Proporzionalità diretta e inversa
Sei in bicicletta sulla ciclabile del Po e vuoi capire quanto tempo ti serve per arrivare a destinazione. Se raddoppi la velocità, il tempo si dimezza? E se raddoppi la distanza, che cosa succede? In fisica molte leggi nascono proprio da domande come queste: come cambia una grandezza quando ne cambia un'altra? Vedremo i due legami più semplici e importanti.
Proporzionalità diretta
Un'automobile viaggia a velocità costante e percorre $90\ \text{km}$ ogni ora. Quanto percorre in $2\ \text{h}$? E in $3\ \text{h}$? E in mezz'ora?
| $t\ (\text{h})$ | 0,5 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $s\ (\text{km})$ | 45 | 90 | 180 | 270 |
Se il tempo raddoppia, anche la distanza raddoppia; se triplica, triplica; se si dimezza, si dimezza. Inoltre il rapporto $s/t$ è sempre lo stesso: $90\ \text{km/h}$.
Perché funziona così? Moltiplicare $x$ per un numero $n$ significa moltiplicare anche $y$ per $n$: $k\,(n x)=n\,(k x)$. Il grafico di $y$ in funzione di $x$ è una semiretta che parte dall'origine, e $k$ ne è la pendenza.
Un'automobile procede a velocità costante e percorre $90\ \text{km}$ in $1\ \text{h}$. Completa la tabella per $t = 2\ \text{h}$, $3\ \text{h}$ e $0,5\ \text{h}$ e…
Un'automobile procede a velocità costante e percorre $90\ \text{km}$ in $1\ \text{h}$. Completa la tabella per $t = 2\ \text{h}$, $3\ \text{h}$ e $0,5\ \text{h}$ e stabilisci se distanza e tempo sono direttamente proporzionali.
| $t$ (h) | $1$ | $2$ | $3$ | $0,5$ |
|---|---|---|---|---|
| $d$ (km) | $90$ | … | … | … |
Una molla si allunga di $3,0\ \text{cm}$ quando vi appendi una massa di $200\ \text{g}$. Supponi che l'allungamento sia direttamente proporzionale alla massa. a) Calcola…
Una molla si allunga di $3,0\ \text{cm}$ quando vi appendi una massa di $200\ \text{g}$. Supponi che l'allungamento sia direttamente proporzionale alla massa.
- a) Calcola la costante di proporzionalità in $\text{cm/g}$.
- b) Calcola l'allungamento con $500\ \text{g}$.
- c) Quale massa produce un allungamento di $12\ \text{cm}$?
Proporzionalità inversa
Per riempire una vasca con un rubinetto servono $20\ \text{min}$. Con due rubinetti identici, ne bastano $10$; con quattro, $5$.
| $n$ rubinetti | 1 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|
| $t\ (\text{min})$ | 20 | 10 | 5 |
Se $n$ raddoppia, $t$ si dimezza; se $n$ quadruplica, $t$ diventa un quarto. Qui non è costante il rapporto, ma il prodotto: $n\cdot t=20$, $2\cdot10=20$, $4\cdot5=20$.
Il perché: se $x$ diventa $n x$, per mantenere $x y=k$ serve $y/n$. La stessa quantità di lavoro (riempire la vasca) viene "divisa" tra più rubinetti.
Per riempire una vasca servono $20\ \text{min}$ con un rubinetto. Quanto tempo servirebbe con $2$ rubinetti identici? E con $4$? Che tipo di proporzionalità c'è tra…
Per riempire una vasca servono $20\ \text{min}$ con un rubinetto. Quanto tempo servirebbe con $2$ rubinetti identici? E con $4$? Che tipo di proporzionalità c'è tra numero di rubinetti e tempo?
Un gruppo di amici affitta un rifugio sulle Dolomiti per $480\ €$ da dividere in parti uguali. a) Scrivi la relazione tra il numero $n$ di amici e la quota $q$ a…
Un gruppo di amici affitta un rifugio sulle Dolomiti per $480\ €$ da dividere in parti uguali.
- a) Scrivi la relazione tra il numero $n$ di amici e la quota $q$ a persona.
- b) Calcola la quota per $n = 4$, $6$, $8$.
- c) Che cosa succede alla quota se il numero di amici raddoppia?
Un gas in un cilindro a temperatura costante ha pressione $1,0 \cdot 10^5\ \text{Pa}$ e volume $6,0\ \text{L}$. Il prodotto $p \cdot V$ resta costante. a) Calcola la…
Un gas in un cilindro a temperatura costante ha pressione $1,0 \cdot 10^5\ \text{Pa}$ e volume $6,0\ \text{L}$. Il prodotto $p \cdot V$ resta costante.
- a) Calcola la pressione se il volume diventa $2,0\ \text{L}$.
- b) Calcola il volume se la pressione diventa $4,0 \cdot 10^5\ \text{Pa}$.
- c) Di che tipo è la relazione tra $p$ e $V$?
