Regla de Laplace (probabilidad clásica)
En la rifa de la posada de tu grupo se vendieron 200 boletos y tú compraste 4. ¿Qué tan probable es que ganes? Si cada boleto tiene las mismas posibilidades que los demás, basta contar: tus boletos entre el total. Esa es la regla de Laplace. En este nivel la fórmula ya la conoces. El reto es contar bien cuando los casos se cuentan por miles o millones.
Qué significa «al azar»: eventos equiprobables
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en: a) Un…
Se utiliza una ruleta dividida en $12$ sectores iguales, numerados del $1$ al $12$. Calcula la probabilidad de que al girar la ruleta la flecha se detenga en:
- a) Un número divisible por $3$.
- b) Un número que sea cuadrado perfecto (como $1, 4, 9$).
- c) Un número mayor que $2$ y menor que $7$.
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire. a) Escribe el espacio muestral del experimento. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un águila?…
Lanzamos simultáneamente dos monedas equilibradas al aire.
- a) Escribe el espacio muestral del experimento.
- b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente un águila?
- c) ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sol?
La regla de Laplace: favorables entre posibles
Algunos ejercicios usan la baraja española de 40 cartas. Tiene 4 palos (oros, copas, espadas y bastos) y 10 cartas por palo: del 1 (as) al 7, más sota, caballo y rey. No trae 8 ni 9 ni comodines.
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcula las…
En una partida de un juego de rol, un jugador lanza un dado de ocho caras (octaedro) numeradas del $1$ al $8$. Si el dado está perfectamente equilibrado, calcula las siguientes probabilidades utilizando la Regla de Laplace:
- a) Obtener un número par.
- b) Obtener un número mayor que $5$.
- c) Obtener un número primo.
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determina la probabilidad de los siguientes eventos: a) Que la carta sea un as. b) Que sea una copa.…
De una baraja española de $40$ cartas se extrae una carta al azar. Determina la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Que la carta sea un as.
- b) Que sea una copa.
- c) Que sea el rey de oros.
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determina la probabilidad de los siguientes eventos: a) Que la letra sea una vocal. b) Que la letra sea la S. c)…
Si elegimos al azar una letra de la palabra ESTADISTICA, determina la probabilidad de los siguientes eventos:
- a) Que la letra sea una vocal.
- b) Que la letra sea la S.
- c) Que la letra sea una consonante.
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. La tabla recoge la suma de…
En un festival de juegos de mesa, se utilizan dos dados cúbicos equilibrados (con caras del 1 al 6). Un jugador lanza ambos dados a la vez. La tabla recoge la suma de las puntuaciones para cada resultado posible (filas: dado 1; columnas: dado 2).
Calcula la probabilidad de que la suma de las puntuaciones obtenidas sea un número primo mayor que $5$.
Eventos compuestos: complemento, unión y tablas
Muchas veces es más fácil contar lo que no queremos, o combinar varios eventos. Tres herramientas bastan.
Con datos de una encuesta o de varios conjuntos, un diagrama de Venn o una tabla de contingencia ordena el conteo. En Venn se llena de adentro hacia afuera: primero la intersección de todos, luego las intersecciones de dos (restando lo ya puesto) y al final las partes que solo pertenecen a un conjunto.
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcula: a) La…
En un cajón hay $10$ calcetines negros, $6$ calcetines azules y $4$ calcetines blancos, todos ellos sueltos. Si elegimos uno al azar para ir a clase, calcula:
- a) La probabilidad de que sea azul.
- b) La probabilidad de que no sea blanco.
- c) La probabilidad de que sea negro o blanco.
Un grupo de estudiantes de 2.º de preparatoria organiza una rifa para su viaje de graduación. Han vendido boletos numerados del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza…
Un grupo de estudiantes de 2.º de preparatoria organiza una rifa para su viaje de graduación. Han vendido boletos numerados del $1$ al $100$. Si el sorteo se realiza extrayendo un número al azar, calcula la probabilidad de que el número premiado:
- a) Sea un múltiplo de $10$.
- b) Termine en la cifra $7$.
- c) Sea un número menor que $15$.
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando".…
En una clase hay $30$ alumnos, de los cuales $18$ son chicas y $12$ son chicos. Se sabe que a $10$ chicas y a $8$ chicos les gusta el podcast de matemáticas "Derivando". Si organizas los datos en una tabla de contingencia (chicas/chicos frente a gusta/no gusta) y eliges un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:
- a) Sea un chico.
