Dilatación lineal, superficial y volumétrica
Al mediodía en el valle de Sula, los rieles de acero de una vía férrea están tan calientes que no se pueden tocar. Si estuvieran pegados extremo con extremo, podrían torcerse. Por eso los ingenieros dejan una pequeña separación entre ellos. ¿Cuánto se alarga un riel de 12 m cuando se calienta? ¿Y qué pasa con un orificio en una placa que se calienta? En esta página aprenderá a calcularlo.
¿Qué es la dilatación?
Observe lo que pasa cuando una tapa metálica de un frasco de vidrio no se abre: se la pone un momento bajo agua caliente y sale con facilidad. El metal se agrandó un poco más que el vidrio.
Los átomos de un sólido vibran alrededor de sus posiciones. Al calentar el cuerpo vibran con más amplitud y, en promedio, se separan un poco más. El resultado es que el cuerpo ocupa más espacio. Casi todos los materiales hacen esto.
Hay tres tipos, según la dimensión que interesa:
-
Lineal: cambia una sola dimensión (varilla, riel, cable).
-
Superficial: cambia el área (lámina, placa).
-
Volumétrica: cambia el volumen (bloque, tanque, líquidos).
El aumento es muy pequeño (el dibujo lo exagera), pero en estructuras largas importa mucho.
Defina operacionalmente la dilatación térmica de un sólido. Escriba la fórmula de la dilatación lineal $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ e indique qué representa cada…
Defina operacionalmente la dilatación térmica de un sólido. Escriba la fórmula de la dilatación lineal $\Delta L = \alpha L_0 \Delta T$ e indique qué representa cada símbolo y la unidad de $\alpha$.
Dilatación lineal
Experimentalmente se encuentra que, para cambios de temperatura moderados:
-
$\Delta L$ es proporcional a $\Delta T$: si el cambio de temperatura se duplica, el alargamiento se duplica.
-
$\Delta L$ es proporcional a la longitud inicial $L_0$: una varilla del doble de largo se alarga el doble.
-
Depende del material.
El valor de $\alpha$ indica cuánto se alarga cada metro del material por cada grado de aumento. Por ejemplo, $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ significa que cada metro de acero se alarga $0.000012\ \text{m}$ por cada $^\circ\text{C}$.
| Material | $\alpha$ ($^\circ\text{C}^{-1}$) |
|---|---|
| Acero | $1.2\times10^{-5}$ |
| Cobre | $1.7\times10^{-5}$ |
| Aluminio | $2.4\times10^{-5}$ |
| Vidrio común | $\approx 0.9\times10^{-5}$ |
Como $\Delta T$ en $^\circ\text{C}$ y en K es el mismo número, puede usar grados Celsius directamente.
Puede ver cómo cambia el alargamiento de un riel de $12\ \text{m}$ al variar $\alpha$ y $\Delta T$. En la gráfica, el eje $x$ es $\Delta T$ en $^\circ\text{C}$, el eje $y$ es $\Delta L$ en mm y el deslizador $a$ es $\alpha$ en unidades de $10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto aumenta su longitud al calentarla hasta $70\ ^\circ\text{C}$. Use…
Una varilla de aluminio mide $2.00\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto aumenta su longitud al calentarla hasta $70\ ^\circ\text{C}$. Use $\alpha = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Los rieles de una línea de ferrocarril en el valle de Sula son de acero y cada uno mide $12.0\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto se alarga un riel cuando…
Los rieles de una línea de ferrocarril en el valle de Sula son de acero y cada uno mide $12.0\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto se alarga un riel cuando alcanza $50\ ^\circ\text{C}$ en un día muy caluroso y explique por qué se deja una pequeña separación entre rieles. Use $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Dilatación superficial y volumétrica
Una lámina se dilata en todas sus direcciones, no solo en una. Piense en un cuadrado de lado $L_0$: si cada lado se alarga a $L_0(1+\alpha\Delta T)$, el área nueva es
$$A = L_0^2(1+\alpha\Delta T)^2 = A_0\left(1 + 2\alpha\Delta T + \alpha^2\Delta T^2\right)$$Como $\alpha\Delta T$ es muy pequeño (por ejemplo $0.001$), su cuadrado es insignificante y se desprecia. Queda $A \approx A_0(1 + 2\alpha\Delta T)$. Igual con el volumen de un cubo: el factor es $(1+\alpha\Delta T)^3 \approx 1 + 3\alpha\Delta T$.
