Errori di misura e strumenti
Quattro studenti misurano con lo stesso righello la larghezza del tavolo del laboratorio, ma non ottengono esattamente lo stesso numero: per qualcuno è $80{,}2\ \text{cm}$, per altri $80{,}4\ \text{cm}$. Nessuno ha misurato «male»: semplicemente nessuna misura è perfetta. Capire perché succede, e come lavorare con questo fatto, è importante quanto saper misurare.
Ogni misura ha un'incertezza
Misura lo spessore del tuo libro con il righello e chiedi a tre compagni di fare lo stesso: raramente l'ultima cifra coincide. Perché non esiste una misura assolutamente esatta?
Misurare una grandezza significa confrontarla con un campione, e questo confronto è limitato dallo strumento, dal metodo e dall'operatore. Per questo il risultato non è mai un numero «esatto».
Quattro studenti misurano con lo stesso righello la larghezza del tavolo del laboratorio e ottengono $80,2\ \text{cm}$, $80,3\ \text{cm}$, $80,2\ \text{cm}$ e…
Quattro studenti misurano con lo stesso righello la larghezza del tavolo del laboratorio e ottengono $80,2\ \text{cm}$, $80,3\ \text{cm}$, $80,2\ \text{cm}$ e $80,4\ \text{cm}$. a) Qualcuno di loro ha misurato male? b) Perché le quattro misure non risultano esattamente uguali? Spiega che cosa significa la frase «ogni misura ha un errore».
Completa la frase con le parole mancanti: «Nessuna misura è $\dots$: c'è sempre una piccola differenza tra il valore $\dots$ e il valore misurato. Questa differenza si…
Completa la frase con le parole mancanti: «Nessuna misura è $\dots$: c'è sempre una piccola differenza tra il valore $\dots$ e il valore misurato. Questa differenza si chiama $\dots$».
In laboratorio, il cilindro graduato si legge con l'occhio esattamente all'altezza della superficie del liquido, mai dall'alto né dal basso, come mostra la figura. a)…
In laboratorio, il cilindro graduato si legge con l'occhio esattamente all'altezza della superficie del liquido, mai dall'alto né dal basso, come mostra la figura.
- a) Che cosa pensi accada alla lettura se guardi dall'alto o dal basso? b) Perché questo errore si ripete sempre nello stesso verso se guardi sempre nel modo sbagliato?
Sensibilità e portata dello strumento
Un righello da $30\ \text{cm}$ che segna i millimetri ha portata $30\ \text{cm}$ e sensibilità $1\ \text{mm}$. Una sensibilità migliore (divisione più piccola) permette misure più fini, ma da sola non garantisce un risultato accurato.
Lo strumento va scelto in base a ciò che si misura: un falegname non ha bisogno della sensibilità di un orologiaio, e per $2\ \text{g}$ di lievito una pesapersone che segna da $100$ in $100\ \text{g}$ è inutile.
Per misurare il diametro di una vite, quale strumento ha una risoluzione più fine: il righello da $30\ \text{cm}$ del tuo astuccio o un calibro? Nella figura vedi un…
Per misurare il diametro di una vite, quale strumento ha una risoluzione più fine: il righello da $30\ \text{cm}$ del tuo astuccio o un calibro? Nella figura vedi un calibro che misura una vite:
Spiega che cosa significa che uno strumento ha una «risoluzione più fine» di un altro e se questo basta perché sia più preciso.
Ordina questi strumenti dal meno al più preciso per misurare lunghezze: un metro da sarta, che segna i centimetri; un righello scolastico, che segna i millimetri; un…
Ordina questi strumenti dal meno al più preciso per misurare lunghezze: un metro da sarta, che segna i centimetri; un righello scolastico, che segna i millimetri; un calibro, che segna i decimi di millimetro.
