Estimación puntual: estimadores, sesgo y varianza muestral

Para estimar la estatura media de los estudiantes de $2.º$ de preparatoria de una ciudad se toma una muestra aleatoria de $5$ estudiantes, con estos resultados en centímetros: $165$, $170$, $172$, $168$, $175$.

• a) Calcula el estimador puntual de la media poblacional.

• b) Explica por qué ese valor es solo una estimación y no la media verdadera.

En una encuesta a $300$ estudiantes elegidos al azar, $87$ afirman ir a la preparatoria en bicicleta.

• a) ¿Cuál es el estimador puntual de la proporción poblacional de estudiantes que van en bicicleta? Calcúlalo.

• b) Expresa el resultado como porcentaje e interprétalo.

Verdadero o falso, razonando la respuesta: «La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, es decir, si tomáramos muchas muestras del mismo tamaño y calculáramos sus medias, el promedio de todas ellas coincidiría con la media de la población».

Una empresa quiere estimar la media de una población y un analista propone como «estimador» tomar el valor máximo de la muestra.

• a) Considera la población formada por los valores $\{2, 4, 6\}$ y todas las muestras de tamaño $2$ con reemplazamiento. Calcula la media poblacional y el promedio de los máximos de todas las muestras posibles.

• b) A la vista del resultado, ¿es ese estimador insesgado? Explica qué es el sesgo de un estimador a partir de tus cálculos.

Sea la población formada por los cinco valores $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

• a) Calcula la media poblacional $\mu$.

• b) Escribe todas las muestras de tamaño $2$ sin reemplazamiento y sin importar el orden, y calcula la media de cada una.

• c) Calcula el promedio de esas medias muestrales y comprueba que coincide con $\mu$. ¿Qué propiedad del estimador «media muestral» ilustra este resultado?

Sea $(x_1, x_2)$ una muestra aleatoria simple de tamaño $2$ de una población con media $\mu$.

• a) Demuestra que el estimador $T = \frac{x_1 + x_2}{2}$ es insesgado para $\mu$, es decir, que su valor esperado es $\mu$.

• b) Demuestra que el estimador $S = \frac{x_1 + x_2}{3}$ está sesgado y calcula su sesgo en función de $\mu$.

• c) Propón cómo corregirías $S$ para hacerlo insesgado.

Una muestra aleatoria de una población ha dado los valores $4$, $6$, $5$ y $9$.

• a) Calcula la media muestral.

• b) Calcula la varianza muestral (dividiendo entre $n$) y la cuasivarianza muestral (dividiendo entre $n - 1$).

• c) ¿Cuál de las dos se usa como estimador insesgado de la varianza poblacional? ¿Qué significa «insesgado»?

Se han medido los tiempos de carga completa (en minutos) de $8$ celulares de una misma marca: $74$, $81$, $69$, $78$, $85$, $72$, $77$, $80$.

• a) Estima la media del tiempo de carga de ese modelo con un estimador insesgado.

• b) Estima su varianza con un estimador insesgado (cuasivarianza).

• c) Calcula también la cuasidesviación estándar e interpreta ambos resultados.

Un portal inmobiliario toma una muestra de $6$ anuncios de habitaciones en renta en una colonia, con estos precios mensuales en pesos: $9\,000$, $10\,400$, $9\,600$, $10\,200$, $9\,300$, $9\,900$.

• a) Estima el precio promedio de la colonia con un estimador insesgado.

• b) Estima la variabilidad de los precios calculando la cuasivarianza y la cuasidesviación estándar.

• c) Explica, con los números de este ejercicio, qué diferencia hay entre dividir entre $n$ y entre $n - 1$, y por qué la estimación insesgada usa $n - 1$.

En una muestra aleatoria de $500$ clientes de una cadena de supermercados, $210$ declaran usar la aplicación de la cadena para hacer la compra.

• a) Estima la proporción poblacional de clientes que usan la aplicación.

• b) Calcula el error máximo de la estimación con una confianza del $95\ \%$, usando $E = 1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p} \times (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) Interpreta el resultado: ¿entre qué valores se encuentra, con esa confianza, la proporción verdadera?

Para estimar la media $\mu$ de una distribución normal se proponen tres estimadores basados en una muestra aleatoria: la media muestral, la mediana muestral y el punto medio entre el mínimo y el máximo de la muestra.

• a) Explica qué significa que un estimador sea insesgado y discute si cabe esperar que los tres lo sean en una distribución simétrica como la normal.

• b) Explica qué es la eficiencia de un estimador y razona cuál de los tres será, en general, menos eficiente. ¿Por qué suele preferirse la media muestral?

De una urna con una proporción desconocida $p$ de bolas rojas se extraen $40$ bolas con reemplazamiento, y $14$ son rojas.

• a) Da el estimador puntual de $p$ y su valor.

• b) Razona por qué, si en lugar de $40$ extracciones se hicieran $400$, el error típico de la estimación quedaría dividido aproximadamente por $\sqrt{10}$. Usa la expresión del error $E = z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p} \times (1 - \hat{p})}{n}}$.

• c) ¿Qué relación hay entre esta propiedad y la ley de los grandes números?