Identificación del modelo funcional adecuado
Hasta ahora has trabajado con funciones dadas por su fórmula. En la vida real suele pasar al revés: tienes una tabla de datos (ventas, usuarios, temperatura) y debes elegir qué familia de funciones la describe, antes de calcular ningún parámetro. Imagina que el puesto de aguas frescas de un tianguis registra sus ventas semana a semana: ¿van a seguir creciendo siempre igual? Elegir mal el modelo lleva a predicciones absurdas, y en esta página aprenderás a evitarlo.
Lineal: incrementos constantes
Estos datos muestran el costo de imprimir carteles en función del número de unidades: | Carteles | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | |---|---|---|---|---| | Costo ( pesos) |…
Estos datos muestran el costo de imprimir carteles en función del número de unidades:
| Carteles | $10$ | $20$ | $30$ | $40$ |
|---|---|---|---|---|
| Costo ( pesos) | $340$ | $580$ | $820$ | $1\,060$ |
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a) Comprueba que las diferencias entre costos consecutivos son constantes.
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b) ¿Qué modelo funcional conviene? Determina su expresión y calcula cuánto costarían $100$ carteles.
Verdadero o falso, razonando la respuesta con un contraejemplo: «Cualquier conjunto de datos que crece se ajusta bien a un modelo lineal».
Verdadero o falso, razonando la respuesta con un contraejemplo: «Cualquier conjunto de datos que crece se ajusta bien a un modelo lineal».
Cuadrático: una nube en forma de parábola
La figura muestra tres nubes de puntos correspondientes a tres fenómenos distintos, como se muestra en la figura. Asocia cada gráfica con uno de estos fenómenos y con el…
La figura muestra tres nubes de puntos correspondientes a tres fenómenos distintos, como se muestra en la figura.
Asocia cada gráfica con uno de estos fenómenos y con el modelo funcional que mejor le conviene, justificando cada asignación:
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- El coste medio de producción de una empresa en función del número de unidades fabricadas.
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- Los seguidores de una cuenta que crece por recomendaciones entre usuarios.
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- El gasto mensual en transporte de una familia en función del número de trayectos realizados.
Un analista ajusta los datos del consumo eléctrico mensual de un municipio (que es alto en invierno, bajo en primavera y vuelve a subir en verano por el aire…
Un analista ajusta los datos del consumo eléctrico mensual de un municipio (que es alto en invierno, bajo en primavera y vuelve a subir en verano por el aire acondicionado) con un polinomio de segundo grado.
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a) Razona por qué un modelo cuadrático puede dar predicciones absurdas a medio plazo para este fenómeno.
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b) ¿Qué familia de funciones sería más adecuada para un fenómeno que se repite cada año? Escribe la forma general de ese modelo y explica el significado de sus parámetros.
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c) ¿Qué precaución general hay que tener al extrapolar cualquier modelo ajustado a datos?
Exponencial: crecimiento que se acelera
La población de un pequeño pueblo con acceso limitado de vivienda ha pasado de $800$ a $1,600$ habitantes en diez años, pero el ritmo de crecimiento se está frenando a…
La población de un pequeño pueblo con acceso limitado de vivienda ha pasado de $800$ a $1,600$ habitantes en diez años, pero el ritmo de crecimiento se está frenando a medida que se ocupan las viviendas disponibles (capacidad máxima estimada: $2,000$ habitantes).
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a) Explica por qué un modelo exponencial puro no sería realista a largo plazo.
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b) ¿Qué modelo con asíntota horizontal sería más adecuado? Describe su forma y sus parámetros cualitativos.
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c) ¿Qué predicción a $30$ años daría cada modelo? Comenta la diferencia.
Los casos semanales de una epidemia de gripe en una comarca han sido: | Semana | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| |…
Los casos semanales de una epidemia de gripe en una comarca han sido:
| Semana | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Casos | $40$ | $95$ | $210$ | $380$ | $430$ | $350$ | $210$ | $90$ |
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a) Representa los datos y razona por qué ni un modelo exponencial ni uno logístico describen todo el proceso.