Con un righello che segna i millimetri, Omar misura la sua penna: $14,3\ \text{cm}$. La sua compagna dice che con lo stesso righello misura $14,32\ \text{cm}$. a) È…
Con un righello che segna i millimetri, Omar misura la sua penna: $14,3\ \text{cm}$. La sua compagna dice che con lo stesso righello misura $14,32\ \text{cm}$. a) È possibile questa seconda misura con quel righello? b) Spiega quale relazione c'è tra la sensibilità di uno strumento e le cifre che ha senso scrivere nel risultato.
Misure ripetute: valore medio e incertezza
Cronometrando tre volte la discesa di un carrellino ottieni $1{,}42\ \text{s}$, $1{,}38\ \text{s}$ e $1{,}40\ \text{s}$. Quale valore scrivi come risultato finale?
Prova con il widget: modifica i dati (per esempio le quattro pesate della mela) e osserva come cambiano la media e la dispersione.
Per l'incertezza assoluta di una misura ripetuta si usa la semidispersione:
$$\delta x=\frac{x_{\max}-x_{\min}}{2}.$$Il risultato si scrive $x=(\bar{x}\pm\delta x)$ con l'unità di misura. Se invece fai una sola misura, l'incertezza assoluta è la sensibilità dello strumento. Per i tre tempi: $\bar{x}=1{,}40\ \text{s}$, $\delta x=\dfrac{1{,}42-1{,}38}{2}=0{,}02\ \text{s}$, quindi $t=(1{,}40\pm0{,}02)\ \text{s}$.
Per questo la distanza Terra-Luna ($384\,400\ \text{km}$ con circa $4\ \text{m}$ di incertezza) è molto più «precisa in proporzione» di un tavolo di $1{,}20\ \text{m}$ con $1\ \text{cm}$ di incertezza: $4\ \text{m}/384\,400\,000\ \text{m}\approx10^{-8}$, cioè circa $10^{-6}\%$, contro $1/120\approx0{,}8\%$.
Dati anomali
Se una misura si discosta molto dalle altre, è sospetta: forse hai dimenticato il cronometro in marcia o letto male la scala. Prima si ripete la misura; si scarta il dato solo se si individua e si documenta la causa. Un dato anomalo può falsare la media e la dispersione.
Propagazione dell'incertezza
Quando si calcola una grandezza a partire da altre misure:
| Operazione | Che cosa si somma |
|---|---|
| somma o differenza | le incertezze assolute |
| prodotto o quoziente | le incertezze relative |
Esempio: un rettangolo di lati $a=(20{,}0\pm0{,}1)\ \text{cm}$ e $b=(10{,}0\pm0{,}1)\ \text{cm}$ ha perimetro $60{,}0\ \text{cm}$ con incertezza $2(0{,}1+0{,}1)=0{,}4\ \text{cm}$, cioè $(60{,}0\pm0{,}4)\ \text{cm}$; l'area $200\ \text{cm}^2$ ha incertezza relativa $0{,}5\%+1\%=1{,}5\%$, cioè circa $3\ \text{cm}^2$.
Cinque cronometri misurano il tempo del vincitore di una finale di nuoto e registrano: $26,4\ \text{s}$, $26,5\ \text{s}$, $26,4\ \text{s}$, $26,6\ \text{s}$ e…
Cinque cronometri misurano il tempo del vincitore di una finale di nuoto e registrano: $26,4\ \text{s}$, $26,5\ \text{s}$, $26,4\ \text{s}$, $26,6\ \text{s}$ e $26,6\ \text{s}$. Calcola la media delle cinque misure.
Irene pesa una mela quattro volte con la stessa bilancia e ottiene: $150\ \text{g}$, $152\ \text{g}$, $149\ \text{g}$ e $151\ \text{g}$. a) Qual è il valore medio della…
Irene pesa una mela quattro volte con la stessa bilancia e ottiene: $150\ \text{g}$, $152\ \text{g}$, $149\ \text{g}$ e $151\ \text{g}$. a) Qual è il valore medio della massa? b) Perché si prende la media come «miglior valore» di una misura ripetuta più volte?
