Exercícios: Energia e potencial elétrico

Uma pequena esfera do laboratório tem uma carga $Q = 3\,\mu\text{C}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o potencial elétrico a $0,5\ \text{m}$ da esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indique o sinal do potencial e justifique em que local se convenciona $V = 0$.

O potencial elétrico é uma grandeza escalar; o campo elétrico, vetorial.

1. a) Explique que diferença prática isto acarreta ao somar, num ponto, as contribuições de várias cargas.
2. b) O potencial num ponto pode ser negativo? Dê um exemplo.
3. c) Que sinal tem o potencial criado por uma carga positiva?

Uma carga $q = 2\,\mu\text{C}$ encontra-se em um ponto onde o potencial é $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcule a sua energia potencial elétrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Se a carga, que é positiva, se movesse espontaneamente para um ponto de menor potencial, justifique se a sua energia potencial aumentaria ou diminuiria.

A partir da expressão do trabalho $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Deduza a equivalência $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explique o que significa haver entre os polos de uma bateria de automóvel uma diferença de potencial de $12\ \text{V}$, em termos da energia de cada coulomb de carga que a atravessa.
3. c) Indique quais destas expressões equivalem a um volt: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Uma carga $q = 5\,\mu\text{C}$ se desloca de um ponto A, com potencial $V_A = 200\ \text{V}$, até um ponto B, com $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcule o trabalho realizado pelo campo elétrico, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Justifique, a partir do sinal do resultado, se o campo «empurra» espontaneamente a carga nesse sentido do deslocamento.

Na física de partículas utiliza-se muito o elétron-volt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Expresse em joules uma energia de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifique a equivalência anterior calculando, com $W = q \cdot \Delta V$, a energia que um elétron ganha ao ser acelerado por uma diferença de potencial de $1\ \text{V}$.

Duas cargas pontuais $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ estão separadas por $0,3\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial elétrica do sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interprete o sinal do resultado: ao afastar as cargas até o infinito, é necessário fornecer energia ou ela é liberada? Relacione isso com o fato de as cargas se repelirem.

Entre o interior e o exterior de uma célula existe uma diferença de potencial de cerca de $70\ \text{mV}$, sendo o interior negativo (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). A figura mostra o esquema da membrana.

1. a) Expresse essa diferença de potencial em volts e indique quanta energia é necessária, no mínimo, para transportar um coulomb de carga positiva do interior para o exterior contra o campo.
2. b) Calcule a energia necessária para transportar um íon sódio $\text{Na}^+$ (carga $+e$) do interior para o exterior, em joules e em elétrons-volt.

Em um gerador de Van de Graaff do laboratório mede-se um potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ do centro da esfera carregada (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ e suponha a carga pontual).

1. a) Isole a carga da expressão $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ e calcule o seu valor.
2. b) Quanto valeria o potencial ao dobro da distância? Justifique a proporcionalidade utilizada.

Duas cargas $q_1 = 4\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ estão, respectivamente, a $0,3\ \text{m}$ e a $0,5\ \text{m}$ de um ponto P (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule o potencial criado por cada carga em P.
2. b) Calcule o potencial total em P.
3. c) Explique por que aqui as contribuições se somam diretamente como números, enquanto para o campo elétrico é necessário somar vetores.

Uma carga $q = -3\,\mu\text{C}$ desloca-se de um ponto A ($V_A = 500\ \text{V}$) até um ponto B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcule o trabalho realizado pelo campo, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interprete o sinal negativo do resultado: é um deslocamento espontâneo ou deve ser realizado por um agente externo?
3. c) Justifique para onde essa carga negativa se moveria espontaneamente: para potenciais maiores ou para potenciais menores?

Um detector registra partículas muito energéticas (dado: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Uma partícula registrada tem uma energia de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: expresse-a em elétrons-volt.
2. b) Uma partícula alfa emitida em um decaimento nuclear tem uma energia de $5\ \text{MeV}$: expresse-a em joules.
3. c) Explique, comparando os números anteriores, por que o elétron-volt é uma unidade conveniente na física atômica e nuclear.

Num microscópio eletrônico, um elétron parte do repouso e é acelerado através de uma diferença de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do elétron $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a energia cinética que o elétron ganha, em joules e em elétrons-volt.
2. b) Aplique a conservação da energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, e calcule a velocidade final dele.

Para que dois prótons possam se fundir no interior do Sol, eles devem vencer a sua repulsão elétrica e se aproximar muitíssimo (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). A figura mostra a energia potencial do par de prótons em função da sua distância.

1. a) Calcule a energia potencial elétrica de dois prótons separados por uma distância $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Expresse o resultado em elétron-volts.
3. c) Justifique por que a repulsão elétrica dificulta a fusão e qual é o papel da altíssima temperatura do interior solar para superá-la.

Duas cargas idênticas $q = 5\ \text{nC}$ ocupam os pontos $(0, 0)$ e $(0, 40)$, com as coordenadas em centímetros (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Justifique, desenhando os vetores no seu caderno, que o campo elétrico total no ponto médio $P(0, 20)$ é nulo.
2. b) Calcule o potencial elétrico nesse mesmo ponto P.
3. c) Tire uma conclusão: é verdade que onde o campo é nulo o potencial também é?

