Tiempo de vuelo, altura máxima y alcance horizontal
Nayra patea un balón desde el suelo en la cancha del colegio y quiere saber tres cosas: cuánto tiempo estará en el aire, qué altura alcanzará y a qué distancia caerá. ¿Con qué ángulo debería patear para que llegue lo más lejos posible? En esta página lo resolvemos con unas pocas fórmulas.
Dos movimientos en uno
Ya sabes que el movimiento parabólico se compone de dos movimientos independientes. En horizontal es un MRU, y en vertical es un MRUV con aceleración $-g$.
Todo empieza descomponiendo la velocidad inicial $v_0$, que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal:
$$v_{0x} = v_0\cos\theta \qquad v_{0y} = v_0\operatorname{sen}\theta$$Esta página trata del lanzamiento desde el suelo que vuelve al mismo nivel. Usa $g = 10\ \text{m/s}^2$ cuando el enunciado lo indique, y $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ en los demás casos.
Tiempo de vuelo
En vertical, el proyectil sube, se frena, llega a $v_y = 0$ y baja. Como sale y vuelve al mismo nivel, la subida y la bajada duran lo mismo.
El tiempo de subida sale de $v_y = v_{0y} - g\,t = 0$:
$$t_{sub} = \frac{v_0\operatorname{sen}\theta}{g}$$El tiempo de vuelo es el doble, porque la bajada dura igual que la subida:
Mira que $t_v$ depende solo de la parte vertical de la velocidad, $v_{0y}$. La velocidad horizontal no influye en cuánto tarda en caer.
Un proyectil se lanza desde el suelo con una velocidad de $40\ \text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$. Calcula el tiempo de vuelo y explica cuánto tarda en subir hasta el…
Un proyectil se lanza desde el suelo con una velocidad de $40\ \text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$. Calcula el tiempo de vuelo y explica cuánto tarda en subir hasta el punto más alto.
Altura máxima
En el punto más alto $v_y = 0$. Con la ecuación $v_y^2 = v_{0y}^2 - 2g\,h$ y $v_y = 0$ resulta:
Su porqué es sencillo: es como lanzar un objeto hacia arriba con $v_{0y}$. Solo cuenta la parte vertical de la velocidad.
Valentina lanza una pelota desde el suelo con una velocidad de $30\ \text{m/s}$ y un ángulo de $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\operatorname{sen}53^\circ = 0{,}8$ y…
Valentina lanza una pelota desde el suelo con una velocidad de $30\ \text{m/s}$ y un ángulo de $53^\circ$ con la horizontal. Usa $\operatorname{sen}53^\circ = 0{,}8$ y $\cos 53^\circ = 0{,}6$. Calcula el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance horizontal.
Alcance horizontal
El alcance $R$ es la distancia horizontal recorrida durante todo el vuelo. En horizontal hay MRU, por lo tanto:
$$R = v_{0x}\cdot t_v = v_0\cos\theta \cdot \frac{2\,v_0\operatorname{sen}\theta}{g}$$Con la identidad $2\operatorname{sen}\theta\cos\theta = \operatorname{sen}2\theta$ queda:
Una pelota se lanza desde el suelo con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ y un ángulo de $45^\circ$. Calcula su alcance horizontal con $g = 10\ \text{m/s}^2$.
Una pelota se lanza desde el suelo con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ y un ángulo de $45^\circ$. Calcula su alcance horizontal con $g = 10\ \text{m/s}^2$.
Qué ángulo da más alcance
Con $v_0$ fija, el alcance depende de $\operatorname{sen}2\theta$. Este valor es máximo, igual a 1, cuando $2\theta = 90^\circ$. Por eso el alcance máximo se logra con $\theta = 45^\circ$:
$$R_{m\acute{a}x} = \frac{v_0^2}{g}$$Hay una segunda regularidad. Dos ángulos complementarios (que suman $90^\circ$) dan el mismo alcance, porque $\operatorname{sen}(180^\circ - 2\theta) = \operatorname{sen}2\theta$. Por ejemplo, $30^\circ$ y $60^\circ$, o $15^\circ$ y $75^\circ$.
| Ángulo | Trayectoria | Altura y tiempo |
|---|---|---|
| menor que $45^\circ$ | rasante, tensa | poca altura, vuelo corto |
| $45^\circ$ | alcance máximo | intermedios |
| mayor que $45^\circ$ | de globo, alta | mucha altura, vuelo largo |
Prueba $30^\circ$ y luego $60^\circ$ en el interactivo. El alcance es el mismo, pero la curva de $60^\circ$ sube más y tarda más.