Misurando una matita, quattro studenti annotano: $8,2\ \text{cm}$, $8,3\ \text{cm}$, $8,4\ \text{cm}$ e $9,5\ \text{cm}$. La figura rappresenta le quattro misure su una…
Misurando una matita, quattro studenti annotano: $8,2\ \text{cm}$, $8,3\ \text{cm}$, $8,4\ \text{cm}$ e $9,5\ \text{cm}$. La figura rappresenta le quattro misure su una retta:
- a) Una delle misure spicca perché anomala: qual è e che cosa può essere successo? b) Calcola la media delle quattro misure e poi la media senza la misura anomala. Di quale delle due ti fidi di più?
Errori sistematici e accidentali: precisione e accuratezza
Due bilance pesano un campione da $100\ \text{g}$: la prima segna sempre $104\ \text{g}$, la seconda oscilla tra $98\ \text{g}$ e $102\ \text{g}$. Quale funziona meglio, e in che cosa differiscono i loro difetti?
Il righello di legno del laboratorio si è consumato all'estremità dello zero e ora inizia direttamente dalla tacca di $5\ \text{mm}$, come quello della figura. a) Se lo…
Il righello di legno del laboratorio si è consumato all'estremità dello zero e ora inizia direttamente dalla tacca di $5\ \text{mm}$, come quello della figura.
- a) Se lo usi senza accorgertene, allineando l'estremità consumata con il bordo dell'oggetto, che cosa accadrà a tutte le tue misure? b) È un errore che cambia a ogni misura o si ripete sempre uguale? Sai come si chiama questo tipo di errore? c) Come puoi continuare a misurare bene con quel righello senza comprarne un altro?
Tre gruppi misurano la massa della stessa pietra. Gruppo A: $45,2\ \text{g}$, $45,3\ \text{g}$ e $45,2\ \text{g}$. Gruppo B: $44,1\ \text{g}$, $46,0\ \text{g}$ e…
Tre gruppi misurano la massa della stessa pietra. Gruppo A: $45,2\ \text{g}$, $45,3\ \text{g}$ e $45,2\ \text{g}$. Gruppo B: $44,1\ \text{g}$, $46,0\ \text{g}$ e $45,5\ \text{g}$. Gruppo C: sempre $50,0\ \text{g}$, perché la sua bilancia era tarata male. La figura rappresenta le misure dei tre gruppi:
- a) Calcola la media di ciascun gruppo. b) Quale gruppo è più preciso, cioè ha le misure più raggruppate? c) Sapendo che il valore vero è $45\ \text{g}$, spiega la differenza tra avere misure raggruppate e avere misure accurate.
Un osservatorio misura la distanza dalla Terra alla Luna con un laser: $384\,400\ \text{km}$, con un errore di circa $4\ \text{m}$. a) Questa misura ha un errore? È…
Un osservatorio misura la distanza dalla Terra alla Luna con un laser: $384\,400\ \text{km}$, con un errore di circa $4\ \text{m}$. a) Questa misura ha un errore? È sbagliata per questo? b) Confronta questa misura con quella del tuo tavolo, di $1,20\ \text{m}$, con un errore di $1\ \text{cm}$: quale misura è migliore in proporzione alla grandezza di ciò che si misura? c) Spiega con parole tue la frase «ogni misura ha un errore, ma non tutte le misure valgono lo stesso».
Torniamo all'inizio: per dare il miglior valore della larghezza del tavolo a partire dalle quattro misure ($80{,}2$; $80{,}3$; $80{,}2$; $80{,}4$ cm) calcoliamo la media: $\bar{x}=\dfrac{80{,}2+80{,}3+80{,}2+80{,}4}{4}=\dfrac{321{,}1}{4}\approx80{,}3\ \text{cm}$, con semidispersione $\dfrac{80{,}4-80{,}2}{2}=0{,}1\ \text{cm}$. Il risultato è $(80{,}3\pm0{,}1)\ \text{cm}$.