Regla de la cadena

Calcula la derivada de las siguientes funciones polinómicas compuestas, simplificando el resultado lo máximo posible:

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

Dada la función $f(x) = (3x^2 - 5)^4$, identifica la función "externa" y la función "interna". Una vez identificadas, aplica la regla de la cadena para hallar su función derivada $f'(x)$.

Observa el siguiente esquema que representa la composición de dos funciones $u(x)$ y $v(x)$. Si sabemos que $f(x) = (v \circ u)(x)$, utiliza la información del diagrama para calcular $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica compuesta y halla el valor de la pendiente de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Calcula la derivada de la siguiente función radical:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utiliza la estructura de la regla de la cadena para potencias, recordando que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Halla la función derivada de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Para ello, recuerda que si $y = \ln(u)$, entonces $y' = \frac{u'}{u}$.

Dada la función exponencial compuesta $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$, determina los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.

Determina el valor del parámetro constante $k$ en la función $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$ es igual a $1$.

La regla de la cadena nos dice que si tenemos una composición de funciones $y = f(g(x))$, su derivada es $y' = f'(g(x)) \times g'(x)$.

Aplica este concepto para derivar la función trigonométrica:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Dada la función $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$, calcula el valor de su derivada en el punto de abscisa $x = 1$. Nota: Recuerda aplicar la regla de la cadena para logaritmos en bases distintas de $e$.

Calcula la función derivada de la siguiente expresión, simplificando el resultado todo lo posible mediante el uso de identidades trigonométricas o propiedades de los logaritmos:

En el departamento de marketing de una startup de moda, han estimado que el número de usuarios registrados en su web sigue la función:

$U(t) = e^{0.5t + 2}$

donde $t$ es el tiempo en meses. Halla la expresión de la tasa de crecimiento instantáneo de los usuarios (es decir, la derivada $U'(t)$).

Un fabricante de componentes electrónicos determina que el costo total (en pesos) de producir $x$ unidades de un nuevo sensor está dado por:

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calcula el costo marginal cuando se producen $x$ unidades (es decir, halla $C'(x)$).

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos ha estimado que el costo total (en miles de pesos) de producir $x$ unidades de un nuevo modelo de procesador está dado por la función:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Obtén la expresión del costo marginal $C'(x)$ utilizando la regla de la cadena y calcula dicho costo cuando se producen exactamente $10$ unidades.

El número de seguidores de una conocida influencer en una red social, medido en miles de personas, sigue un modelo de crecimiento dado por la función:

$S(t) = 50 \times \ln(t^2 + 4t + 5)$

donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento de su campaña publicitaria. La gráfica muestra la función y el punto correspondiente a $t = 3$.

Calcula el ritmo de crecimiento de seguidores (la derivada) en el tercer mes ($t = 3$).

Una empresa de marketing digital ha determinado que el número de usuarios activos en una plataforma social, $U(t)$, medido en miles, sigue una función que depende de la inversión en publicidad $x$ (en miles de pesos), la cual a su vez varía con el tiempo $t$ (en meses). Las funciones son:

Calcula la tasa de variación instantánea del número de usuarios respecto al tiempo cuando han transcurrido exactamente $t = 2$ meses. Interpreta si el crecimiento de usuarios se está acelerando o frenando en ese instante.

Halla la derivada de la siguiente función, que combina la regla del cociente con la regla de la cadena:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifica el resultado final tanto como sea posible.

El valor de mercado de una acción tecnológica (en pesos) ha fluctuado durante una jornada bursátil de 8 horas según la función:

$V(t) = 200 + 40 \times \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

donde $t$ es el tiempo en horas ($0 \le t \le 8$). Determina la razón de cambio instantánea del valor de la acción justo al cumplirse la sexta hora de la jornada.

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $g(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. La función viene definida por la siguiente composición:

Estudia la existencia de puntos con tangente horizontal en la función $f(x) = (x^2 - 4)^2 \times e^{-x^2}$. Para ello, obtén la derivada primera aplicando la regla de la cadena y el producto, e iguala a cero para hallar todas las posibles soluciones en el dominio real.

Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables. Se conocen los siguientes valores:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utiliza la regla de la cadena para calcular el valor de la derivada de la función compuesta $H(x) = (f \circ g)(x)$ en el punto $x = 2$, es decir, halla $H'(2)$.

Sean $f$ y $g$ dos funciones de las que se conocen los siguientes datos:

• $g(1) = 2$ y $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ y $f'(2) = 5$

Si definimos una nueva función $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$, calcula el valor de $H'(1)$ aplicando rigurosamente la regla de la cadena. Comenta qué ocurriría con la derivada si el valor dentro de la raíz fuese negativo.

Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la siguiente función sea continua y derivable en todo su dominio, prestando especial atención a la composición en la segunda rama:

En el estudio de un mercado monopolístico, se ha comprobado que el precio de un producto $p$ (en pesos) y la cantidad demandada $q$ (en unidades) están relacionados de forma implícita por la siguiente ecuación:

Sabiendo que el ingreso total está dado por la función $I = p \times q$, utiliza la regla de la cadena y la derivación implícita para hallar la derivada del ingreso respecto al precio, $\frac{dI}{dp}$, cuando el precio es $p = 4$ pesos (considera solo el valor positivo de $q$).