Transmisión del movimiento circular
Mateo pedalea a $60\ \text{rpm}$ en su bicicleta por la carretera de Cochabamba a Santa Cruz, pero la rueda trasera da muchas más vueltas por minuto que sus pedales. ¿Cómo se pasa el giro de una pieza a otra y por qué cambia la rapidez de giro? Al final de la página lo calcularás.
Qué se transmite y qué cambia
En motores, molinos, ventiladores y bicicletas, una pieza que gira mueve a otra mediante una correa, una cadena o dientes en contacto. A esto lo llamamos transmisión del movimiento circular.
Dos magnitudes ayudan a saber qué se conserva:
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La velocidad lineal $v$ de un punto del borde: cuántos metros por segundo recorre el borde.
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La velocidad angular $\omega$ (o la frecuencia $f$, en rpm o Hz): cuántas vueltas o radianes por segundo da la pieza.
Ambas se relacionan con el radio:
El período $T$ es el tiempo de una vuelta (en s) y la frecuencia $f$ es el número de vueltas por segundo (en Hz, $1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}$). Se relacionan así: $f = \dfrac{1}{T}$.
Para pasar de m/s a km/h multiplica por $3{,}6$: $1\ \text{m/s} = 3{,}6\ \text{km/h}$. Por ejemplo, un borde que va a $2\ \text{m/s}$ va a $2 \cdot 3{,}6 = 7{,}2\ \text{km/h}$. Una rueda que rueda sin resbalar avanza con la velocidad lineal de su borde, así que esta conversión da la velocidad de la bicicleta.
Según cómo se unan las piezas, se conserva una magnitud u otra. Esa es la idea central de la página:
| Unión | Qué es igual en las dos piezas |
|---|---|
| Correa (o cadena) | velocidad lineal $v$ |
| Mismo eje | velocidad angular $\omega$ y frecuencia $f$ |
| Engranajes en contacto | velocidad lineal $v$ en el contacto |
Dos poleas están unidas por una correa y otras dos están montadas sobre el mismo eje. Indica para cada caso qué magnitud es la misma en ambas poleas (velocidad lineal,…
Dos poleas están unidas por una correa y otras dos están montadas sobre el mismo eje. Indica para cada caso qué magnitud es la misma en ambas poleas (velocidad lineal, velocidad angular o frecuencia) y explica por qué ocurre así.
Poleas unidas por una correa
Imagina el tractor de un taller o la correa que une un motor con un molino. La correa no resbala: cada punto del borde de una polea avanza lo mismo que la correa, y la correa avanza igual en todos sus puntos. Por eso los bordes de ambas poleas tienen la misma velocidad lineal.
Como $v_A = v_B$ y $v = \omega \cdot r$:
Dos poleas están conectadas por una correa. La polea A tiene $10\ \text{cm}$ de radio y gira a $60\ \text{rpm}$. La polea B tiene $20\ \text{cm}$ de radio. Calcula la…
Dos poleas están conectadas por una correa. La polea A tiene $10\ \text{cm}$ de radio y gira a $60\ \text{rpm}$. La polea B tiene $20\ \text{cm}$ de radio. Calcula la velocidad angular de la polea B en rpm y di si gira más rápido o más lento que A.
Poleas en el mismo eje
Dos poleas montadas sobre un mismo eje, como un molino o una polea doble, forman una pieza rígida. Giran juntas: en el mismo tiempo dan las mismas vueltas.
Este tipo de unión sirve para cambiar de polea sin cambiar las rpm: una polea del eje recibe el giro por correa y la otra lo entrega a otra correa de otro radio.
Engranajes
Dos engranajes (ruedas dentadas) en contacto se mueven como si rodaran sin resbalar: en el punto de contacto los dientes avanzan lo mismo. Por eso la velocidad lineal en el borde es igual, como en la correa. Lo cómodo es que el radio es proporcional al número de dientes $z$, así que se usa $z$ en lugar de $r$:
Por qué se puede usar $z$: los dientes tienen el mismo tamaño en los dos engranajes, así que a más dientes, mayor perímetro y mayor radio.
En la bicicleta de Mateo, el plato (con más dientes) mueve el piñón (con menos) mediante la cadena, por eso la rueda trasera gira más rápido que los pedales.
Un engranaje de $20$ dientes gira a $90\ \text{rpm}$ y está en contacto con otro engranaje de $30$ dientes. Calcula la frecuencia de giro del segundo engranaje en rpm e…
Un engranaje de $20$ dientes gira a $90\ \text{rpm}$ y está en contacto con otro engranaje de $30$ dientes. Calcula la frecuencia de giro del segundo engranaje en rpm e indica el sentido de giro respecto al primero.
