Eventos dependientes e independientes

En un experimento aleatorio se lanza una moneda equilibrada (con las caras $C$ y $X$) y un dado de seis caras numeradas del 1 al 6. Se consideran los siguientes eventos:

• $A$: "Obtener cara en la moneda".

• $B$: "Obtener un número par en el dado".

Justifica si los eventos $A$ y $B$ son dependientes o independientes y calcula la probabilidad de que ocurran ambos a la vez, es decir, $P(A \cap B)$.

Un jugador de básquetbol tiene una probabilidad de encestar un tiro libre de $0.8$. Si lanza dos tiros libres seguidos y asumimos que el éxito en el segundo lanzamiento es independiente del resultado del primero, calcula:

1. a) La probabilidad de que enceste los dos tiros.
2. b) La probabilidad de que falle los dos tiros.
3. c) La probabilidad de que enceste al menos uno.

En una clase de 2º de preparatoria, el $40\%$ de los alumnos utiliza habitualmente la red social Instagram ($I$) y el $25\%$ utiliza TikTok ($T$). Se sabe además que el uso de ambas redes es independiente entre sí. Si elegimos un alumno al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Utilice ambas redes sociales.
2. b) No utilice ninguna de las dos.

Una urna contiene 5 bolas de color naranja y 3 bolas de color violeta. Se extraen dos bolas de forma consecutiva con reemplazamiento (se devuelve la primera bola a la urna antes de extraer la segunda).

1. a) Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean de color naranja.

1. b) ¿Influye el resultado de la primera extracción en la probabilidad de la segunda? Justifica tu respuesta.

Utilizando la misma urna del ejercicio anterior (5 bolas naranjas y 3 violetas), se extraen ahora dos bolas sin reemplazo.

1. a) Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea naranja sabiendo que la primera fue violeta.
2. b) ¿Son estos eventos independientes? Justifica tu respuesta comparando este resultado con la probabilidad de extraer una bola naranja en la primera posición.

En una lapicera hay 10 plumones: 6 son de color azul y 4 son de color rojo. Se extraen sucesivamente y sin devolución dos plumones.

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean azules?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo sea rojo si el primero fue azul?
3. c) ¿Son los eventos "el primer plumón es azul" y "el segundo plumón es azul" independientes? Justifica tu respuesta comparando las probabilidades condicionales.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un espacio muestral tales que conocemos sus probabilidades: $P(A) = 0.6$ y $P(B) = 0.4$. Si sabemos que los eventos son independientes, calcula:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$

Se dispone de la siguiente información sobre dos eventos $X$ e $Y$:

$P(X) = 0.5$, $P(Y) = 0.3$ y $P(X \cap Y) = 0.15$.

Demuestra matemáticamente si los eventos $X$ e $Y$ son independientes. Para ello, comprueba si se cumple la condición necesaria que relaciona la probabilidad de la intersección con el producto de las probabilidades individuales.

En un estudio sobre el consumo de contenido en streaming entre jóvenes, se ha observado que la probabilidad de que un estudiante esté suscrito a la plataforma A es $P(A) = 0.6$, mientras que la probabilidad de que esté suscrito a la plataforma B es $P(B) = 0.5$. Además, se sabe que la probabilidad de que no esté suscrito a ninguna de las dos es $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.2$.

1. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante esté suscrito a ambas plataformas.
2. b) Determina si los eventos "estar suscrito a la plataforma A" y "estar suscrito a la plataforma B" son eventos independientes. Justifica tu respuesta comparando $P(A \cap B)$ con $P(A) \times P(B)$.

Considera dos eventos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio de los que se conocen las siguientes probabilidades: $P(A) = 0.5$, $P(B | A) = 0.4$ y $P(B | \bar{A}) = 0.4$.

1. a) Calcula $P(A \cap B)$ y $P(\bar{A} \cap B)$.
2. b) A partir de los resultados anteriores, calcula $P(B)$.
3. c) Demuestra si los eventos $A$ y $B$ son independientes. ¿Qué conclusión puedes sacar sobre la probabilidad de $B$ cuando esta no varía aunque sepamos que $A$ ha ocurrido o no ha ocurrido?

De una baraja española de 40 cartas se extraen dos cartas sucesivamente y sin reemplazo. Sean los eventos:

• $A$: "La primera carta es un Rey".

