Derivada de una función en un punto
Un negocio no necesita saber «el costo en general»: necesita saber qué pasa justo en el nivel de producción en el que está hoy. ¿Cuánto cuesta producir una pieza más ahora mismo? Esa pregunta se responde con la derivada evaluada en un punto concreto, $a$. En este apartado aprenderás a calcularla, a interpretarla y a usarla para trazar rectas tangentes. Al final volveremos a esa pregunta.
De la variación promedio a la instantánea
Si $f$ describe una cantidad (seguidores, costo, ingresos), la variación promedio entre $x=a$ y $x=b$ es
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$y es la pendiente de la recta secante que une los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$. Dice cuánto cambia $f$, en promedio, por cada unidad de $x$ en ese tramo.
Si el extremo $b$ se acerca a $a$, la secante gira hasta convertirse en la tangente, y la variación promedio se convierte en la variación instantánea: la derivada $f'(a)$.
Un creador de contenido ha observado que el número de seguidores de su canal durante la primera semana sigue la función $f(t) = t^2 + 2t + 100$, donde $t$ es el tiempo…
Un creador de contenido ha observado que el número de seguidores de su canal durante la primera semana sigue la función $f(t) = t^2 + 2t + 100$, donde $t$ es el tiempo en días.
Calcula la Tasa de Variación Media (T.V.M.) del número de seguidores entre el segundo día ($t = 2$) y el quinto día ($t = 5$). ¿Qué significado tiene este valor en el contexto del problema?
La definición de derivada en un punto
Esto sigue la regla de los cuatro pasos: calcula $f(a+h)$, luego $f(a+h)-f(a)$, divide entre $h$ y toma el límite cuando $h\to0$. Al sustituir directo sale $\frac{0}{0}$; hay que simplificar antes.
Cuando hay una raíz, la indeterminación $\frac00$ se elimina multiplicando por el conjugado.
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de su derivada en el punto $x = 3$ utilizando la definición de derivada mediante el límite: $$f'(a) =…
Dada la función polinómica $f(x) = x^2 - 4x + 5$, calcula el valor de su derivada en el punto $x = 3$ utilizando la definición de derivada mediante el límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$El número de descargas de una nueva App de moda, en miles, viene dado por la función $D(t) = 2t^2 - t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde su lanzamiento. Calcula la…
El número de descargas de una nueva App de moda, en miles, viene dado por la función $D(t) = 2t^2 - t$, donde $t$ es el tiempo en horas desde su lanzamiento.
Calcula la velocidad instantánea de descarga (la derivada) en el instante $t = 4$ horas utilizando el límite:
$$D'(4) = \lim_{x \to 4} \frac{D(x) - D(4)}{x - 4}$$Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicando la definición de derivada en un punto. Explica si la función está creciendo o decreciendo en ese…
Dada la función racional $f(x) = \frac{2}{x}$, calcula $f'(2)$ aplicando la definición de derivada en un punto. Explica si la función está creciendo o decreciendo en ese punto basándote en el signo del resultado.
Utiliza la definición de derivada en un punto mediante el cálculo del límite: $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ para hallar el valor de la derivada de…
Utiliza la definición de derivada en un punto mediante el cálculo del límite:
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$para hallar el valor de la derivada de la función $f(x) = \frac{3}{x-2}$ en el punto de abscisa $x = 4$. Explica el significado geométrico del resultado obtenido en relación con la pendiente de la curva en ese punto.
Calcula, utilizando exclusivamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ para la función: $$f(x) =…
Calcula, utilizando exclusivamente la definición de derivada mediante el límite del cociente incremental ($h \to 0$), el valor de $f'(4)$ para la función:
$$f(x) = \sqrt{2x + 1}$$Justifica cada paso del proceso, especialmente la eliminación de la indeterminación.
Significado geométrico: la recta tangente
$f'(a)$ es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en el punto $(a,f(a))$. Si $f'(a)>0$ la función crece en ese punto; si $f'(a)<0$ decrece; si $f'(a)=0$ la tangente es horizontal.
Si el problema te da una gráfica con la tangente dibujada, la pendiente se lee como $\dfrac{\text{avance vertical}}{\text{avance horizontal}}$ entre dos puntos de esa recta.
Aquí, si el avance horizontal vale 2 unidades y el vertical sube 1, la pendiente es $\frac12$, es decir, $f'(a)=\frac12$ en el punto $P$.