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b) Propón qué tipo de modelo (o combinación de modelos a trozos) podría ajustarse a cada fase del fenómeno, justificándolo.
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c) ¿Qué predicción razonable harías para la semana $10$?
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Exponenciales y logaritmos de distintas bases
La base $b$ de una exponencial $y=b^x$ cambia mucho su forma. Compara las bases $2$ y $3$ (crecen) y $\tfrac12$ (decrece). Todas pasan por $(0, 1)$ y nunca tocan el eje $x$.
| Punto de $y=2^x$ | $(-2, \tfrac14)$ | $(-1, \tfrac12)$ | $(0, 1)$ | $(1, 2)$ | $(2, 4)$ | $(3, 8)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Punto de $y=\log_2 x$ | $(\tfrac14, -2)$ | $(\tfrac12, -1)$ | $(1, 0)$ | $(2, 1)$ | $(4, 2)$ | $(8, 3)$ |
Las curvas $y=2^x$, $y=\log_2 x$ y la recta $y=x$ se ven así: el logaritmo es el "espejo" de la exponencial.
Con otra base el espejo se mantiene. Aquí, $y=3^x$ y $y=\log_3 x$:
Logarítmico y con techo de saturación
Ajustar el modelo con tecnología
No tienes que obtener $b$ y $k$ a mano. Con los datos del café:
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GeoGebra: en la Vista de Hoja de Cálculo escribe $t$ en la columna A y $T-22$ en la B (es decir, $68, 50, 37, 28, 22, 18$). Selecciona ambas, elige «Crear lista de puntos» y escribe en la barra de entrada
AjusteExp(lista1). Obtienes una función $a\,e^{bx}$ con $a\approx 68$ y $b\approx -0.06$. Súmale $22$ para tener $T(t)$. -
Hoja de cálculo (Excel, Google Sheets): captura las columnas $t$ y $T-22$, inserta una gráfica de dispersión, agrega una línea de tendencia exponencial y activa «mostrar ecuación» y $R^2$. Cuanto más cerca de $1$ esté $R^2$, mejor ajusta.
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Prueba también la tendencia lineal: verás que $R^2$ es menor y la curva se separa de los puntos. La tecnología ayuda a comparar modelos, pero el criterio de elegir uno (¿tiene techo?, ¿se repite?) sigue siendo tuyo.
La gráfica muestra los datos de usuarios mensuales de una plataforma de podcasts durante su primer año, como se muestra en la figura. ¿Cuál de estos modelos funcionales…
La gráfica muestra los datos de usuarios mensuales de una plataforma de podcasts durante su primer año, como se muestra en la figura.
¿Cuál de estos modelos funcionales describe mejor la tendencia: lineal, cuadrático, exponencial o logarítmico? Justifica tu elección descartando al menos dos de los otros modelos.
Se mide la temperatura de una taza de café cada $5$ minutos tras servirla: | $t$ (min) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ | |---|---|---|---|---|---|---| | $T$…
Se mide la temperatura de una taza de café cada $5$ minutos tras servirla:
| $t$ (min) | $0$ | $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $T$ ($^\circ$C) | $90$ | $72$ | $59$ | $50$ | $44$ | $40$ |
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a) Representa los puntos y explica por qué un modelo lineal no es adecuado.
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b) Sabiendo que la temperatura ambiente es de $22\ ^\circ$C, razona qué tipo de modelo (con qué asíntota) describe mejor el enfriamiento.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Elegir entre modelos y riesgos de extrapolar
Vuelve al principio: el puesto de aguas frescas no puede crecer para siempre igual. Si sus ventas suben cada vez más despacio hacia un máximo (la gente que pasa por el tianguis), el modelo es con techo, no lineal ni exponencial.