- b) Sea una chica a la que le guste el podcast.
- c) Sea una persona a la que no le guste el podcast.
Se ha realizado una encuesta en una preparatoria sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 2.º de preparatoria, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan…
Se ha realizado una encuesta en una preparatoria sobre el uso de redes sociales. De los $100$ estudiantes de 2.º de preparatoria, se sabe que $65$ usan TikTok, $40$ usan Instagram y $15$ no usan ninguna de las dos aplicaciones. Si seleccionamos un estudiante al azar, calcula la probabilidad de que:
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a) Use ambas redes sociales.
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b) Use TikTok pero no Instagram.
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que: El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma…
Se realiza un estudio sobre los hábitos de consumo de contenidos vía streaming entre los jóvenes de una ciudad. Se sabe que:
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El $65\%$ tiene suscripción a la plataforma N.
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El $50\%$ tiene suscripción a la plataforma D.
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El $45\%$ tiene suscripción a la plataforma H.
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El $30\%$ está suscrito a N y D.
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El $25\%$ está suscrito a N y H.
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El $20\%$ está suscrito a D y H.
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El $10\%$ está suscrito a las tres plataformas.
Si se elige a un joven al azar, calcula la probabilidad de que esté suscrito únicamente a una de las tres plataformas.
Como ayuda, en el diagrama de Venn solo se ha anotado la región de las tres plataformas; completa tú el resto de regiones.
Contar con orden: con y sin reemplazo
Cuando los casos son miles (un NIP, una contraseña) no se listan: se usa el principio multiplicativo. Si eliges en $k$ pasos y en cada uno hay $m_1, m_2, \dots, m_k$ opciones, hay $m_1 \cdot m_2 \cdots m_k$ resultados.
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Con reemplazo (se pueden repetir): en cada paso hay las mismas opciones. Un NIP de 3 cifras tiene $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1{,}000$ casos.
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Sin reemplazo (no se repiten): las opciones bajan en 1 en cada paso. Es una ordenación de $r$ elementos entre $n$: $nPr = n(n-1)\cdots(n-r+1) = \dfrac{n!}{(n-r)!}$.
Un código capicúa queda determinado por sus primeras cifras (las demás se copian), y una contraseña con condiciones por tipo (letras y dígitos) se cuenta eligiendo posiciones primero y caracteres después.
Para entrar en una aplicación de banca online, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcula la probabilidad de que el código asignado cumpla…
Para entrar en una aplicación de banca online, se genera un código PIN aleatorio de $4$ cifras (del $0$ al $9$). Calcula la probabilidad de que el código asignado cumpla las siguientes condiciones:
-
a) Todas sus cifras sean distintas.
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b) Sea un número capicúa (se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda).
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la…
En un bombo de lotería hay $10$ bolas numeradas del $0$ al $9$. Se extraen dos bolas sucesivamente con reemplazamiento (se devuelve la primera antes de sacar la segunda). Calcula la probabilidad de que el número formado por ambas cifras (considerando la primera como decenas y la segunda como unidades) sea un múltiplo de $4$ o un número mayor que $75$.
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilidad de que el producto de los…
Lanzamos tres dados equilibrados de seis caras (numeradas del 1 al 6) y anotamos los resultados como $(d_1, d_2, d_3)$. Calcula la probabilidad de que el producto de los tres números obtenidos sea un cuadrado perfecto (por ejemplo: $1 \times 2 \times 2 = 4 = 2^2$).
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas…
Un sistema de seguridad informática requiere una contraseña de 6 caracteres. El usuario debe elegir estos caracteres del conjunto formado por las 26 letras minúsculas del alfabeto y los dígitos del 0 al 9. Si el sistema genera automáticamente una contraseña al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 2 dígitos, 4 letras y que, además, no se repita ningún carácter?
Permutaciones: acomodar personas y letras
Acomodar $n$ elementos distintos en fila se puede hacer de $n!$ maneras. Si hay condiciones del tipo «estos dos juntos», se usa el bloque: se pega el grupo, se permutan los bloques y luego se permuta dentro de cada bloque.
Mesa circular. Si lo único que importa es quién queda al lado de quién, girar a todos una posición no cambia nada. Por eso $n$ personas en una mesa redonda se acomodan de $(n-1)!$ maneras (se fija a una persona y se acomodan las demás).