• $B$: "La segunda carta es un Rey".

Calcula la probabilidad de $B$ condicionada a $A$, es decir, $P(B|A)$. ¿Es esta probabilidad igual a la probabilidad de obtener un Rey en la primera extracción? Justifica si los eventos son dependientes o independientes.

Una marca de ropa deportiva sabe que el $70\%$ de sus clientes compran tenis de running. De aquellos que compran tenis, el $40\%$ también adquiere una playera técnica. Por otro lado, entre los que no compran tenis, solo el $15\%$ adquiere la playera técnica.

1. a) Si elegimos un cliente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre la playera técnica?
2. b) ¿Son los eventos "comprar tenis" y "comprar playera" independientes? Justifica la respuesta analizando si el hecho de comprar tenis modifica la probabilidad de comprar la playera.

Un creador de contenido digital tiene dos canales: uno de videojuegos ($V$) y otro de cocina ($C$). El $60\%$ de sus suscriptores siguen el canal $V$, el $40\%$ siguen el canal $C$ y el $20\%$ siguen ambos canales.

1. a) Si seleccionamos un suscriptor al azar que sabemos que sigue el canal de cocina, ¿cuál es la probabilidad de que también siga el de videojuegos?
2. b) A la vista de los datos, ¿dirías que el hecho de seguir un canal influye en la probabilidad de seguir el otro? Justifica si los eventos son dependientes o independientes.

En un centro educativo, el $45\%$ de los alumnos de 2º de Bachillerato son de la modalidad de Ciencias Sociales ($CS$), el $35\%$ de Ciencias y Tecnología ($CT$) y el resto de Artes ($A$). Se sabe que la probabilidad de que a un alumno le guste la estadística es $0.8$ si es de $CS$, $0.6$ si es de $CT$ y $0.3$ si es de $A$.

1. a) Dibuja el diagrama de árbol que represente esta situación, indicando en cada rama su probabilidad.

1. b) ¿Es el gusto por la estadística un suceso independiente de la modalidad de bachillerato cursada? Demuéstralo matemáticamente para el caso de la modalidad de Ciencias Sociales.

Sean $A$ y $B$ dos eventos tales que $P(A) = 0.4$ y $P(B) = 0.3$.

1. a) Si $A$ y $B$ son eventos independientes, calcula $P(A \cup B)$ y $P(A | B)$.
2. b) Si $A$ y $B$ son eventos dependientes y sabemos que $P(A \cap B) = 0.2$, calcula $P(B | A)$.
3. c) En el caso b), ¿son $A$ y $B$ eventos mutuamente excluyentes? Justifica tu respuesta.

Se han clasificado los accidentes de tránsito en una ciudad según el tipo de vehículo y si el conductor era menor de 25 años. Los datos se muestran en la siguiente tabla:

1. a) Si elegimos un accidente al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
2. b) Si sabemos que el accidente fue de un ciclomotor, ¿cuál es la probabilidad de que el conductor sea menor de 25 años?
3. c) Utilizando los resultados anteriores, explica razonadamente si los eventos "ser menor de 25 años" y "manejar un ciclomotor" son independientes.

Sean $A$ y $B$ dos eventos de un experimento aleatorio tales que $P(A^c \cap B^c) = 0.2$, $P(A | B) = 0.4$ y $P(B | A) = 0.5$.

1. a) Calcula las probabilidades de los eventos $A$ y $B$. (Indicación: utiliza la definición de probabilidad condicional para plantear un sistema de ecuaciones).
2. b) Determina si los eventos $A$ y $B$ son independientes. Justifica tu respuesta.
3. c) Calcula $P(A^c \cup B)$.

En un torneo de videojuegos, un jugador debe superar dos fases. La probabilidad de superar la primera fase es $0.7$. Si supera la primera, la probabilidad de superar la segunda es $0.5$. Si no supera la primera, se le da una oportunidad de "repesca" que supera con probabilidad $0.3$. Si supera la repesca, entra en la segunda fase, pero con una probabilidad de éxito de solo $0.2$ debido al cansancio acumulado.

1. a) Calcula la probabilidad de que el jugador supere finalmente el torneo (superar la segunda fase).
2. b) Si el jugador ha superado el torneo, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya conseguido sin necesidad de pasar por la repesca?