Formas de contar

En la cafetería de una preparatoria, el menú del día permite elegir entre 3 primeros platos, 4 segundos platos y 2 postres. ¿De cuántas formas distintas puede un estudiante configurar su almuerzo completo compuesto por un primero, un segundo y un postre?

Una red social requiere que los nombres de usuario empiecen siempre por una letra minúscula (de entre las 26 del alfabeto inglés) seguidas obligatoriamente de 2 dígitos (del $0$ al $9$). ¿Cuántos nombres de usuario diferentes bajo este formato se pueden crear?

En una cafetería ofrecen un "Combo Estudiante" que consiste en elegir un tipo de sándwich, un acompañamiento y una bebida. Tienen $5$ tipos de sándwiches, $3$ tipos de acompañamientos y $4$ tipos de bebidas.

1. a) ¿Cuántos menús diferentes se pueden configurar?
2. b) Si un estudiante decide que no quiere sándwich de vegetales (hay un tipo) ni quiere beber agua (hay un tipo), ¿cuántas opciones tiene ahora para su menú?

Para entrar a una aplicación de celular, un usuario debe crear un código de seguridad de 4 dígitos. Si el sistema permite repetir los números y utiliza los dígitos del $0$ al $9$, ¿cuántos códigos de seguridad diferentes se pueden generar?

Un grupo de 10 amigos decide organizar un torneo de videojuegos. Los premios se otorgarán al primer, segundo y tercer clasificado. Sabiendo que no puede haber empates, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden repartir estos tres trofeos?

Para mejorar la seguridad de los casilleros inteligentes de una preparatoria, el sistema requiere un código de acceso de $4$ dígitos. Sin embargo, para evitar combinaciones obvias, el sistema impone las siguientes condiciones: el primer dígito debe ser impar, el último debe ser par (considerando el $0$ como par) y no se puede repetir ningún dígito en el código. ¿Cuántos códigos diferentes se pueden generar siguiendo estas reglas?

En una competición regional de E-sports (videojuegos competitivos) participan $12$ equipos. Los organizadores deben entregar una medalla de oro, una de plata y una de bronce a los tres primeros clasificados.

1. a) ¿De cuántas formas distintas puede quedar el podio de la competición?
2. b) Si sabemos que el equipo local "Los Gamers" siempre queda entre los tres primeros, ¿de cuántas formas puede completarse el podio ahora?

Una estantería tiene espacio para colocar exactamente 6 libros de texto de diferentes asignaturas de 2º de Bachillerato. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar estos 6 libros en la balda si queremos que todos queden alineados uno junto al otro?

¿Cuántas palabras de 4 letras, tengan o no sentido, se pueden formar utilizando las letras de la palabra BALA? (Ten en cuenta que la letra 'A' aparece repetida).

Una marca de ropa urbana quiere lanzar una edición limitada de sudaderas. Tienen $3$ sudaderas rojas idénticas, $2$ sudaderas azules idénticas y $4$ sudaderas negras también idénticas. Para una sesión de fotos, deben colocar todas estas sudaderas en fila sobre un mostrador. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las sudaderas atendiendo únicamente a su color?

Siete amigos van a cenar a una pizzería y se sientan en una mesa circular.

1. a) ¿De cuántas formas diferentes pueden sentarse alrededor de la mesa?
2. b) Dos de los amigos, Ana y Javi, han discutido y no quieren sentarse juntos. ¿De cuántas formas pueden sentarse ahora los siete amigos cumpliendo esta condición?

Seis amigos (3 chicos y 3 chicas) se sientan a cenar en una mesa circular para celebrar el fin de los exámenes. Determina el número de disposiciones posibles en las que pueden sentarse si:

1. No hay restricciones de género.

2. Los chicos y las chicas deben sentarse alternadamente (ningún chico al lado de otro chico y ninguna chica al lado de otra chica).

3. Una pareja específica de amigos, Elena y Marcos, insisten en sentarse juntos.

(Nota: Considera que en las permutaciones circulares solo importa la posición relativa de unos respecto a otros).

En una clase de 12 alumnos, el tutor debe elegir a 3 de ellos para que formen parte de la junta de delegados del centro. Dado que los tres elegidos tendrán la misma responsabilidad, ¿cuántos grupos de delegados diferentes se pueden formar?

