Tiempo de encuentro y de alcance en el MRU
Dos micros salen al mismo tiempo, uno de La Paz y otro de Oruro, y van por la misma carretera. ¿Cuánto tardan en cruzarse y en qué punto del camino ocurre? Y si un minibús sale detrás de un camión más lento, ¿cuándo lo alcanza? En esta página lo resolvemos con el MRU, aunque el apartado esté dentro del capítulo del movimiento parabólico: aquí no hay curvas, solo móviles con velocidad constante.
Punto de partida: el MRU y las posiciones
En el MRU la velocidad es constante y la posición en cada instante es
$$x = x_0 + v \cdot t$$Cada móvil tiene su propia ecuación. Elegimos un eje (por ejemplo, de A hacia B) y un origen. La velocidad es positiva si el móvil va en el sentido del eje y negativa si va en sentido contrario.
Dos móviles están en el mismo lugar cuando $x_1 = x_2$. De esa igualdad salen todas las fórmulas de la página.
Explica la diferencia entre tiempo de encuentro y tiempo de alcance en el MRU. Escribe la expresión que se usa en cada caso en función de la distancia inicial y de las…
Explica la diferencia entre tiempo de encuentro y tiempo de alcance en el MRU. Escribe la expresión que se usa en cada caso en función de la distancia inicial y de las velocidades de los móviles, e indica en qué situaciones se emplea cada una.
Tiempo de encuentro: se acercan
Si dos móviles salen a la vez uno hacia el otro, cada segundo la distancia entre ellos se reduce en $v_1 + v_2$. Es como dos personas que caminan una hacia la otra: se acercan «sumando» sus pasos.
Ponemos el origen en A, de modo que $x_1 = v_1 t$ y $x_2 = d - v_2 t$. Igualamos:
$$v_1 t = d - v_2 t \;\Rightarrow\; t_e = \frac{d}{v_1 + v_2}$$Dos ciclistas parten al mismo tiempo desde dos puntos separados por $90\ \text{km}$ y avanzan uno hacia el otro por la misma carretera, con velocidades constantes de…
Dos ciclistas parten al mismo tiempo desde dos puntos separados por $90\ \text{km}$ y avanzan uno hacia el otro por la misma carretera, con velocidades constantes de $20\ \text{km/h}$ y $25\ \text{km/h}$. Calcula el tiempo que tardan en encontrarse.
Dos micros salen al mismo tiempo de dos terminales separadas por $200\ \text{km}$ y viajan uno hacia el otro con velocidades constantes de $60\ \text{km/h}$ y…
Dos micros salen al mismo tiempo de dos terminales separadas por $200\ \text{km}$ y viajan uno hacia el otro con velocidades constantes de $60\ \text{km/h}$ y $80\ \text{km/h}$. Calcula el tiempo de encuentro en horas y en minutos, y la distancia que recorre cada micro hasta el punto de encuentro.
Tiempo de alcance: uno persigue al otro
Ahora ambos van en el mismo sentido. El de atrás tiene que ser más rápido ($v_1 > v_2$). La distancia entre ellos se reduce solo en $v_1 - v_2$ cada segundo.
Origen en el punto donde está el de atrás: $x_1 = v_1 t$ y $x_2 = d + v_2 t$. Igualamos:
$$v_1 t = d + v_2 t \;\Rightarrow\; t_a = \frac{d}{v_1 - v_2}$$Un camión avanza a $40\ \text{km/h}$ y un minibús, que está $30\ \text{km}$ detrás, lo persigue a $60\ \text{km/h}$ por la misma carretera. Calcula el tiempo que tarda…
Un camión avanza a $40\ \text{km/h}$ y un minibús, que está $30\ \text{km}$ detrás, lo persigue a $60\ \text{km/h}$ por la misma carretera. Calcula el tiempo que tarda el minibús en alcanzar al camión.
