Energia e potencial elétrico

Duas cargas pontuais $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ estão separadas por $0,3\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial elétrica do sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interprete o sinal do resultado: ao afastar as cargas até o infinito, é necessário fornecer energia ou ela é liberada? Relacione isso com o fato de as cargas se repelirem.

Para que dois prótons possam se fundir no interior do Sol, eles devem vencer a sua repulsão elétrica e se aproximar muitíssimo (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). A figura mostra a energia potencial do par de prótons em função da sua distância.

1. a) Calcule a energia potencial elétrica de dois prótons separados por uma distância $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Expresse o resultado em elétron-volts.
3. c) Justifique por que a repulsão elétrica dificulta a fusão e qual é o papel da altíssima temperatura do interior solar para superá-la.

Duas cargas $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, fixas em suportes isolantes, passam de uma separação de $1\ \text{m}$ para uma separação de $0,25\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial elétrica inicial e final do sistema.
2. b) Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente externo no processo, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Justifique o sinal do resultado: por que é necessário fornecer trabalho para aproximar duas cargas que se repelem?
4. d) Quanto vale, nesse mesmo processo, o trabalho realizado pelo campo elétrico? Relacione-o com o do agente externo.

Uma pequena esfera do laboratório tem uma carga $Q = 3\,\mu\text{C}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o potencial elétrico a $0,5\ \text{m}$ da esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indique o sinal do potencial e justifique em que local se convenciona $V = 0$.

O potencial elétrico é uma grandeza escalar; o campo elétrico, vetorial.

1. a) Explique que diferença prática isto acarreta ao somar, num ponto, as contribuições de várias cargas.
2. b) O potencial num ponto pode ser negativo? Dê um exemplo.
3. c) Que sinal tem o potencial criado por uma carga positiva?

Uma carga $q = 2\,\mu\text{C}$ encontra-se em um ponto onde o potencial é $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcule a sua energia potencial elétrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Se a carga, que é positiva, se movesse espontaneamente para um ponto de menor potencial, justifique se a sua energia potencial aumentaria ou diminuiria.

Em um gerador de Van de Graaff do laboratório mede-se um potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ do centro da esfera carregada (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e suponha a carga pontual).

1. a) Isole a carga da expressão $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ e calcule o seu valor.
2. b) Quanto valeria o potencial ao dobro da distância? Justifique a proporcionalidade utilizada.

Duas cargas $q_1 = 4\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ estão, respectivamente, a $0,3\ \text{m}$ e a $0,5\ \text{m}$ de um ponto P (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o potencial criado por cada carga em P.
2. b) Calcule o potencial total em P.
3. c) Explique por que aqui as contribuições se somam diretamente como números, enquanto para o campo elétrico é necessário somar vetores.

A partir da expressão do trabalho $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduza a equivalência $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explique o que significa haver entre os polos de uma bateria de automóvel uma diferença de potencial de $12\ \text{V}$, em termos da energia de cada coulomb de carga que a atravessa.
3. c) Indique quais destas expressões equivalem a um volt: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Uma carga $q = 5\,\mu\text{C}$ se desloca de um ponto A, com potencial $V_A = 200\ \text{V}$, até um ponto B, com $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Justifique, a partir do sinal do resultado, se o campo «empurra» espontaneamente a carga nesse sentido do deslocamento.

Uma carga $q = -3\,\mu\text{C}$ desloca-se de um ponto A ($V_A = 500\ \text{V}$) até um ponto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcule o trabalho realizado pelo campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interprete o sinal negativo do resultado: é um deslocamento espontâneo ou deve ser realizado por um agente externo?
3. c) Justifique para onde essa carga negativa se moveria espontaneamente: para potenciais maiores ou para potenciais menores?

Entre os dois eletrodos planos de um detector de fumaça por ionização, separados por $d = 5\ \text{cm}$, existe um campo elétrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a diferença de potencial entre os eletrodos, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcule o trabalho realizado pelo campo sobre um íon positivo de carga $+e$ que se desloca do eletrodo positivo para o negativo.
3. c) Verifique que o resultado coincide com o calculado por meio de $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ e explique por que isso tem de ser assim.

Numa região, as superfícies equipotenciais são planos paralelos. Dois deles, separados por $2\ \text{cm}$, têm potenciais $V_1 = 300\ \text{V}$ e $V_2 = 100\ \text{V}$. Observe o esquema:

1. a) Calcule o campo elétrico entre os dois planos, supondo-o uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indique a sua direção e o seu sentido (o campo aponta no sentido dos potenciais decrescentes).
2. b) Calcule o trabalho realizado pelo campo ao deslocar uma carga $q = 2\ \text{nC}$ do plano de $300\ \text{V}$ para o de $100\ \text{V}$.
3. c) Um aluno desloca a carga primeiro «de lado», sem sair do plano de $300\ \text{V}$, e só depois a leva até o plano de $100\ \text{V}$ por um caminho quebrado. Justifique, utilizando o fato de o campo elétrico ser conservativo (o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final), que o trabalho total é o mesmo que no item b), e calcule o trabalho do trecho «de lado».

