La distribución binomial

En una encuesta sobre hábitos de consumo digital, se ha determinado que la probabilidad de que un estudiante de preparatoria prefiera utilizar una tableta en lugar de una computadora para estudiar es $p = 0.3$. Si seleccionamos al azar a $8$ estudiantes de una clase:

1. a) Identifica los parámetros $n$ y $p$ de la distribución binomial que modela esta situación.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $3$ de ellos prefieran la tableta?

Un examen de tipo test consta de $10$ preguntas con $4$ opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide contestar todas las preguntas al azar.

1. a) Justifica por qué esta situación sigue una distribución binomial $B(n, p)$.
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que acierte exactamente $5$ preguntas?

Un examen de opción múltiple consta de $5$ preguntas, cada una con $4$ posibles respuestas de las cuales solo una es correcta. Un alumno que no ha estudiado decide responder todas las preguntas al azar.

1. a) Justifica por qué este experimento sigue una distribución binomial e identifica sus parámetros.

1. b) Calcula la probabilidad de que el alumno apruebe el examen (obtenga $3$ o más respuestas correctas).

Un creador de contenido en TikTok sabe que la probabilidad de que uno de sus vídeos se vuelva "viral" (alcance más de 10,000 visualizaciones) es del $15\%$. Si esta semana ha publicado $5$ vídeos independientes:

1. a) Calcula la probabilidad de que ninguno de los vídeos sea viral.
2. b) Calcula la probabilidad de que exactamente $2$ vídeos lo sean.

Un lanzador de tiros libres de básquetbol tiene una probabilidad de encestar del $80\%$. Si realiza una serie de $4$ lanzamientos independientes:

1. a) Construye la tabla de la función de probabilidad para los posibles éxitos ($0, 1, 2, 3$ y $4$ canastas).
2. b) ¿Cuál es el resultado más probable?

En una encuesta reciente sobre hábitos digitales, se ha determinado que el $35\%$ de los adolescentes mexicanos prefiere utilizar plataformas de video corto antes que redes sociales convencionales. Si se selecciona un grupo de $8$ estudiantes de $2^o$ de preparatoria al azar, calcula:

1. a) La probabilidad de que exactamente $3$ de ellos prefieran los videos cortos.

1. b) La esperanza matemática y la desviación estándar del número de estudiantes que prefieren estas plataformas en este grupo.

Se ha comprobado que la probabilidad de que un cliente de una cafetería cercana a la preparatoria pida un jugo natural es de $0.4$. Si en un momento determinado hay $7$ clientes en la barra haciendo su pedido de forma independiente, calcula la probabilidad de que:

1. a) Exactamente $4$ clientes pidan jugo.

1. b) Más de $2$ clientes pidan jugo.

Se sabe que el $60\%$ de los jóvenes de una ciudad utilizan el transporte público para ir a la preparatoria. Si elegimos un grupo de $6$ jóvenes al azar, calcula la probabilidad de que:

1. a) Al menos uno de ellos utilice el transporte público.
2. b) Todos ellos utilicen el transporte público.

En una reserva natural, se ha observado que el $25\%$ de los ejemplares de una especie de aves migratorias tiene una mancha blanca en el ala. Si un fotógrafo toma fotos de una bandada de $12$ aves:

1. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna tenga la mancha blanca?
2. b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente una tenga la mancha?

Un tirador con arco del club de la preparatoria tiene una probabilidad de dar en el blanco de $0.7$ en cada disparo. Si realiza una serie de $6$ lanzamientos de forma independiente, determina la probabilidad de que consiga dar en el blanco en al menos $5$ ocasiones.

Se sabe que el $15\%$ de las laptops fabricadas por una marca presentan algún defecto leve de píxeles en la pantalla antes de cumplir los dos años de uso. En una sala de cómputo que acaba de renovar sus equipos con $10$ de estas laptops, calcula la probabilidad de que, como máximo, haya $2$ computadoras con dicho defecto.

Una empresa de mensajería entrega correctamente el $94\%$ de sus paquetes en el plazo garantizado. Un adolescente ha realizado $12$ pedidos online a lo largo del año que han sido enviados por esta empresa. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los paquetes haya llegado fuera de plazo.

Una plataforma de streaming sabe que el $25\%$ de sus suscriptores jóvenes cancela su suscripción después del mes de prueba gratuito. Si este mes se han registrado $9$ nuevos alumnos de un mismo curso:

1. a) ¿Cuál es el número esperado de alumnos que cancelarán la suscripción?