Riconoscere il tipo di legame da una tabella
Data una tabella di valori $(x; y)$, segui questo schema:
-
calcola $y/x$ per ogni coppia: se è sempre uguale, la proporzionalità è diretta;
-
calcola $x\cdot y$ per ogni coppia: se è sempre uguale, è inversa;
-
se nessuno dei due è costante, nessuna delle due.
| $x$ | $y$ (caso a) | $y$ (caso b) | $y$ (caso c) |
|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 12 | 2 |
| 2 | 12 | 6 | 5 |
| 3 | 18 | 4 | 8 |
| tipo | diretta ($y/x=6$) | inversa ($x y=12$) | nessuna |
Nelle misure reali i valori non sono mai esatti: rapporti o prodotti saranno quasi costanti, con differenze compatibili con le incertezze. Si calcola allora il valore medio di $k$ e lo si usa per prevedere nuovi valori.
Per le coppie di valori $(x, y)$ seguenti stabilisci se $y$ è direttamente proporzionale a $x$, inversamente proporzionale o nessuno dei due: a) $(1; 6)$, $(2; 12)$,…
Per le coppie di valori $(x, y)$ seguenti stabilisci se $y$ è direttamente proporzionale a $x$, inversamente proporzionale o nessuno dei due:
- a) $(1; 6)$, $(2; 12)$, $(3; 18)$
- b) $(1; 12)$, $(2; 6)$, $(3; 4)$
- c) $(1; 2)$, $(2; 5)$, $(3; 8)$
Un'azienda di Torino deve verificare che una grandezza $F$ sia direttamente proporzionale a $x$. Le misure sono: | $x\ (\text{cm})$ | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 |…
Un'azienda di Torino deve verificare che una grandezza $F$ sia direttamente proporzionale a $x$. Le misure sono:
| $x\ (\text{cm})$ | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 |
|---|---|---|---|---|
| $F\ (\text{N})$ | 2,1 | 3,9 | 6,2 | 7,9 |
- a) Calcola il rapporto $F/x$ per ogni misura e il suo valore medio.
- b) Giustifica perché, entro gli errori di misura, si può considerare valida la proporzionalità diretta.
- c) Usa il valore medio per prevedere $F$ con $x = 7,0\ \text{cm}$ e spiega perché la previsione è affidabile solo se la proporzionalità vale anche in quell'intervallo.
Variazioni percentuali nella proporzionalità inversa
Un ciclista percorre Firenze–Siena (circa $70\ \text{km}$) a velocità costante $v$: $t=70/v$, quindi $t$ e $v$ sono inversamente proporzionali.
Se la velocità aumenta del $25\%$, diventa $1,25\,v$. Il nuovo tempo è
$$t'=\frac{70}{1,25\,v}=0,8\,t$$cioè il tempo diminuisce del $20\%$, non del $25\%$.
In generale: se $x$ viene moltiplicato per $a$, $y$ viene moltiplicato per $1/a$. Se $x$ triplica, $y$ diventa un terzo; se $x$ si dimezza, $y$ raddoppia.
Un ciclista percorre il tragitto Firenze–Siena (circa $70\ \text{km}$) a velocità costante $v$. a) Scrivi la relazione tra tempo $t$ e velocità $v$ e indica il tipo di…
Un ciclista percorre il tragitto Firenze–Siena (circa $70\ \text{km}$) a velocità costante $v$.
- a) Scrivi la relazione tra tempo $t$ e velocità $v$ e indica il tipo di proporzionalità.
- b) Se la velocità aumenta del $25\%$, di quale percentuale diminuisce il tempo? Giustifica.
- c) Spiega perché la diminuzione percentuale del tempo non è uguale all'aumento percentuale della velocità.
Due grandezze $x$ e $y$ sono legate da $y = k/x$. Per $x = 2$ si ha $y = 18$. a) Determina $k$ e completa i valori di $y$ per $x = 3$, $4$, $9$, $12$. b) Come cambia $y$…
Due grandezze $x$ e $y$ sono legate da $y = k/x$. Per $x = 2$ si ha $y = 18$.
- a) Determina $k$ e completa i valori di $y$ per $x = 3$, $4$, $9$, $12$.
- b) Come cambia $y$ se $x$ viene triplicato? E se $x$ viene dimezzato?
- c) Dimostra che il prodotto $x \cdot y$ è costante e spiega come riconoscere questa proporzionalità da una tabella di dati.
Torniamo alla domanda iniziale: raddoppiando la velocità il tempo si dimezza (proporzionalità inversa), mentre raddoppiando la distanza il tempo raddoppia (diretta).
In sintesi
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Direttamente proporzionali: $y/x=k$ costante, $y=kx$; grafico: retta per l'origine con pendenza $k$.
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Inversamente proporzionali: $x\cdot y=k$ costante, $y=k/x$; grafico: iperbole.
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Da una tabella calcola prima i rapporti, poi i prodotti.
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Nei dati sperimentali la costanza è valida entro gli errori: usa il valore medio di $k$.
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Nella proporzionalità inversa le variazioni percentuali non sono uguali: $+25\%$ su $v$ dà $-20\%$ su $t$.