Na física de partículas utiliza-se muito o elétron-volt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Expresse em joules uma energia de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifique a equivalência anterior calculando, com $W = q \cdot \Delta V$, a energia que um elétron ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial de $1\ \text{V}$.

Entre o interior e o exterior de uma célula existe uma diferença de potencial de cerca de $70\ \text{mV}$, sendo o interior negativo (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). A figura mostra o esquema da membrana.

1. a) Expresse essa diferença de potencial em volts e indique quanta energia é necessária, no mínimo, para transportar um coulomb de carga positiva do interior para o exterior contra o campo.
2. b) Calcule a energia necessária para transportar um íon sódio $\text{Na}^+$ (carga $+e$) do interior para o exterior, em joules e em elétrons-volt.

Um detector registra partículas muito energéticas (dado: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Uma partícula registrada tem uma energia de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: expresse-a em elétrons-volt.
2. b) Uma partícula alfa emitida em um decaimento nuclear tem uma energia de $5\ \text{MeV}$: expresse-a em joules.
3. c) Explique, comparando os números anteriores, por que o elétron-volt é uma unidade conveniente na física atômica e nuclear.

Num microscópio eletrônico, um elétron parte do repouso e é acelerado através de uma diferença de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do elétron $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a energia cinética que o elétron ganha, em joules e em elétrons-volt.
2. b) Aplique a conservação da energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, e calcule a velocidade final dele.

Na fase de aceleração de um equipamento de prótonterapia (tratamento de tumores com feixes de prótons), um próton parte do repouso em um ponto A com $V_A = 3000\ \text{V}$ e chega a um ponto B com $V_B = 500\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do próton $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcule a energia potencial perdida pelo próton entre A e B.
2. b) Aplique a conservação da energia mecânica e calcule a velocidade do próton em B.
3. c) Justifique, com base no sinal da carga e na variação da energia potencial, se o próton poderia se mover espontaneamente em sentido contrário, de B para A.

Duas cargas idênticas $q = 5\ \text{nC}$ ocupam os pontos $(0, 0)$ e $(0, 40)$, com as coordenadas em centímetros (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Justifique, desenhando os vetores no seu caderno, que o campo elétrico total no ponto médio $P(0, 20)$ é nulo.
2. b) Calcule o potencial elétrico nesse mesmo ponto P.
3. c) Tire uma conclusão: é verdade que onde o campo é nulo o potencial também é?

Duas cargas pontuais $q_1 = 6\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Estabeleça a condição $V = 0$ em um ponto do eixo e expresse-a como uma relação entre as distâncias a cada carga: que relação deve ser satisfeita entre $r_1$ e $r_2$?
2. b) Encontre o ponto do eixo, entre as duas cargas, em que o potencial se anula.
3. c) Encontre o ponto do eixo, à direita de $q_2$, em que o potencial também se anula.
4. d) Justifique por que não existe nenhum ponto com $V = 0$ à esquerda de $q_1$.

Três cargas idênticas $q = 1\ \text{nC}$ são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $10\ \text{cm}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial de cada par de cargas.
2. b) Some as contribuições de todos os pares e calcule a energia potencial total do sistema.
3. c) Interprete o resultado como o trabalho total necessário para «montar» a distribuição trazendo as cargas, uma a uma, desde o infinito.
4. d) Justifique por que, em um sistema qualquer de cargas, não basta calcular a energia de um par e multiplicar pelo número de pares: que condição se verifica neste caso que torna isso possível?

Um colega seu afirma: «se em um ponto o campo elétrico é nulo, o potencial também é nulo; e se o potencial é nulo, o campo também é» (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refute a primeira afirmação com um exemplo numérico: calcule a posição no segmento entre as cargas $q_1 = 9\ \text{nC}$ e $q_2 = 4\ \text{nC}$, separadas por $1\ \text{m}$, onde o campo é nulo, e calcule o potencial nesse ponto.
2. b) Refute a segunda afirmação com outro exemplo numérico: calcule o potencial e o campo no ponto médio entre as cargas $q_1 = +5\ \text{nC}$ e $q_2 = -5\ \text{nC}$, separadas por $40\ \text{cm}$.
3. c) Explique, a partir das definições de campo (vetorial) e de potencial (escalar), por que ambas as afirmações são falsas em geral.

Durante uma tempestade com trovoadas, a base de uma nuvem pode estar a um potencial de cerca de $10^{8}\ \text{V}$ em relação ao solo, e um raio chega a transferir uma carga de $20\ \text{C}$ (dado: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcule a energia liberada no raio, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Expresse-a em quilowatts-hora.
3. c) O consumo elétrico mensal de uma residência é de cerca de $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compare os dois valores e justifique por que, apesar dessa enorme energia, é tão difícil aproveitar a dos raios (pense na potência instantânea e na imprevisibilidade das descargas).