En una heladería ofrecen 8 sabores distintos de helado. Si un cliente quiere comprar una tarrina con 2 bolas de helado de sabores diferentes, ¿cuántas combinaciones distintas puede elegir?

Un grupo de $15$ alumnos de $2º$ de preparatoria está organizando la fiesta de graduación. Deben elegir un comité formado por $4$ personas para encargarse de la música y la comida.

1. a) ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?
2. b) Si en el grupo hay $8$ chicas y $7$ chicos, ¿cuántos de esos comités estarían formados por $2$ chicas y $2$ chicos?

Un mensajero debe entregar un paquete en una ciudad cuya estructura de calles es una cuadrícula perfecta. Debe ir desde el punto $A$ (esquina inferior izquierda) hasta el punto $B$ (esquina superior derecha), moviéndose solo hacia la derecha o hacia arriba. Si la distancia es de $6$ manzanas hacia la derecha y $4$ manzanas hacia arriba:

1. a) ¿Cuántos trayectos diferentes puede seguir?
2. b) ¿Cuántos de esos trayectos pasan por un punto de control $C$ situado a $3$ manzanas a la derecha y $2$ hacia arriba desde el punto $A$?

Un programador está desarrollando un algoritmo para encontrar la ruta más corta en una red de sensores representada por una cuadrícula de $6 \times 5$ nodos. El algoritmo debe calcular cuántos caminos de longitud mínima existen desde el nodo $A(0,0)$ hasta el nodo $B(6,5)$, teniendo en cuenta que debido a una avería, el nodo central $C(3,3)$ es inaccesible y no puede formar parte de ninguna ruta.

Una empresa de ciberseguridad quiere generar códigos de acceso únicos para sus empleados. Cada código debe tener una longitud de 9 caracteres distribuidos de la siguiente manera:

• 3 letras mayúsculas iniciales (elegidas entre las 26 del alfabeto, sin incluir la Ñ).

• 4 dígitos numéricos centrales (0-9).

• 2 símbolos especiales finales (elegidos de un conjunto de 5 símbolos: @, #, %, &, *).

Calcula cuántos códigos diferentes se pueden generar si se imponen las siguientes restricciones:

1. Las letras mayúsculas no pueden repetirse.

2. Los dígitos numéricos deben ser todos distintos y estar dispuestos en orden estrictamente creciente.

3. Los símbolos especiales pueden repetirse.

Un estudio de arquitectura está diseñando una urbanización con 7 parcelas idénticas en línea. Deben plantar árboles de tres especies distintas: robles, pinos y encinas. Por razones estéticas y biológicas, se deben cumplir los siguientes requisitos:

• En cada parcela solo se planta un árbol.

• Debe haber al menos un árbol de cada especie.

• No puede haber dos pinos en parcelas contiguas.

Calcula el número total de formas diferentes en las que se pueden distribuir los árboles en las 7 parcelas.

Se desea formar un comité de debate para un modelo de Naciones Unidas (MUN) compuesto por 6 estudiantes. Los candidatos disponibles son 8 alumnos de 2.° de preparatoria y 6 alumnos de 1.° de preparatoria.

Calcula de cuántas maneras se puede elegir el comité si se deben cumplir simultáneamente estas dos condiciones:

1. En el comité debe haber más alumnos de 2.° que de 1.° de preparatoria.

2. Al menos debe haber un alumno de cada grado en el grupo seleccionado.

Una plataforma de streaming utiliza un algoritmo para recomendar listas de reproducción. Si disponen de 10 canciones de Rock, 8 de Pop y 6 de Indie, ¿cuántas listas de reproducción de 5 canciones se pueden crear de modo que cada lista contenga al menos una canción de cada uno de los tres géneros musicales? Ten en cuenta que el orden de las canciones en la lista sí importa.

Halla el valor de $n$ (entero con $n \ge 3$) en la siguiente ecuación con números combinatorios, razonando los pasos realizados:

Determina todos los valores de $n \in \mathbb{N}$ que verifican la siguiente igualdad algebraica basada en números combinatorios:

Justifica el proceso descomponiendo los factoriales y resolviendo la ecuación resultante.

En el desarrollo del binomio de Newton para la expresión $(\frac{x^2}{2} - \frac{k}{x^3})^{15}$, se sabe que el coeficiente del término que contiene a $x^{10}$ es igual a $3003$. Determina razonadamente el valor del número real positivo $k$ y, una vez hallado, calcula el valor del término independiente de este desarrollo si es que existe.