Cuando una condición dice «no juntos», usa el complemento: total menos «juntos». Con palabras como ALGORITMO, separa vocales y consonantes: elige primero qué posiciones ocupan y luego permuta cada grupo.
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcula la probabilidad de…
Un grupo de $5$ amigos (Ana, Borja, Clara, David y Elena) va a posar en fila para una foto de graduación. Si se colocan de forma aleatoria, calcula la probabilidad de que Ana y Elena aparezcan juntas en la foto.
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$, se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcula la probabilidad de…
Utilizando las letras de la palabra $ALGORITMO$, se forman todas las permutaciones posibles. Si se elige una de estas ordenaciones al azar, calcula la probabilidad de que la palabra resultante comience y termine por consonante, y que además todas las vocales aparezcan juntas en algún lugar de la cadena.
En una cena de graduación de 2º de Bachillerato, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren…
En una cena de graduación de 2º de Bachillerato, se sientan 8 amigos en una mesa circular. Entre ellos están una pareja, Alicia y Bruno, que han discutido y no quieren sentarse juntos, y otros dos amigos, Nerea y Thiago, que son inseparables y deben sentarse obligatoriamente uno al lado del otro. Si los asientos se asignan de forma totalmente aleatoria, calcula la probabilidad de que se cumplan simultáneamente los deseos de los cuatro amigos.
Combinaciones: elegir sin importar el orden
Cuando hay dos grupos («3 de estrategia y 2 de reflejos»), se multiplican las combinaciones de cada grupo. Si hay varias formas de cumplir la condición («al menos 3»), se suman los casos de cada forma.
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin reemplazo). Calcula la probabilidad de que: a)…
De una baraja española de $40$ cartas se extraen dos cartas simultáneamente (lo que equivale a extraer una tras otra sin reemplazo). Calcula la probabilidad de que:
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a) Ambas cartas sean del mismo palo.
-
b) Al menos una de las cartas sea un As.
En una urna de cristal para un sorteo de una tienda de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reemplazo.…
En una urna de cristal para un sorteo de una tienda de tecnología hay $12$ bolas blancas y $8$ bolas negras. Se extraen tres bolas al azar, una a una y sin reemplazo. Aplicando la regla de Laplace sobre el espacio muestral de eventos elementales equiprobables, determina la probabilidad de que las tres bolas extraídas sean del mismo color.
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15…
En un club de deportes electrónicos (eSports), se va a seleccionar un equipo de 5 jugadores para un torneo nacional. Al proceso de selección se han presentado 15 candidatos: 8 especialistas en estrategia y 7 especialistas en reflejos. El reglamento del torneo exige que el equipo tenga, al menos, 3 especialistas en estrategia y, como mínimo, 1 especialista en reflejos. Si la directiva elige a los 5 integrantes al azar entre todos los candidatos, calcula la probabilidad de que el equipo cumpla estrictamente con el reglamento.
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente…
Se extraen, de forma simultánea, 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que la suma de los valores de las tres cartas sea exactamente 10. (Para este ejercicio, considera que las figuras: sota, caballo y rey, tienen valores de 8, 9 y 10 respectivamente, y el as vale 1).
Ampliación: probabilidad geométrica
Cuando el espacio muestral es una región continua, no se pueden contar los puntos, pero sí medir.
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa…
Un videojuego de puntería consiste en lanzar un dardo virtual a una diana cuadrada de $20\text{ cm}$ de lado que tiene inscrito un círculo de color naranja. El programa garantiza que el dardo siempre impacta en algún punto del cuadrado de forma aleatoria (equiprobable). Calcula la probabilidad de que el dardo impacte fuera del círculo naranja. (Considera $\pi \approx 3.14$).
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se…
Una aplicación de diseño gráfico genera un patrón aleatorio colocando un punto $P$ dentro de un círculo de radio $R = 10 \text{ cm}$. En el centro del círculo se encuentra inscrito un cuadrado de lado $L = 8 \text{ cm}$. El algoritmo de la aplicación considera un "acierto visual" si el punto $P$ cae dentro del cuadrado o en la región del círculo que queda por encima del diámetro horizontal pero fuera del cuadrado. Utilizando el concepto de probabilidad geométrica (extensión de la Regla de Laplace para áreas), calcula la probabilidad de obtener un "acierto visual" en un intento.
Vuelve al principio: si tus 4 boletos son de 200 igual de probables, ganas con probabilidad $\frac{4}{200} = 0.02$, es decir, $2\%$. Eso es Laplace: favorables entre posibles.