La ecuación de continuidad
Cuando usted pone el dedo en la salida de una manguera, el agua sale más rápido y llega más lejos. Nadie abrió más la llave: el agua que entra a la manguera es la misma, pero la salida es más pequeña. ¿Por qué el agua se acelera cuando el tubo se estrecha? En esta página lo resolvemos con una sola idea: el agua no se crea ni se destruye por el camino.
Caudal: cuánto fluido pasa por segundo
Piense en una llave que llena un balde. Para saber qué tan «fuerte» corre el agua, le conviene medir cuánto volumen sale en cada segundo. A esa cantidad se le llama caudal.
Hay otra forma de calcularlo. En un tiempo $t$, el fluido que pasa por una sección de área $A$ avanza una distancia $v\,t$, donde $v$ es su rapidez. Ese fluido ocupa un cilindro de volumen $A \cdot v\,t$. Entonces:
Para pasar de unas unidades a otras, recuerde: $1\ \text{m}^3 = 1{,}000\ \text{L}$ y $1\ \text{cm}^2 = 10^{-4}\ \text{m}^2$.
Por una manguera de jardín circula agua. En un tramo el área de la sección es $4.0\ \text{cm}^2$ y la rapidez del agua es $2.0\ \text{m/s}$. Calcule el caudal $Q = Av$…
Por una manguera de jardín circula agua. En un tramo el área de la sección es $4.0\ \text{cm}^2$ y la rapidez del agua es $2.0\ \text{m/s}$. Calcule el caudal $Q = Av$ en ese tramo y exprese el resultado en $\text{m}^3/\text{s}$.
Karla llena un balde de $20\ \text{L}$ con una llave y tarda $40\ \text{s}$. La salida de la llave tiene un diámetro interior de $1.6\ \text{cm}$. Calcule el caudal en…
Karla llena un balde de $20\ \text{L}$ con una llave y tarda $40\ \text{s}$. La salida de la llave tiene un diámetro interior de $1.6\ \text{cm}$. Calcule el caudal en $\text{m}^3/\text{s}$ y la rapidez con que el agua sale de la llave.
Conservación de la masa en un tubo
Ahora imagine una tubería de agua que se estrecha. Hacemos tres suposiciones, que son las condiciones de la ecuación de continuidad:
-
El fluido es incompresible: su densidad $\rho$ no cambia (el agua casi no se comprime).
-
El flujo es estacionario: en cada punto, la rapidez no cambia con el tiempo.
-
No hay fugas ni entradas: todo el fluido que entra por un extremo sale por el otro.
Si en cada segundo entra cierta cantidad de agua al tramo ancho, en cada segundo debe salir esa misma cantidad por el tramo angosto. Si no, el agua se acumularía o desaparecería dentro del tubo. Eso es la conservación de la masa. Como la densidad es constante, también se conserva el volumen: el caudal es el mismo en todas las secciones.
Escribimos que el caudal en la sección 1 es igual al de la sección 2:
Esto responde a la manguera: al tapar parte de la salida con el dedo, $A_2$ disminuye y $v_2$ aumenta para mantener el mismo caudal.
Escriba la ecuación de continuidad para un fluido incompresible que circula en régimen estacionario por un tubo cuya sección cambia de $A_1$ a $A_2$. Indique qué…
Escriba la ecuación de continuidad para un fluido incompresible que circula en régimen estacionario por un tubo cuya sección cambia de $A_1$ a $A_2$. Indique qué magnitud representa cada símbolo y qué principio de conservación expresa la ecuación.
Una tubería de agua se estrecha y el área de su sección se reduce a la mitad. Si el flujo es estacionario y el agua es incompresible, diga qué ocurre con la rapidez del…
Una tubería de agua se estrecha y el área de su sección se reduce a la mitad. Si el flujo es estacionario y el agua es incompresible, diga qué ocurre con la rapidez del agua en el tramo estrecho respecto al tramo ancho. Justifique con la ecuación de continuidad.