Calcular el ángulo de tiro
Si conoces $R$ y $v_0$, despeja el ángulo:
$$\operatorname{sen}2\theta = \frac{R\,g}{v_0^2}$$Para un proyectil lanzado desde el suelo y que vuelve al mismo nivel, indica el ángulo de lanzamiento que da el alcance horizontal máximo y explica qué ocurre con la…
Para un proyectil lanzado desde el suelo y que vuelve al mismo nivel, indica el ángulo de lanzamiento que da el alcance horizontal máximo y explica qué ocurre con la altura máxima y con el tiempo de vuelo cuando el ángulo se aproxima a $90^\circ$.
Un jugador patea un balón con una velocidad de $25\ \text{m/s}$ y quiere que caiga a $40\ \text{m}$ de distancia, sobre el mismo nivel. Calcula los dos ángulos de tiro…
Un jugador patea un balón con una velocidad de $25\ \text{m/s}$ y quiere que caiga a $40\ \text{m}$ de distancia, sobre el mismo nivel. Calcula los dos ángulos de tiro posibles. Explica cuál de las dos trayectorias tarda más en llegar y cuál alcanza mayor altura.
Dos proyectiles se lanzan desde el suelo con la misma rapidez de $40\ \text{m/s}$, uno con un ángulo de $30^\circ$ y otro con un ángulo de $60^\circ$. Calcula para cada…
Dos proyectiles se lanzan desde el suelo con la misma rapidez de $40\ \text{m/s}$, uno con un ángulo de $30^\circ$ y otro con un ángulo de $60^\circ$. Calcula para cada uno el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance, con $\operatorname{sen}60^\circ \approx 0{,}87$. Compara los resultados y explica por qué los alcances coinciden mientras que las alturas y los tiempos no.
Ecuación de la trayectoria
A veces no pregunta por el vuelo completo, sino por la altura en un punto concreto, por ejemplo al pasar sobre un muro. Para eso sirve la ecuación $y(x)$.
Partimos de las posiciones: $x = v_{0x}\,t$ e $y = v_{0y}\,t - \tfrac12 g\,t^2$. De la primera, $t = x/v_{0x}$. Sustituimos en la segunda:
Es una parábola: $y$ depende de $x^2$, con signo negativo, así que abre hacia abajo. Sus puntos con $y = 0$ son el origen ($x = 0$) y el punto de caída ($x = R$).
Para saber si un proyectil pasa sobre un muro, calcula $y$ en la posición $x$ del muro y compárala con su altura. Si $y$ es mayor, pasa.
Un proyectil sale del suelo con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ y un ángulo de $45^\circ$. Deduce la ecuación de su trayectoria $y(x)$. Con ella calcula la altura del…
Un proyectil sale del suelo con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ y un ángulo de $45^\circ$. Deduce la ecuación de su trayectoria $y(x)$. Con ella calcula la altura del proyectil cuando $x = 20\ \text{m}$ y los valores de $x$ en los que $y = 0$.
Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de $50\ \text{m/s}$ y un ángulo de $37^\circ$ ($\operatorname{sen}37^\circ = 0{,}6$ y $\cos 37^\circ = 0{,}8$). A…
Un cañón dispara un proyectil con una velocidad de $50\ \text{m/s}$ y un ángulo de $37^\circ$ ($\operatorname{sen}37^\circ = 0{,}6$ y $\cos 37^\circ = 0{,}8$). A $100\ \text{m}$ del cañón hay un muro de $20\ \text{m}$ de altura. Determina la altura del proyectil al pasar por la vertical del muro y concluye si lo supera. Calcula además el alcance horizontal total y la altura máxima.
Vuelve al principio: con $v_0$ y $\theta$ puedes saber cuánto dura la patada de Nayra, qué tan alto sube el balón y dónde cae. Y con $45^\circ$ llegaría lo más lejos posible.