Para derivar sin usar el límite cada vez, estas reglas bastan en este apartado (se estudian con detalle en «Reglas de derivación»):
| Función | Derivada |
|---|---|
| $c$ (constante) | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $u+v$ | $u'+v'$ |
| $\dfrac{u}{v}$ | $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ |
| $\ln x$ | $\dfrac1x$ |
| $e^{u}$ | $u'\,e^{u}$ |
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente a la misma en el punto $P$. A partir de la información visual, indica razonadamente cuál es el…
Observa la siguiente gráfica de la función $f(x)$ y la recta tangente a la misma en el punto $P$.
A partir de la información visual, indica razonadamente cuál es el valor de la derivada de la función en el punto de abscisa $x = 2$, es decir, halla $f'(2)$.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$. Nota: Recuerda que la ecuación de la recta tangente…
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = 3x^2 - 5$ en el punto de abscisa $x = 1$.
Nota: Recuerda que la ecuación de la recta tangente viene dada por $y - f(a) = f'(a)(x - a)$.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje $Y$).
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 5x + 2$ en el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje $Y$).
Razón de cambio y costo marginal
La derivada estima el cambio para un incremento pequeño, pero no es exacto: la tangente es una recta y la curva se separa de ella.
Vuelve al principio: cuánto cuesta producir una pieza más ahora mismo es el costo marginal $C'(a)$ en el nivel actual de producción.
Una empresa de mensajería ha comprobado que el costo de envío de un paquete (en pesos) depende de su peso $x$ (en kg) según la función $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcula,…
Una empresa de mensajería ha comprobado que el costo de envío de un paquete (en pesos) depende de su peso $x$ (en kg) según la función $C(x) = \sqrt{4x + 9}$. Calcula, usando la definición de derivada como límite, la razón de cambio instantánea del costo para un paquete que pesa exactamente $4$ kg e interpreta el resultado en términos económicos (costo marginal).
El número de usuarios de una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Se…
El número de usuarios de una nueva red social (en miles) evoluciona según la función $U(t) = \frac{20t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde su lanzamiento. Se pide:
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Hallar la tasa de variación media de usuarios entre el mes $t=1$ y el mes $t=3$.
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Hallar la tasa de crecimiento instantáneo (derivada) en el mes $t=2$ mediante las reglas de derivación y comparar ambos valores.
La función de ingresos de una startup tecnológica está dada por $I(x) = \frac{8\,000x}{x+40}$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de pesos e $I(x)$ los…
La función de ingresos de una startup tecnológica está dada por $I(x) = \frac{8\,000x}{x+40}$, donde $x$ es la inversión en marketing en miles de pesos e $I(x)$ los ingresos en miles de pesos.
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Calcula la Tasa de Variación Media (TVM) en el intervalo $[40; 50]$.
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Calcula la Tasa de Variación Instantánea (derivada) en $x = 40$.
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¿Qué error se comete si usamos la derivada en $x=40$ para estimar el incremento de ingresos al pasar de 40 a 50 miles de pesos de inversión?
Puntos con una pendiente dada
A veces no te dan el punto sino una condición sobre la tangente (horizontal, paralela a una recta, perpendicular, un ángulo, que pase por otro punto). Hay que encontrar los puntos.
Cuando los datos son sobre parámetros desconocidos, cada condición da una ecuación: «pasa por un punto» da una ecuación con $f$, «tangente con pendiente $m$ en $x=a$» o «derivada nula» da una con $f'$. Por ejemplo, la pendiente de la tangente de una cúbica es $f'(x)$ (una parábola), y su mínimo está en el vértice de esa parábola.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x$ en los que la recta tangente es horizontal. Ayuda: Una recta es horizontal cuando su pendiente es…
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^2 - 6x$ en los que la recta tangente es horizontal.
Ayuda: Una recta es horizontal cuando su pendiente es igual a cero.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 1 - 2x$.
Determina los puntos de la gráfica de la función $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 2x + 5$ en los que la recta tangente es paralela a la recta $y = 1 - 2x$.
Se considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del parámetro $k \neq 0$ para que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ forme…
Se considera la función $f(x) = \frac{k}{x^2+1}$. Determina el valor del parámetro $k \neq 0$ para que la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$ forme un ángulo de $135^\circ$ con el sentido positivo del eje $OX$. Una vez hallado $k$, escribe la ecuación de dicha recta tangente.
