Principio de independencia de los movimientos
En una cancha de básquet, Wara suelta una pelota desde la altura de su cintura y, en el mismo instante, Amaru lanza otra horizontalmente con toda su fuerza desde la misma altura. ¿Cuál de las dos toca primero el piso? Casi todos responden que la que se suelta. Al final de esta página verás por qué esa respuesta es incorrecta.
Dos movimientos a la vez
Cuando pateas un balón en diagonal, este sube, avanza y baja describiendo una curva llamada parábola. Es un movimiento parabólico. Es un movimiento compuesto: el balón hace dos movimientos al mismo tiempo, uno horizontal y otro vertical.
Galileo observó algo muy útil: esos dos movimientos no se estorban entre sí.
¿Por qué? La gravedad solo tira hacia abajo. No tiene ninguna componente horizontal que pueda acelerar o frenar el avance. Y lo que avanzas hacia los lados no cambia cómo te atrae la Tierra.
Mira la figura. Una pelota se suelta y otra sale horizontalmente en el mismo instante. En cada instante están a la misma altura.
La pelota naranja avanza lo mismo en cada segundo (MRU horizontal). La altura que baja es igual a la de la azul (MRUV vertical, partiendo con $v_y = 0$).
Enuncia el principio de independencia de los movimientos (Galileo) y explica qué tipo de movimiento se produce en la dirección horizontal y cuál en la dirección vertical…
Enuncia el principio de independencia de los movimientos (Galileo) y explica qué tipo de movimiento se produce en la dirección horizontal y cuál en la dirección vertical durante un movimiento parabólico. Indica qué magnitud permanece constante en cada dirección.
Componentes de la velocidad inicial
Si lanzas con una velocidad $v_0$ que forma un ángulo $\theta$ con la horizontal, esa velocidad es en parte «hacia adelante» y en parte «hacia arriba». Se descompone con un triángulo rectángulo (repaso de trigonometría de 2.° de Matemática):
Solo con el ángulo y la velocidad ya sabes cuánto avanza y cuánto sube cada segundo. Los ángulos que más se usan son estos:
| $\theta$ | $\operatorname{sen}\theta$ | $\cos\theta$ |
|---|---|---|
| $30^\circ$ | $0{,}5$ | $0{,}87$ |
| $37^\circ$ | $0{,}6$ | $0{,}8$ |
| $45^\circ$ | $0{,}71$ | $0{,}71$ |
| $53^\circ$ | $0{,}8$ | $0{,}6$ |
| $60^\circ$ | $0{,}87$ | $0{,}5$ |
Un proyectil sale con velocidad de $50\ \text{m/s}$ y forma un ángulo de $37^\circ$ con la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la velocidad…
Un proyectil sale con velocidad de $50\ \text{m/s}$ y forma un ángulo de $37^\circ$ con la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Usa $\operatorname{sen}37^\circ = 0{,}6$ y $\cos 37^\circ = 0{,}8$.
Posición y velocidad en cada instante
Ahora aplicamos cada movimiento por separado. Tomamos el origen en el punto de lanzamiento, el eje $y$ positivo hacia arriba y $g = 10\ \text{m/s}^2$, valor que usaremos siempre que el enunciado lo indique (en otros casos, $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$).
| Horizontal (MRU) | Vertical (MRUV, $a = -g$) | |
|---|---|---|
| Velocidad | $v_x = v_0 \cos\theta$ (constante) | $v_y = v_0 \operatorname{sen}\theta - g\,t$ |
| Posición | $x = v_0 \cos\theta \cdot t$ | $y = v_0 \operatorname{sen}\theta \cdot t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$ |
Son las ecuaciones del MRU y del MRUV que ya conoces, con $a = 0$ en horizontal y $a = -g$ en vertical. El signo negativo indica que la gravedad frena la subida y acelera la bajada.
-
Si $v_y > 0$, el cuerpo sube.
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Si $vy < 0$, el cuerpo baja.
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La rapidez en cualquier instante es $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$.