En una bicicleta, el plato tiene $48$ dientes y el piñón de la rueda trasera tiene $16$ dientes, unidos por una cadena. Mateo pedalea a $60\ \text{rpm}$. Calcula la…
En una bicicleta, el plato tiene $48$ dientes y el piñón de la rueda trasera tiene $16$ dientes, unidos por una cadena. Mateo pedalea a $60\ \text{rpm}$. Calcula la frecuencia de giro de la rueda trasera en rpm y la velocidad de la bicicleta en km/h, si la rueda tiene $35\ \text{cm}$ de radio.
Dos engranajes están en contacto. El engranaje motor tiene $6\ \text{cm}$ de radio y un período de $0{,}5\ \text{s}$. El engranaje conducido tiene $15\ \text{cm}$ de…
Dos engranajes están en contacto. El engranaje motor tiene $6\ \text{cm}$ de radio y un período de $0{,}5\ \text{s}$. El engranaje conducido tiene $15\ \text{cm}$ de radio. Calcula la frecuencia y la velocidad angular del engranaje conducido, y la velocidad tangencial en el borde de ambos engranajes.
Prueba el interactivo: cambia los dientes y las rpm y observa cómo cambia el segundo engranaje.
Sistemas combinados
En una máquina real se encadenan varias etapas. El método es siempre el mismo: avanza etapa por etapa y en cada una aplica la regla que corresponde a su unión.
La polea A, de $5\ \text{cm}$ de radio, gira a $240\ \text{rpm}$ y está unida por una correa a la polea B, de $15\ \text{cm}$ de radio. La polea B está sobre el mismo…
La polea A, de $5\ \text{cm}$ de radio, gira a $240\ \text{rpm}$ y está unida por una correa a la polea B, de $15\ \text{cm}$ de radio. La polea B está sobre el mismo eje que la polea C, de $10\ \text{cm}$ de radio. Calcula la velocidad angular de B y de C en rpm, y la velocidad lineal de un punto del borde de C en m/s.
Un motor mueve una polea de $8\ \text{cm}$ de radio que gira a $1.500\ \text{rpm}$. Una correa la une con una polea de $24\ \text{cm}$ de radio, que está montada en el…
Un motor mueve una polea de $8\ \text{cm}$ de radio que gira a $1.500\ \text{rpm}$. Una correa la une con una polea de $24\ \text{cm}$ de radio, que está montada en el mismo eje que un engranaje de $40$ dientes. Este engranaje está en contacto con otro de $10$ dientes. Calcula la frecuencia, en rpm, del engranaje final. Argumenta si el sistema completo aumenta o reduce la velocidad de giro respecto al motor, y en qué etapa ocurre cada cambio.
Transmisión cuando la polea acelera
Si la polea motriz arranca desde el reposo y su $\omega$ crece (MCUV), la correa sigue sin estirarse ni resbalar. En cada instante los bordes tienen la misma velocidad lineal, y en cada intervalo la correa pasa la misma longitud por ambas poleas. Por eso:
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$\omega_A r_A = \omega_B r_B$ en cualquier instante,
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$\alpha_A r_A = \alpha_B r_B$ (aceleración angular),
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el arco recorrido es el mismo: $\theta_A r_A = \theta_B r_B$.
Si la correa se estirara o acortara, los bordes tendrían velocidades distintas y la correa se rompería o se aflojaría. Con las ecuaciones del MCUV se calcula lo que haga falta: $\omega = \omega_0 + \alpha t$ y $\theta = \omega_0 t + \tfrac12 \alpha t^2$.
La polea A, de $12\ \text{cm}$ de radio, parte del reposo y gira con aceleración angular constante de $3\ \text{rad/s}^2$. Está unida por una correa a la polea B, de…
La polea A, de $12\ \text{cm}$ de radio, parte del reposo y gira con aceleración angular constante de $3\ \text{rad/s}^2$. Está unida por una correa a la polea B, de $4\ \text{cm}$ de radio. Después de $10\ \text{s}$ calcula la velocidad angular de B, el desplazamiento angular de cada polea y el número de vueltas de B. Explica por qué la correa no se estira ni se acorta durante el movimiento.
Vuelve al principio: la rueda trasera de Mateo gira más rápido que los pedales porque el plato ($48$ dientes) mueve un piñón de solo $16$ dientes: $60 \cdot \dfrac{48}{16} = 180\ \text{rpm}$.