Esercizi: Proporzionalità diretta e inversa

Un'automobile procede a velocità costante e percorre $90\ \text{km}$ in $1\ \text{h}$. Completa la tabella per $t = 2\ \text{h}$, $3\ \text{h}$ e $0,5\ \text{h}$ e stabilisci se distanza e tempo sono direttamente proporzionali.

Per riempire una vasca servono $20\ \text{min}$ con un rubinetto. Quanto tempo servirebbe con $2$ rubinetti identici? E con $4$? Che tipo di proporzionalità c'è tra numero di rubinetti e tempo?

Per le coppie di valori $(x, y)$ seguenti stabilisci se $y$ è direttamente proporzionale a $x$, inversamente proporzionale o nessuno dei due:

1. a) $(1; 6)$, $(2; 12)$, $(3; 18)$

1. b) $(1; 12)$, $(2; 6)$, $(3; 4)$

1. c) $(1; 2)$, $(2; 5)$, $(3; 8)$

Una molla si allunga di $3,0\ \text{cm}$ quando vi appendi una massa di $200\ \text{g}$. Supponi che l'allungamento sia direttamente proporzionale alla massa.

1. a) Calcola la costante di proporzionalità in $\text{cm/g}$.

1. b) Calcola l'allungamento con $500\ \text{g}$.

1. c) Quale massa produce un allungamento di $12\ \text{cm}$?

Un gruppo di amici affitta un rifugio sulle Dolomiti per $480\ €$ da dividere in parti uguali.

1. a) Scrivi la relazione tra il numero $n$ di amici e la quota $q$ a persona.

1. b) Calcola la quota per $n = 4$, $6$, $8$.

1. c) Che cosa succede alla quota se il numero di amici raddoppia?

Un gas in un cilindro a temperatura costante ha pressione $1,0 \cdot 10^5\ \text{Pa}$ e volume $6,0\ \text{L}$. Il prodotto $p \cdot V$ resta costante.

1. a) Calcola la pressione se il volume diventa $2,0\ \text{L}$.

1. b) Calcola il volume se la pressione diventa $4,0 \cdot 10^5\ \text{Pa}$.

1. c) Di che tipo è la relazione tra $p$ e $V$?

Un ciclista percorre il tragitto Firenze–Siena (circa $70\ \text{km}$) a velocità costante $v$.

1. a) Scrivi la relazione tra tempo $t$ e velocità $v$ e indica il tipo di proporzionalità.

1. b) Se la velocità aumenta del $25\%$, di quale percentuale diminuisce il tempo? Giustifica.

1. c) Spiega perché la diminuzione percentuale del tempo non è uguale all'aumento percentuale della velocità.

Due grandezze $x$ e $y$ sono legate da $y = k/x$. Per $x = 2$ si ha $y = 18$.

1. a) Determina $k$ e completa i valori di $y$ per $x = 3$, $4$, $9$, $12$.

1. b) Come cambia $y$ se $x$ viene triplicato? E se $x$ viene dimezzato?

1. c) Dimostra che il prodotto $x \cdot y$ è costante e spiega come riconoscere questa proporzionalità da una tabella di dati.

Un'azienda di Torino deve verificare che una grandezza $F$ sia direttamente proporzionale a $x$. Le misure sono:

1. a) Calcola il rapporto $F/x$ per ogni misura e il suo valore medio.

1. b) Giustifica perché, entro gli errori di misura, si può considerare valida la proporzionalità diretta.

1. c) Usa il valore medio per prevedere $F$ con $x = 7,0\ \text{cm}$ e spiega perché la previsione è affidabile solo se la proporzionalità vale anche in quell'intervallo.