Entre os dois eletrodos planos de um detector de fumaça por ionização, separados por $d = 5\ \text{cm}$, existe um campo elétrico uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dado: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observe o esquema:

1. a) Calcule a diferença de potencial entre os eletrodos, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcule o trabalho realizado pelo campo sobre um íon positivo de carga $+e$ que se desloca do eletrodo positivo para o negativo.
3. c) Verifique que o resultado coincide com o calculado por meio de $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ e explique por que isso tem de ser assim.

Na fase de aceleração de um equipamento de prótonterapia (tratamento de tumores com feixes de prótons), um próton parte do repouso em um ponto A com $V_A = 3000\ \text{V}$ e chega a um ponto B com $V_B = 500\ \text{V}$ (dados: carga elementar $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa do próton $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcule a energia potencial perdida pelo próton entre A e B.
2. b) Aplique a conservação da energia mecânica e calcule a velocidade do próton em B.
3. c) Justifique, com base no sinal da carga e na variação da energia potencial, se o próton poderia se mover espontaneamente em sentido contrário, de B para A.

Duas cargas pontuais $q_1 = 6\ \text{nC}$ e $q_2 = -2\ \text{nC}$ encontram-se sobre o eixo $x$, em $x_1 = 0$ e $x_2 = 1\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Estabeleça a condição $V = 0$ em um ponto do eixo e expresse-a como uma relação entre as distâncias a cada carga: que relação deve ser satisfeita entre $r_1$ e $r_2$?
2. b) Encontre o ponto do eixo, entre as duas cargas, em que o potencial se anula.
3. c) Encontre o ponto do eixo, à direita de $q_2$, em que o potencial também se anula.
4. d) Justifique por que não existe nenhum ponto com $V = 0$ à esquerda de $q_1$.

Duas cargas $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ e $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, fixas em suportes isolantes, passam de uma separação de $1\ \text{m}$ para uma separação de $0,25\ \text{m}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial elétrica inicial e final do sistema.
2. b) Calcule o trabalho que deve ser realizado por um agente externo no processo, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Justifique o sinal do resultado: por que é necessário fornecer trabalho para aproximar duas cargas que se repelem?
4. d) Quanto vale, nesse mesmo processo, o trabalho realizado pelo campo elétrico? Relacione-o com o do agente externo.

Três cargas idênticas $q = 1\ \text{nC}$ são colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado $10\ \text{cm}$ (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcule a energia potencial de cada par de cargas.
2. b) Some as contribuições de todos os pares e calcule a energia potencial total do sistema.
3. c) Interprete o resultado como o trabalho total necessário para «montar» a distribuição trazendo as cargas, uma a uma, desde o infinito.
4. d) Justifique por que, em um sistema qualquer de cargas, não basta calcular a energia de um par e multiplicar pelo número de pares: que condição se verifica neste caso que torna isso possível?

Um colega seu afirma: «se em um ponto o campo elétrico é nulo, o potencial também é nulo; e se o potencial é nulo, o campo também é» (considere $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refute a primeira afirmação com um exemplo numérico: calcule a posição no segmento entre as cargas $q_1 = 9\ \text{nC}$ e $q_2 = 4\ \text{nC}$, separadas por $1\ \text{m}$, onde o campo é nulo, e calcule o potencial nesse ponto.
2. b) Refute a segunda afirmação com outro exemplo numérico: calcule o potencial e o campo no ponto médio entre as cargas $q_1 = +5\ \text{nC}$ e $q_2 = -5\ \text{nC}$, separadas por $40\ \text{cm}$.
3. c) Explique, a partir das definições de campo (vetorial) e de potencial (escalar), por que ambas as afirmações são falsas em geral.

Numa região, as superfícies equipotenciais são planos paralelos. Dois deles, separados por $2\ \text{cm}$, têm potenciais $V_1 = 300\ \text{V}$ e $V_2 = 100\ \text{V}$. Observe o esquema:

1. a) Calcule o campo elétrico entre os dois planos, supondo-o uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, e indique a sua direção e o seu sentido (o campo aponta no sentido dos potenciais decrescentes).
2. b) Calcule o trabalho realizado pelo campo ao deslocar uma carga $q = 2\ \text{nC}$ do plano de $300\ \text{V}$ para o de $100\ \text{V}$.
3. c) Um aluno desloca a carga primeiro «de lado», sem sair do plano de $300\ \text{V}$, e só depois a leva até o plano de $100\ \text{V}$ por um caminho quebrado. Justifique, utilizando o fato de o campo elétrico ser conservativo (o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final), que o trabalho total é o mesmo que no item b), e calcule o trabalho do trecho «de lado».

Durante uma tempestade com trovoadas, a base de uma nuvem pode estar a um potencial de cerca de $10^{8}\ \text{V}$ em relação ao solo, e um raio chega a transferir uma carga de $20\ \text{C}$ (dado: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcule a energia liberada no raio, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Expresse-a em quilowatts-hora.
3. c) O consumo elétrico mensal de uma residência é de cerca de $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compare os dois valores e justifique por que, apesar dessa enorme energia, é tão difícil aproveitar a dos raios (pense na potência instantânea e na imprevisibilidade das descargas).