Resolver problemas con diámetros
En los problemas casi nunca le dan el área: le dan el diámetro $d$ de un tubo circular. El área de un círculo es
$$A = \frac{\pi d^2}{4}$$Como en la ecuación de continuidad aparece $A$ en los dos lados, el factor $\pi/4$ se cancela y queda una relación muy cómoda:
$$d_1^2\,v_1 = d_2^2\,v_2 \quad\Rightarrow\quad v_2 = v_1\left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$$Fíjese: si el diámetro se reduce a la mitad, el área se reduce a la cuarta parte y la rapidez se multiplica por 4.
Una tubería de agua potable de un barrio de Comayagüela tiene un diámetro de $10\ \text{cm}$ y el agua circula a $1.5\ \text{m/s}$. Más adelante, la tubería se reduce a…
Una tubería de agua potable de un barrio de Comayagüela tiene un diámetro de $10\ \text{cm}$ y el agua circula a $1.5\ \text{m/s}$. Más adelante, la tubería se reduce a un diámetro de $5.0\ \text{cm}$. Calcule la rapidez del agua en el tramo angosto y el caudal en litros por segundo.
Un canal de riego en el valle de Comayagua tiene sección rectangular de $2.0\ \text{m}$ de ancho y el agua tiene $0.50\ \text{m}$ de profundidad, con una rapidez de…
Un canal de riego en el valle de Comayagua tiene sección rectangular de $2.0\ \text{m}$ de ancho y el agua tiene $0.50\ \text{m}$ de profundidad, con una rapidez de $0.80\ \text{m/s}$. Más adelante el canal se estrecha a $1.5\ \text{m}$ de ancho, con la misma profundidad. Calcule la rapidez del agua en el tramo estrecho y explique por qué cambia.
Ramificaciones y tanques que se vacían
La ecuación de continuidad vale para cualquier red: lo que entra es igual a lo que sale.
Tubería que se divide
Si un tubo principal se reparte en varias ramas, el caudal del tubo principal es la suma de los caudales de las ramas:
$$A_1 v_1 = A_2 v_2 + A_3 v_3 + \dots$$Es lo mismo que pasa en una calle principal que se reparte en varias cuadras: los carros que entran son los que salen por todas las calles juntas.
Tanque que se vacía
Cuando un tanque se vacía por un orificio, el nivel del agua baja con rapidez $v_t$ y el agua sale por el orificio con rapidez $v_o$. El agua que baja en el tanque es la que sale por el orificio:
$$A_t\,v_t = A_o\,v_o \quad\Rightarrow\quad v_t = v_o\left(\frac{d_o}{d_t}\right)^2$$Como el orificio es mucho más pequeño que el tanque, $v_t$ resulta muy pequeña frente a $v_o$.
Una tubería principal de $8.0\ \text{cm}$ de diámetro lleva agua a $1.2\ \text{m/s}$ y se divide en tres tuberías idénticas de $3.0\ \text{cm}$ de diámetro, por las que…
Una tubería principal de $8.0\ \text{cm}$ de diámetro lleva agua a $1.2\ \text{m/s}$ y se divide en tres tuberías idénticas de $3.0\ \text{cm}$ de diámetro, por las que el agua circula con la misma rapidez. Calcule la rapidez del agua en cada tubería derivada y el caudal total en litros por minuto. Explique qué relación entre caudales usó.
Un tanque cilíndrico de $2.0\ \text{m}$ de diámetro se vacía por un orificio circular de $4.0\ \text{cm}$ de diámetro en el fondo. En cierto instante el agua sale del…
Un tanque cilíndrico de $2.0\ \text{m}$ de diámetro se vacía por un orificio circular de $4.0\ \text{cm}$ de diámetro en el fondo. En cierto instante el agua sale del orificio a $5.0\ \text{m/s}$. Calcule con qué rapidez desciende el nivel del agua en el tanque en ese instante y cuánto tarda en bajar $1.0\ \text{cm}$ si la rapidez se mantiene. Comente si es razonable suponer que la rapidez de descenso es casi constante.
Resumen
Vuelva al principio: al tapar parte de la salida de la manguera, el área disminuye y, como el caudal se mantiene, la rapidez del agua aumenta.