La trayectoria de un dron de reparto sigue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectómetros). El operador del dron quiere programar una maniobra de aproximación en línea…
La trayectoria de un dron de reparto sigue la curva $f(x) = x^2 - 6x + 8$ (en hectómetros). El operador del dron quiere programar una maniobra de aproximación en línea recta desde un punto $P(a, f(a))$ de la trayectoria, de tal forma que la recta tangente a la curva en ese punto pase exactamente por la estación de carga, situada en el origen de coordenadas $(0,0)$.
Halla las coordenadas de los posibles puntos de tangencia y las ecuaciones de dichas rectas.
Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que: 1. La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$. 2.…
Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, determina los valores de los parámetros $a, b$ y $c$ sabiendo que:
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La gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.
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La pendiente de la recta tangente en $x = 0$ es mínima.
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Existe un punto singular (derivada nula) en $x = 2$.
Ampliación: derivabilidad y derivadas laterales
Las derivadas laterales son los límites del cociente incremental por la izquierda ($h\to0^-$) y por la derecha ($h\to0^+$). Cuando la función cambia de fórmula en $x=a$ (tarifas por tramos, por ejemplo), hay que calcular ambas.
Continuidad no implica derivabilidad, pero derivabilidad sí implica continuidad.
Parámetros para que una función por tramos sea derivable
Se imponen las dos condiciones: continuidad (los valores coinciden) y derivadas laterales iguales. Son dos ecuaciones para dos parámetros.
Si un tramo incluye $\ln x$ o $\frac{a}{x}$, la idea es la misma: iguala los valores y las derivadas en el punto de unión. Recuerda $(\ln x)'=\frac1x$ y $\left(\frac{a}{x}\right)'=-\frac{a}{x^2}$.
Valor absoluto
Con valor absoluto, $|g(x)|$ se escribe por tramos según el signo de $g$. En $f(x)=|x^2-4|$, para $x<2$ (cerca de 2) se cumple $x^2-4<0$, luego $f(x)=4-x^2$ y $f'(2^-)=-4$; para $x>2$, $f(x)=x^2-4$ y $f'(2^+)=4$. Como son distintas, hay un punto anguloso en $x=2$.
Se considera la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ Estudia la derivabilidad de la…
Se considera la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 2 \\ x^2 + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Estudia la derivabilidad de la función en el punto $x = 2$ comprobando si las derivadas laterales existen y son iguales. ¿Es la función continua en dicho punto?
Dada la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - a & \text{si } x < 2 \\ bx + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$ Calcula los valores de $a$ y $b$ para…
Dada la función definida a trozos:
$$f(x) = \begin{cases} x^2 - a & \text{si } x < 2 \\ bx + 1 & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$Calcula los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en el punto $x = 2$. Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él.
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punto $x = 2$ calculando sus derivadas laterales. Interpreta gráficamente por qué la función no es…
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = |x^2 - 4|$ en el punto $x = 2$ calculando sus derivadas laterales. Interpreta gráficamente por qué la función no es derivable en ese valor de la abscisa.
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = x \times |x - 2|$ en el punto $x = 2$. Para ello: 1. Expresa la función como una función definida a trozos. 2. Calcula las…
Estudia la derivabilidad de la función $f(x) = x \times |x - 2|$ en el punto $x = 2$. Para ello:
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Expresa la función como una función definida a trozos.
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Calcula las derivadas laterales en $x = 2$ usando la definición de derivada.
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Interpreta gráficamente si el punto $(2, f(2))$ es un "punto anguloso" o un punto de "transición suave".
Una empresa de logística ha modelado el costo de mantenimiento de su flota de camionetas eléctricas mediante una función $f(x)$ definida por tramos. Para asegurar que no…
Una empresa de logística ha modelado el costo de mantenimiento de su flota de camionetas eléctricas mediante una función $f(x)$ definida por tramos. Para asegurar que no existan cambios bruscos en los costos operativos, la función debe ser derivable en todo su dominio. Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función sea derivable en $x = 1$:
$$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) + \frac{a}{x} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$Ampliación: la recta normal
Halla la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente…
Halla la ecuación de la recta normal a la curva $f(x) = e^{x-1} + 2x$ en el punto de abscisa $x = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la recta tangente en el punto de contacto.
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x) = e^{2x-4}$ en el punto donde la gráfica corta a la recta horizontal $y = 1$. Recuerda que la recta…
Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x) = e^{2x-4}$ en el punto donde la gráfica corta a la recta horizontal $y = 1$. Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente en el punto de contacto.