^2$, perpendicular ao campo, situada na região A.
3. c) O número de linhas que atravessam uma superfície é proporcional ao fluxo, e as linhas apenas começam ou terminam onde há cargas: utilize essas duas ideias para explicar qualitativamente o teorema de Gauss, ou seja, por que o fluxo líquido através de uma superfície fechada «conta» a carga envolvida.

Você pode fazer no papel e enviar uma foto com a sua resposta.

Uma carga pontual $Q = 4\ \text{nC}$ está no centro de uma superfície esférica de raio $R = 0,2\ \text{m}$ (dados: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$; $K = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o fluxo líquido através da esfera aplicando o teorema de Gauss.
2. b) Por simetria, o campo é radial e tem o mesmo módulo em todos os pontos da esfera, de modo que $\Phi = E \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2$. Isole $E$ e calcule o seu valor.
3. c) Calcule o mesmo campo com a lei de Coulomb, $E = K \cdot \frac{Q}{R^2}$, e verifique que coincide.
4. d) Tire uma conclusão sobre a relação entre o teorema de Gauss e a lei de Coulomb.