Ecuaciones del MCUV
En un taller de Cochabamba apagan un ventilador que gira rápido. Las aspas no se detienen de golpe: giran cada vez más despacio hasta parar. ¿Cuántas vueltas dan desde que se apaga hasta que se detiene? ¿Cuánto tarda? En esta página aprenderás a responder con tres ecuaciones.
De MCU a MCUV: la velocidad angular cambia
En el MCU la velocidad angular $\omega$ es constante. Ese caso es el más sencillo, pero no es el más común. Una rueda que arranca, un torno de alfarería que se enciende o un ventilador que se apaga cambian su $\omega$ con el tiempo.
El movimiento circular es uniformemente variado (MCUV) cuando la aceleración angular $\alpha$ es constante. La magnitud que cambia es $\omega$, y lo hace en cantidades iguales en tiempos iguales.
Es la misma idea del MRUV, pero con magnitudes angulares:
| MRUV | MCUV |
|---|---|
| posición $x$ (m) | ángulo $\theta$ (rad) |
| velocidad $v$ (m/s) | velocidad angular $\omega$ (rad/s) |
| aceleración $a$ (m/s²) | aceleración angular $\alpha$ (rad/s²) |
El signo de $\alpha$ respecto al de $\omega$ dice si el giro se acelera o se frena:
-
Si $\omega$ y $\alpha$ tienen el mismo signo, el movimiento es acelerado: la rueda gira cada vez más rápido.
-
Si tienen signos opuestos, el movimiento es retardado (desaceleración): la rueda se frena.
Mueve los deslizadores y observa cómo la recta $\omega(t)$ sube o baja. Aquí $a$ hace de $\alpha$ y $b$ hace de $\omega_0$.
Explica con tus palabras qué significa que un movimiento circular sea «uniformemente variado». Indica qué magnitud permanece constante y cuál cambia. Luego di si el…
Explica con tus palabras qué significa que un movimiento circular sea «uniformemente variado». Indica qué magnitud permanece constante y cuál cambia. Luego di si el movimiento es acelerado o retardado cuando $\omega$ y $\alpha$ tienen el mismo signo, y si lo es cuando tienen signos opuestos.
Aceleración angular
La aceleración angular mide cuánto cambia $\omega$ en cada segundo:
$$\alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t}$$Aquí $\omega_0$ es la velocidad angular inicial y $\omega$ la final. Como $\omega$ se mide en rad/s y $t$ en s, la unidad de $\alpha$ es $\text{rad/s}^2$. Un valor $\alpha = 2\ \text{rad/s}^2$ significa que $\omega$ aumenta $2\ \text{rad/s}$ cada segundo.
Despejando $\omega$ se obtiene la primera ecuación del MCUV:
Una rueda de un molino parte del reposo y gira con aceleración angular constante $\alpha = 2\ \text{rad/s}^2$. Calcula su velocidad angular a los $5\ \text{s}$ de…
Una rueda de un molino parte del reposo y gira con aceleración angular constante $\alpha = 2\ \text{rad/s}^2$. Calcula su velocidad angular a los $5\ \text{s}$ de iniciado el movimiento. Escribe la ecuación que utilizas.
La velocidad angular de un disco aumenta uniformemente de $10\ \text{rad/s}$ a $30\ \text{rad/s}$ en $4\ \text{s}$. Calcula la aceleración angular del disco y expresa el…
La velocidad angular de un disco aumenta uniformemente de $10\ \text{rad/s}$ a $30\ \text{rad/s}$ en $4\ \text{s}$. Calcula la aceleración angular del disco y expresa el resultado con su unidad.
Desplazamiento angular y las otras dos ecuaciones
¿Cuánto ángulo recorre la rueda mientras cambia su $\omega$? Si $\omega$ fuera constante, sería $\theta = \omega \cdot t$. Como $\omega$ cambia de manera uniforme, se usa su valor medio, $\frac{\omega_0 + \omega}{2}$, y de ahí sale la segunda ecuación. En una gráfica $\omega$–$t$ el desplazamiento angular es el área bajo la recta (se ve más adelante).