Escriba las relaciones aproximadas entre el coeficiente de dilatación lineal $\alpha$, el superficial $\gamma$ y el volumétrico $\beta$ de un sólido isótropo. Si…
Escriba las relaciones aproximadas entre el coeficiente de dilatación lineal $\alpha$, el superficial $\gamma$ y el volumétrico $\beta$ de un sólido isótropo. Si $\alpha = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ para el acero, calcule los otros dos coeficientes.
Una lámina cuadrada de cobre de $50.0\ \text{cm}$ de lado a $15\ ^\circ\text{C}$ se calienta hasta $215\ ^\circ\text{C}$. Calcule el aumento de su área y su área final.…
Una lámina cuadrada de cobre de $50.0\ \text{cm}$ de lado a $15\ ^\circ\text{C}$ se calienta hasta $215\ ^\circ\text{C}$. Calcule el aumento de su área y su área final. Use $\alpha = 1.7\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Líquidos y recipientes
Los líquidos también se dilatan, y mucho más que los sólidos. Como un líquido no tiene forma propia, solo tiene sentido hablar de su dilatación volumétrica: $\Delta V = \beta V_0 \Delta T$, con el $\beta$ propio del líquido.
Pero el recipiente también se dilata. Si se llena un recipiente hasta el borde y se calienta, el recipiente aumenta su capacidad y el líquido aumenta su volumen. Se derrama la diferencia.
Un recipiente de vidrio de $500\ \text{mL}$ se llena completamente con alcohol etílico a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto alcohol se derrama si el conjunto se…
Un recipiente de vidrio de $500\ \text{mL}$ se llena completamente con alcohol etílico a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule cuánto alcohol se derrama si el conjunto se calienta hasta $40\ ^\circ\text{C}$. Use $\beta_{\text{alcohol}} = 1.1\times10^{-3}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ y $\beta_{\text{vidrio}} = 2.7\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Orificios y comparaciones entre materiales
Una pregunta clásica: si se calienta una placa con un agujero, ¿el agujero se hace más grande o más pequeño? Imagine que el agujero fuera una pieza del mismo material: al calentarse, esa pieza crecería. Un orificio se comporta como si fuera una porción más de la placa que se dilata junto con ella.
Comparar dos materiales
Cuando dos objetos se dilatan distinto, se calcula el $\Delta L$ de cada uno y se resta. Si quiere saber a qué temperatura una barra alcanza la longitud de otra, iguale las longitudes finales y despeje $\Delta T$, o calcule el $\Delta L$ que le falta y divídalo entre $\alpha L_0$:
$$\Delta T = \frac{\Delta L}{\alpha\, L_0}$$Aplicación: el termostato bimetálico
Un termostato bimetálico (como el de una plancha o una olla eléctrica) usa dos láminas pegadas de metales con distinto $\alpha$, por ejemplo acero y cobre. Al calentarse, la de mayor $\alpha$ se alarga más y la lámina se curva. Esa curvatura abre el contacto eléctrico y corta la corriente. Al enfriarse, la lámina se endereza y el circuito se cierra de nuevo.
Una placa de aluminio tiene un orificio circular de $4.00\ \text{cm}$ de diámetro a $20\ ^\circ\text{C}$. Wilmer quiere introducir en él un balín de acero de…
Una placa de aluminio tiene un orificio circular de $4.00\ \text{cm}$ de diámetro a $20\ ^\circ\text{C}$. Wilmer quiere introducir en él un balín de acero de $4.01\ \text{cm}$ de diámetro a $20\ ^\circ\text{C}$. Calcule hasta qué temperatura debe calentar solo la placa para que el balín entre justo. Explique qué le ocurre al diámetro del orificio al calentar. Use $\alpha_{\text{Al}} = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Una barra de acero y una de aluminio tienen la misma longitud de $1.000\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Ambas se calientan hasta $120\ ^\circ\text{C}$. Calcule la…
Una barra de acero y una de aluminio tienen la misma longitud de $1.000\ \text{m}$ a $20\ ^\circ\text{C}$. Ambas se calientan hasta $120\ ^\circ\text{C}$. Calcule la diferencia de longitud entre ellas al final y diga cuál es más larga. Luego determine a qué temperatura final debería calentarse solo la barra de acero para que alcance la longitud que tiene la de aluminio a $120\ ^\circ\text{C}$. Use $\alpha_{\text{acero}} = 1.2\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$ y $\alpha_{\text{Al}} = 2.4\times10^{-5}\ ^\circ\text{C}^{-1}$.
Vuelva al principio: un riel de acero de $12\ \text{m}$ que se calienta $30\ ^\circ\text{C}$ se alarga $(1.2\times10^{-5})(12)(30) \approx 4.3\ \text{mm}$. Esa es la separación que hay que dejar, como mínimo, entre un riel y el siguiente.