Interés compuesto, valor presente y valor futuro, anualidades e inflación
Daniela recibe $\$1{,}000$ y no sabe qué hacer con ellos. Puede guardarlos en la casa o depositarlos en un banco que paga $5\%$ anual. Dentro de 10 años, ¿cuál de las dos opciones le conviene? ¿Y qué pasa si en esos años los precios también suben? Para responder necesitás entender que un dólar de hoy no vale lo mismo que un dólar de dentro de unos años.
Interés simple e interés compuesto
Cuando depositás dinero en un banco, el banco lo usa y te paga un interés: un premio por prestárselo. Cuando pedís un préstamo, vos pagás ese interés. Hay dos maneras de calcularlo.
Veámoslo con $\$1{,}000$ al $10\%$ anual durante 3 años.
| Año | Interés simple | Interés compuesto |
|---|---|---|
| 0 (hoy) | $\$1{,}000$ | $\$1{,}000$ |
| 1 | $\$1{,}100$ | $\$1{,}100$ |
| 2 | $\$1{,}200$ | $\$1{,}210$ |
| 3 | $\$1{,}300$ | $\$1{,}331$ |
Con interés simple se ganan $\$100$ cada año. Con interés compuesto, el segundo año se gana el $10\%$ de $\$1{,}100$, o sea $\$110$, y el tercero el $10\%$ de $\$1{,}210$, o sea $\$121$. La diferencia parece pequeña al principio, pero crece cada año.
Explicá la diferencia entre interés simple e interés compuesto. Luego escribí la fórmula del valor futuro con interés compuesto, $VF = VP(1+i)^n$, e indicá qué…
Explicá la diferencia entre interés simple e interés compuesto. Luego escribí la fórmula del valor futuro con interés compuesto, $VF = VP(1+i)^n$, e indicá qué representa cada letra.
Valor futuro con interés compuesto
Calcular año por año sirve para 3 años, pero no para 20. Observá el patrón: cada año el dinero se multiplica por $(1 + i)$.
¿Por qué la potencia? Porque multiplicar por $(1+i)$ una vez por cada año es multiplicar $n$ veces el mismo factor.
José deposita $\$1{,}000$ en un banco que paga una tasa de interés compuesto del $5\%…
José deposita $\$1{,}000$ en un banco que paga una tasa de interés compuesto del $5\%$ anual. Calculá cuánto dinero tendrá en su cuenta después de 2 años, sin hacer más depósitos ni retiros.
Óscar necesita un préstamo de $\$3{,}000…
Óscar necesita un préstamo de $\$3{,}000$ para comprar equipo para su taller. Una financiera le ofrece pagarlo en una sola cuota dentro de 3 años con interés compuesto del $12\%$ anual. Otra entidad le ofrece interés simple del $14\%$ anual por el mismo plazo, también con pago único al final. Calculá cuánto pagaría en cada caso, compará las dos ofertas y argumentá cuál le conviene más. Indicá qué otros costos (comisiones, seguros) revisarías antes de firmar.
Valor presente
A veces la pregunta es al revés: «necesito cierta cantidad dentro de unos años, ¿cuánto debo depositar hoy?». Es la misma fórmula, despejando $VP$.
La idea: como el dinero crece al colocarlo, necesitás menos hoy para llegar a la misma meta. Por eso $\$100$ que recibirás en 3 años valen menos que $\$100$ hoy.
María José quiere tener $\$1{,}210$ dentro de 2 años para comprar una computadora. El banco le ofrece una tasa de interés compuesto del $10\%…
María José quiere tener $\$1{,}210$ dentro de 2 años para comprar una computadora. El banco le ofrece una tasa de interés compuesto del $10\%$ anual. Usando la fórmula del valor presente, $VP = \dfrac{VF}{(1+i)^n}$, calculá cuánto debe depositar hoy e interpretá el resultado en una frase.
Anualidades y amortización de un préstamo
Casi nadie ahorra de una sola vez. Lo normal es separar una cantidad cada mes o cada año. Una serie de pagos iguales y periódicos se llama anualidad.
El truco es tratar cada depósito por separado. El que se hace al final del año 1 gana intereses durante $n-1$ años. El último depósito no gana intereses, porque se hace justo al terminar.
