Grafici di relazioni tra grandezze

Dalla tabella al grafico

Una relazione tra due grandezze si può descrivere con una tabella, con una formula o con un grafico. Il grafico ha il vantaggio di mostrare l'andamento a colpo d'occhio.

Nel piano cartesiano si riporta la grandezza indipendente (quella che scegli di far variare) sull'asse orizzontale e la grandezza dipendente (quella che misuri) sull'asse verticale. Ogni coppia di valori è un punto, e ogni asse porta il nome della grandezza e la sua unità di misura, per esempio $t\ (\text{s})$.

Ricorda: un grafico $y$-$x$ ha $y$ sull'asse verticale e $x$ su quello orizzontale. Un grafico $s$-$t$ ha dunque lo spazio in verticale e il tempo in orizzontale.

Retta per l'origine: proporzionalità diretta

Se $y$ è direttamente proporzionale a $x$, il rapporto $y/x$ resta costante:

Il grafico è una retta passante per l'origine. La costante $k$ è il coefficiente angolare (la pendenza): indica di quanto aumenta $y$ per ogni unità di $x$ e ha un significato fisico, con la sua unità di misura.

Retta che non passa per l'origine

La relazione lineare più generale è

dove $m$ è il coefficiente angolare e $q$ l'intercetta (il valore di $y$ per $x = 0$, cioè l'ordinata all'origine). Per $q \ne 0$ la retta non passa per l'origine e $y$ non è direttamente proporzionale a $x$: raddoppiando $x$, $y$ non raddoppia.

Un taxi con tariffa $C = 3{,}00 + 1{,}50\,d$ ($C$ in €, $d$ in km) ha $q = 3{,}00\ €$ (la quota fissa di partenza) e $m = 1{,}50\ €/\text{km}$ (il costo per chilometro). Con $d = 4\ \text{km}$ si paga $9{,}00\ €$; con $d = 8\ \text{km}$ si pagano $15{,}00\ €$, non $18{,}00\ €$.

Per ottenere la pendenza e l'equazione da due punti: calcola $m$ come rapporto delle differenze, poi ricava $q$ sostituendo un punto. Per i punti $(1; 5)$ e $(3; 11)$: $m = (11 - 5)/(3 - 1) = 3$; da $5 = 3 \cdot 1 + q$ segue $q = 2$, quindi $y = 3x + 2$.

Iperbole e parabola

Proporzionalità inversa. Se $x \cdot y = k$ è costante, allora $y = k/x$. Il grafico è un'iperbole (un ramo, per $x>0$): quando $x$ raddoppia, $y$ si dimezza; per $x$ molto piccolo $y$ diventa molto grande, per $x$ molto grande $y$ si avvicina a $0$ senza raggiungerlo. Esempio: a temperatura costante $p \cdot V = \text{costante}$ per un gas.

Relazione quadratica. Se $y = k\,x^2$, il grafico è una parabola con vertice nell'origine. Quando $x$ raddoppia, $y$ diventa quattro volte più grande; se $x$ triplica, $y$ diventa nove volte. Esempio: l'auto che parte da ferma ha $s = 2{,}0\,t^2$.

Linearizzare un grafico

La retta è la curva più facile da riconoscere e da usare. Se i dati seguono una curva, si cambia la grandezza riportata sugli assi per ottenere una retta per l'origine, e la pendenza fornisce la costante.

• Se $y = k\,x^2$, riporta $y$ in funzione di $x^2$.

• Se $y = k/x$, riporta $y$ in funzione di $1/x$.

• Se $y = k\sqrt{x}$, riporta $y$ in funzione di $\sqrt{x}$.

Per una proporzionalità inversa, come $p \cdot V = k$: con $(2{,}0\ \text{L}; 3{,}0\ \text{atm})$ e $(6{,}0\ \text{L}; 1{,}0\ \text{atm})$ si ha $2{,}0 \cdot 3{,}0 = 6{,}0 = 6{,}0 \cdot 1{,}0$. Il prodotto è costante, quindi $p = 6{,}0/V$ e il grafico $p$-$1/V$ è una retta per l'origine con pendenza $6{,}0\ \mathrm{atm\cdot L}$.

Vuoi sapere come finisce la storia di Giulia? Dalla tabella calcola $s/t$ e $s/t^2$: se il secondo rapporto è costante, il grafico $s$-$t$ è una parabola e la pallina si muove con spazio proporzionale a $t^2$. Un grafico $s$ in funzione di $t^2$ lo conferma con una retta.

In sintesi

• Grandezza indipendente sull'asse orizzontale, dipendente su quello verticale; assi con nome e unità.

• Retta per l'origine: $y = kx$, proporzionalità diretta; $k$ è la pendenza e ha un significato fisico.

• Retta con intercetta: $y = mx + q$ con $q \ne 0$; non è proporzionalità diretta.

• Iperbole: $y = k/x$, con $x \cdot y$ costante. Parabola: $y = kx^2$, raddoppiando $x$ la $y$ quadruplica.

• Per linearizzare una curva si riporta $y$ in funzione di $x^2$, $1/x$ o $\sqrt{x}$: la pendenza dà la costante.