Para elegir la ecuación, haz una lista de datos y mira cuál es la incógnita. Cada ecuación omite una variable:
| Ecuación | No contiene |
|---|---|
| $\omega = \omega_0 + \alpha t$ | $\theta$ |
| $\theta = \omega_0 t + \frac12 \alpha t^2$ | $\omega$ |
| $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ | $t$ |
Un ventilador gira a $20\ \text{rad/s}$ y se apaga. Debido al rozamiento, se frena con aceleración angular constante de $-4\ \text{rad/s}^2$. Calcula el tiempo que tarda…
Un ventilador gira a $20\ \text{rad/s}$ y se apaga. Debido al rozamiento, se frena con aceleración angular constante de $-4\ \text{rad/s}^2$. Calcula el tiempo que tarda en detenerse, el desplazamiento angular que recorre hasta detenerse y el número de vueltas que da en ese tiempo.
Vueltas, radianes y rpm
Las ecuaciones trabajan con radianes. En la vida diaria se cuentan vueltas y se mide la velocidad en rpm (revoluciones por minuto), por eso hay que convertir.
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Una vuelta equivale a $2\pi\ \text{rad}$, así que $\text{vueltas} = \dfrac{\theta}{2\pi}$.
-
Para pasar de rpm a rad/s: $1\ \text{rpm} = \dfrac{2\pi}{60}\ \text{rad/s}$.
En un taller de alfarería de Cochabamba, un torno parte del reposo y alcanza $120\ \text{rpm}$ en $6\ \text{s}$ con aceleración angular constante. Expresa primero la…
En un taller de alfarería de Cochabamba, un torno parte del reposo y alcanza $120\ \text{rpm}$ en $6\ \text{s}$ con aceleración angular constante. Expresa primero la velocidad final en rad/s. Luego calcula la aceleración angular y el número de vueltas que da durante esos $6\ \text{s}$.
La rueda de una bicicleta tiene una velocidad angular inicial de $8\ \text{rad/s}$ y recorre un desplazamiento angular de $100\ \text{rad}$ en $5\ \text{s}$ con…
La rueda de una bicicleta tiene una velocidad angular inicial de $8\ \text{rad/s}$ y recorre un desplazamiento angular de $100\ \text{rad}$ en $5\ \text{s}$ con aceleración angular constante. Determina la aceleración angular y la velocidad angular de la rueda al final de los $5\ \text{s}$.
La gráfica $\omega$–$t$ y los problemas por etapas
En el MCUV la gráfica $\omega$–$t$ es una recta. Su pendiente es $\alpha$ y el área bajo la recta es el desplazamiento angular $\theta$. Esta es la gráfica del ventilador del ejemplo anterior ($30\ \text{rad/s}$, frenando $5\ \text{rad/s}^2$):
Si el movimiento tiene varias etapas, por ejemplo acelerar y luego girar a ritmo constante, se resuelve etapa por etapa. El $\omega$ final de una etapa es el $\omega_0$ de la siguiente.
Una centrífuga de laboratorio parte del reposo y alcanza $300\ \text{rpm}$ después de dar $20$ vueltas con aceleración angular constante. Después gira durante…
Una centrífuga de laboratorio parte del reposo y alcanza $300\ \text{rpm}$ después de dar $20$ vueltas con aceleración angular constante. Después gira durante $30\ \text{s}$ con esa velocidad angular constante. Calcula la aceleración angular en la primera etapa, el tiempo que dura esa etapa y el número total de vueltas de todo el proceso. Representa además cualitativamente el gráfico $\omega$ frente a $t$ del movimiento completo.
Un dato del último segundo
A veces el enunciado no da $\omega_0$ ni $\alpha$, sino lo que ocurre justo antes de detenerse. El truco es mirar el movimiento al revés: una rueda que se frena hasta parar, vista hacia atrás, parte del reposo y acelera con la misma $|\alpha|$.
Una polea se detiene con aceleración angular constante después de $8\ \text{s}$ de iniciar el frenado. Durante el último segundo antes de detenerse gira $2\ \text{rad}$.…
Una polea se detiene con aceleración angular constante después de $8\ \text{s}$ de iniciar el frenado. Durante el último segundo antes de detenerse gira $2\ \text{rad}$. A partir de este dato, determina la aceleración angular de frenado, la velocidad angular inicial y el desplazamiento angular total hasta detenerse. Explica por qué el dato del último segundo permite hallar la aceleración.
Volviendo al principio: para el ventilador que se apaga, el tiempo sale de $\omega = \omega_0 + \alpha t$ con $\omega = 0$, y el ángulo de $\theta = \omega_0 t + \frac12 \alpha t^2$. Dividiendo entre $2\pi$ se obtienen las vueltas.