1. b) Calcula la probabilidad de que el número de alumnos que cancelen la suscripción esté comprendido entre $2$ y $4$, ambos inclusive.

En un control de calidad de una fábrica de componentes para scooters eléctricos, se ha estimado que el $4\%$ de las piezas salen con algún defecto estético. Si se analizan lotes de $50$ piezas:

1. a) ¿Cuál es el número medio de piezas defectuosas que esperamos encontrar por lote?
2. b) Calcula la desviación estándar de la distribución.

Una aplicación de idiomas envía notificaciones diarias a sus usuarios. La probabilidad de que un usuario abra la notificación es $p = 0.4$. Si un usuario recibe $7$ notificaciones a lo largo de una semana:

1. a) Calcula la probabilidad de que abra exactamente $4$.
2. b) ¿Cuántas notificaciones se espera que abra de media en esa semana?

Una empresa de fabricación de componentes para drones sabe que la probabilidad de que un motor sea defectuoso es $p$. Se empaquetan en cajas de $8$ unidades. El departamento de control de calidad ha observado que la probabilidad de encontrar exactamente $2$ motores defectuosos en una caja es el triple de la probabilidad de encontrar exactamente $1$ motor defectuoso.

1. a) Determina el valor del parámetro $p$.
2. b) Calcula la esperanza y la desviación típica del número de motores defectuosos en un pedido de $100$ motores.
3. c) Si un cliente compra una caja de $8$ motores, ¿cuál es la probabilidad de que deba devolverla porque contiene más de $2$ motores defectuosos?

En una campaña de concienciación ambiental en un centro educativo, se ha observado que la media de alumnos que reciclan correctamente sus envases en grupos de $20$ personas es de $12$. Asumiendo que la conducta de reciclaje sigue una distribución binomial:

1. a) Calcula la probabilidad de éxito $p$ (probabilidad de que un alumno elegido al azar recicle correctamente).

1. b) En un grupo de $5$ alumnos elegidos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente $4$ de ellos reciclen correctamente?

Un analista de ciberseguridad ha determinado que la probabilidad de que un intento de acceso no autorizado a un servidor corporativo sea detectado por el cortafuegos es de $p$. Se sabe que si se realizan $10$ intentos independientes, la probabilidad de que no se detecte ningún intento es de $0.0563$.

1. a) Calcula el valor de la probabilidad de detección $p$.
2. b) Si en una jornada se producen $20$ intentos de acceso, ¿cuál es la probabilidad de que se detecten al menos $18$ de ellos?
3. c) ¿Cuál es el número mínimo de intentos que debería realizar un atacante para que la probabilidad de que al menos uno de ellos no sea detectado sea superior a $0.99$?

El examen final de una asignatura es tipo test y consta de $10$ preguntas con $4$ opciones de respuesta cada una, de las cuales solo una es correcta. Un estudiante responde al azar a todas las preguntas. Para aprobar, se exige obtener al menos un $5$ de nota, sabiendo que cada respuesta correcta suma $1$ punto y cada respuesta incorrecta resta $0.25$ puntos.

1. a) Define la variable aleatoria $X$ que cuenta los aciertos del estudiante, indica cómo se distribuye y cuáles son sus parámetros.

1. b) Determina el número mínimo de aciertos necesarios para aprobar el examen.

1. c) Calcula la probabilidad de que el estudiante apruebe el examen respondiendo totalmente al azar.

En un proceso de producción de envases de vidrio, la probabilidad de que un envase presente una burbuja de aire es del $2\%$. Los envases se revisan en lotes de $n$ unidades.

1. a) Si los lotes son de $50$ unidades, calcula la probabilidad de que un lote contenga exactamente $2$ envases defectuosos.
2. b) ¿Cuál debe ser el tamaño máximo del lote $n$ para que la probabilidad de que no haya ningún envase defectuoso sea mayor que $0.85$?
3. c) Si se analizan $1000$ envases, calcula la probabilidad de que el número de envases con burbujas esté a menos de una desviación típica de la media.

Un canal de televisión emite un concurso donde los participantes deben elegir entre dos cajas, una con premio y otra vacía. Un concursante participa en el programa durante $n$ días consecutivos. La probabilidad de que gane el premio al menos una vez en esos $n$ días es de $0.999$.

1. a) Calcula el valor mínimo de $n$.
2. b) Para ese valor de $n$, calcula la probabilidad de que gane el premio exactamente la mitad de los días.
3. c) Si cada premio tiene un valor de $500$ pesos, calcula la ganancia esperada del concursante y la probabilidad de que su ganancia total supere los $2000$ pesos.