Wilmer sale corriendo por una pista con una velocidad constante de $5\ \text{m/s}$. Diez segundos después sale Nayra desde el mismo punto y en la misma dirección, con…
Wilmer sale corriendo por una pista con una velocidad constante de $5\ \text{m/s}$. Diez segundos después sale Nayra desde el mismo punto y en la misma dirección, con una velocidad constante de $7\ \text{m/s}$. Calcula cuánto tiempo después de salir Nayra alcanza a Wilmer y a qué distancia del punto de partida ocurre el alcance.
Cuando uno sale después
Si un móvil sale más tarde, el primero ya lleva ventaja cuando el segundo arranca. Hay dos formas de resolverlo:
-
Distancia de ventaja. Calcula cuánto avanzó el primero durante el retraso ($x = v \cdot t_{retraso}$). Esa ventaja pasa a ser la nueva $d$, y desde ese instante usas $t_e$ o $t_a$ con tiempo contado desde que sale el segundo.
-
Ecuaciones con $t_0$. Escribe $x = x_0 + v\,(t - t_0)$ para cada uno e iguala.
Un auto sale de la ciudad A hacia la ciudad B, separadas por $180\ \text{km}$, a $60\ \text{km/h}$. Media hora después sale de B otro auto hacia A, a $80\ \text{km/h}$.…
Un auto sale de la ciudad A hacia la ciudad B, separadas por $180\ \text{km}$, a $60\ \text{km/h}$. Media hora después sale de B otro auto hacia A, a $80\ \text{km/h}$. Calcula cuánto tiempo viaja el segundo auto hasta cruzarse con el primero y a qué distancia de A se produce el encuentro.
Horas del día y análisis de resultados
En los problemas de carretera interesa la hora del encuentro. Se suma el tiempo a la hora de salida. Convierte las fracciones de hora a minutos multiplicando por $60$: $0{,}25\ \text{h} = 15\ \text{min}$.
Analizar sin repetir la cuenta. Si el segundo auto saliera también a las 6:00, no habría ventaja, y los dos viajarían el mismo tiempo. El primero (más lento) recorrería menos. El encuentro quedaría más cerca del extremo de donde sale el más lento. Con retraso, el lento avanza más antes de que el otro arranque, así que se encuentran más lejos de su punto de partida.
Dos ciudades están separadas por una ruta de $400\ \text{km}$ (dato aproximado). A las 6:00 sale un auto de Santa Cruz hacia Cochabamba a $80\ \text{km/h}$. A las 7:00…
Dos ciudades están separadas por una ruta de $400\ \text{km}$ (dato aproximado). A las 6:00 sale un auto de Santa Cruz hacia Cochabamba a $80\ \text{km/h}$. A las 7:00 sale otro auto de Cochabamba hacia Santa Cruz a $100\ \text{km/h}$. Determina la hora del encuentro y la distancia a la que se produce respecto de Santa Cruz. Luego analiza, sin repetir todo el cálculo, si el punto de encuentro quedaría más cerca o más lejos de Santa Cruz si ambos hubieran salido a las 6:00, y justifica tu respuesta.
Un camión sale de un punto a las 8:00 con velocidad constante de $40\ \text{km/h}$. A las 9:00 sale del mismo punto y por la misma ruta un auto a $60\ \text{km/h}$.…
Un camión sale de un punto a las 8:00 con velocidad constante de $40\ \text{km/h}$. A las 9:00 sale del mismo punto y por la misma ruta un auto a $60\ \text{km/h}$. Calcula la hora y la posición en las que el auto alcanza al camión. Si ambos continúan sin detenerse hasta un destino ubicado a $300\ \text{km}$ del punto de partida, determina la hora de llegada de cada uno y cuánto tiempo espera el auto al camión. Explica por qué el alcance no depende de las velocidades absolutas sino de su diferencia.
Resumen
Vuelve al principio: los micros de La Paz y Oruro se cruzan al cabo de $t_e = d/(v_1+v_2)$, y el minibús alcanza al camión en $t_a = d/(v_1-v_2)$.