Diego patea un balón con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ que forma un ángulo de $53^\circ$ con el suelo. Usa $\operatorname{sen}53^\circ = 0{,}8$ y…
Diego patea un balón con una velocidad de $20\ \text{m/s}$ que forma un ángulo de $53^\circ$ con el suelo. Usa $\operatorname{sen}53^\circ = 0{,}8$ y $\cos 53^\circ = 0{,}6$. Calcula, a $1\ \text{s}$ de la patada, las componentes de la velocidad del balón y su posición horizontal y vertical respecto del punto de lanzamiento.
Un proyectil se lanza con una velocidad de $100\ \text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Determina los instantes en los que el módulo de su componente…
Un proyectil se lanza con una velocidad de $100\ \text{m/s}$ y un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Determina los instantes en los que el módulo de su componente vertical de velocidad es de $20\ \text{m/s}$, indicando si el proyectil sube o baja en cada caso. Calcula la separación horizontal entre ambas posiciones, con $\cos 30^\circ \approx 0{,}87$, y explica por qué el proyectil se encuentra a la misma altura en ambos instantes.
Lanzamiento horizontal
Es el caso más sencillo: el cuerpo sale con $\theta = 0^\circ$, por ejemplo una piedra que lanzas desde el borde de un acantilado, un paquete que suelta una avioneta o un balín que rueda por el borde de una mesa.
Como $\theta = 0^\circ$, la velocidad inicial es solo horizontal y la velocidad vertical inicial es cero:
$$v_{0x} = v_0 \qquad v_{0y} = 0$$Se mide la altura de caída $h$ hacia abajo, desde el punto de salida hasta el suelo. Las ecuaciones quedan:
| Fórmula | |
|---|---|
| Avance horizontal | $x = v_0 \cdot t$ |
| Caída vertical | $h = \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$ |
| Velocidad vertical (hacia abajo) | $v_y = g\,t$ |
| Tiempo de caída | $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ |
| Rapidez al llegar | $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}$ |
| Ángulo con la horizontal al llegar | $\tan\alpha = \dfrac{v_y}{v_0}$ |
El tiempo de caída no depende de $v_0$: es el mismo que si el cuerpo se soltara sin velocidad horizontal.
Ahora ya puedes responder el gancho. Las dos pelotas tardan lo mismo en tocar el piso, porque ambas parten con $v_{0y} = 0$ y caen desde la misma altura. La lanzada solo llega más lejos.
Una piedra sale horizontalmente con una velocidad de $12\ \text{m/s}$ desde el borde de un acantilado de $45\ \text{m}$ de altura. Calcula el tiempo que tarda en llegar…
Una piedra sale horizontalmente con una velocidad de $12\ \text{m/s}$ desde el borde de un acantilado de $45\ \text{m}$ de altura. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y la distancia horizontal que recorre.
Una avioneta que vuela horizontalmente a $60\ \text{m/s}$ y a $500\ \text{m}$ de altura sobre una zona del Beni suelta un paquete de ayuda. Calcula el tiempo que tarda…
Una avioneta que vuela horizontalmente a $60\ \text{m/s}$ y a $500\ \text{m}$ de altura sobre una zona del Beni suelta un paquete de ayuda. Calcula el tiempo que tarda el paquete en llegar al suelo, la distancia horizontal que recorre y la rapidez con la que llega al suelo.
Desde una altura de $20\ \text{m}$ se deja caer una piedra y, en el mismo instante, otra piedra se lanza horizontalmente con una velocidad de $15\ \text{m/s}$. Calcula…
Desde una altura de $20\ \text{m}$ se deja caer una piedra y, en el mismo instante, otra piedra se lanza horizontalmente con una velocidad de $15\ \text{m/s}$. Calcula el tiempo de caída de cada una y la distancia horizontal que recorre la segunda. Explica qué principio permite comparar los tiempos sin calcular nada más.
Un balín sale horizontalmente del borde de una mesa de $1{,}25\ \text{m}$ de altura y cae al piso a $1{,}5\ \text{m}$ de la base de la mesa. Calcula el tiempo de caída,…
Un balín sale horizontalmente del borde de una mesa de $1{,}25\ \text{m}$ de altura y cae al piso a $1{,}5\ \text{m}$ de la base de la mesa. Calcula el tiempo de caída, la rapidez con que sale de la mesa y la rapidez con que toca el piso. Calcula también el ángulo que forma su velocidad con la horizontal en el instante del impacto.