Amortización de un préstamo
Amortizar una deuda es pagarla poco a poco. Cada cuota se reparte en dos partes: una parte de intereses, calculada sobre lo que todavía debés (el saldo), y otra de capital, que reduce la deuda.
Kevin deposita $\$100$ al final de cada año durante 3 años en una cuenta que paga el $6\%…
Kevin deposita $\$100$ al final de cada año durante 3 años en una cuenta que paga el $6\%$ anual de interés compuesto (anualidad ordinaria). Calculá cuánto dinero tendrá al final del tercer año, mostrando cuánto aporta cada depósito al total. Podés calcular el valor futuro de cada depósito por separado y sumarlos.
Andrea quiere juntar $\$5{,}000$ en 4 años para estudiar en la universidad. Tiene dos planes: (A) depositar hoy una sola cantidad en una cuenta que paga el $8\%…
Andrea quiere juntar $\$5{,}000$ en 4 años para estudiar en la universidad. Tiene dos planes: (A) depositar hoy una sola cantidad en una cuenta que paga el $8\%$ anual de interés compuesto; (B) depositar $\$1{,}100$ al final de cada año durante 4 años en una cuenta que paga el $5\%$ anual de interés compuesto. Calculá cuánto necesitaría depositar hoy en el plan A y cuánto tendría al final con el plan B. Compará ambos resultados con la meta, considerando además una inflación del $3\%$ anual que encarece los estudios, y recomendá un plan con argumentos.
Inflación y tasa de interés real
Tener más dólares no siempre significa poder comprar más cosas. La inflación es el aumento general y sostenido de los precios. Cuando sube, cada dólar compra menos: se pierde poder adquisitivo.
Si una libra de frijoles cuesta $\$1.00$ y la inflación anual es de $4\%$, dentro de un año costará $\$1.04$. Quien guardó $\$1.00$ en efectivo ya no alcanza para la libra completa.
Si la inflación anual en un país es del $4\%$, explicá qué ocurre con el poder adquisitivo de una persona que guarda su dinero en efectivo durante un año. Respondé en…
Si la inflación anual en un país es del $4\%$, explicá qué ocurre con el poder adquisitivo de una persona que guarda su dinero en efectivo durante un año. Respondé en dos o tres líneas y poné un ejemplo con una compra cotidiana, como una libra de frijoles.
Una cuenta de ahorro paga un interés nominal del $5\%$ anual y la inflación del año es del $3\%$. Calculá aproximadamente la tasa de interés real restando la inflación…
Una cuenta de ahorro paga un interés nominal del $5\%$ anual y la inflación del año es del $3\%$. Calculá aproximadamente la tasa de interés real restando la inflación al interés nominal. Después, si Fátima deposita $\$800$ al inicio del año, calculá cuánto dinero nominal tendrá al final y explicá si su poder adquisitivo aumentó o no, y en qué medida.
Resumen
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Interés simple: se calcula siempre sobre el capital inicial. Interés compuesto: los intereses se suman al capital y también generan intereses.
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Valor futuro: $VF = VP\,(1+i)^n$, con $i$ en decimal. Valor presente: $VP = \dfrac{VF}{(1+i)^n}$.
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Anualidad ordinaria: depósitos iguales al final de cada período. $VF = A \cdot \dfrac{(1+i)^n - 1}{i}$, o la suma de cada depósito llevado a valor futuro.
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Amortización: pago de una deuda por cuotas. Cada cuota tiene intereses (sobre el saldo) y capital.
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Inflación: sube los precios y baja el poder adquisitivo. La tasa real es aproximadamente tasa nominal menos inflación.
Volvé al principio: Daniela, con $\$1{,}000$ al $5\%$ compuesto durante 10 años, tendría $1000 \cdot 1.05^{10} \approx \$1{,}628.89$. Si la inflación fuera de $3\%$ anual, lo que hoy cuesta $\$1{,}000$ costaría unos $\$1{,}343.92$ en 10 años. Su dinero en el banco le gana a la inflación, y guardado en la casa los $\$1{,}000$ solo comprarían lo que hoy compran unos $\$744$.