La ecuación de Bernoulli

La ecuación en su forma general

En la página anterior vio que, si un tubo se estrecha, el agua va más rápido. Ahora falta saber qué pasa con la presión. La ecuación de Bernoulli es la conservación de la energía aplicada a un fluido, escrita por unidad de volumen.

Tome dos puntos, 1 y 2, de una misma línea de corriente (el camino que sigue una pequeña porción de fluido). Entonces:

Cada término tiene un nombre y se mide en pascales (Pa), porque es energía por unidad de volumen ($\text{J/m}^3 = \text{Pa}$):

Aquí $\rho$ es la densidad (kg/m³), $v$ la rapidez (m/s), $g = 9.8\ \text{m/s}^2$ y $h$ la altura medida desde un nivel de referencia (m). Usted elige el nivel de referencia; solo importa la diferencia de alturas.

Si $P_1$ y $P_2$ son las dos manométricas o las dos absolutas, la ecuación vale igual, porque $P_{atm}$ aparece a ambos lados y se cancela.

¿Cuándo se puede usar?

La ecuación solo es válida si el fluido cumple estas condiciones:

• Ideal y no viscoso: sin rozamiento interno que le quite energía.

• Incompresible: la densidad $\rho$ es constante (el agua cumple muy bien).

• Flujo estacionario: en cada punto, la rapidez y la presión no cambian con el tiempo.

• A lo largo de una línea de corriente: los dos puntos deben estar en el mismo camino del fluido.

Tubo horizontal: más rápido, menos presión

Si el tubo es horizontal, $h_1 = h_2$ y el término $\rho g h$ se cancela. La ecuación queda:

Despejando la presión en el punto 2:

Lo que dice es sencillo: si la rapidez aumenta, la presión baja. Para que una porción de agua acelere al entrar en el tramo angosto, la presión detrás de ella debe ser mayor que delante. Esa diferencia de presión es la que la empuja.

Cuando se da el diámetro

Muchas veces el problema da los diámetros y no la segunda rapidez. Primero se usa la ecuación de continuidad, $A_1 v_1 = A_2 v_2$ con $A = \pi d^2/4$, para hallar $v_2$. Después se aplica Bernoulli. El caudal es $Q = A\,v$, y se puede dar en $\text{m}^3/\text{s}$ o en L/s ($1\ \text{m}^3 = 1{,}000\ \text{L}$).

Cambios de altura y fluido en reposo

Ahora suponga que la tubería sube o baja. Si el diámetro es constante, la continuidad dice que la rapidez no cambia: $v_1 = v_2$. Los términos $\tfrac{1}{2}\rho v^2$ se cancelan y queda:

Cada metro que sube el agua, la presión baja $\rho g \cdot 1\ \text{m} = 9{,}800\ \text{Pa}$. Es la misma idea de la presión en un líquido, y ahora se deduce de la energía.

Fluido en reposo. Si el fluido no se mueve ($v_1 = v_2 = 0$), la ecuación da el mismo resultado: la presión aumenta con la profundidad. Si el punto 2 está una distancia $\Delta h$ por debajo del punto 1:

Fluido a presión constante en un tubo horizontal. Si el tubo es horizontal ($h_1 = h_2$) y la presión es la misma en los dos puntos ($P_1 = P_2$), en la ecuación de Bernoulli se cancelan $P$ y $\rho g h$ y queda $\tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = \tfrac{1}{2}\rho v_2^2$. Entonces $v_1 = v_2$: la rapidez no cambia. Es lo mismo que decir que, sin diferencia de presión que empuje o frene al agua, esta no acelera. Por ejemplo, en un tramo recto de tubo con diámetro constante, la presión es la misma en todo el tramo y el agua circula con rapidez constante.

Con esto ya puede responder lo del principio. El tanque del techo está a mayor altura que la llave del segundo piso, que a su vez está más alto que la del primer piso. Cuanto más abajo está la llave, mayor es la presión del agua. Por eso en el primer piso el agua sale con más fuerza.

Salida de un tanque: el teorema de Torricelli

En un tanque abierto hay un orificio a una profundidad $d$ bajo la superficie libre. Aplique Bernoulli entre dos puntos:

• Punto 1: la superficie libre. Allí $P_1 = P_{atm}$ y la rapidez $v_1 \approx 0$, porque el tanque es grande.

• Punto 2: el orificio. Allí $P_2 = P_{atm}$, porque el chorro sale al aire, y la rapidez es $v$.

Escriba Bernoulli con el orificio como nivel de referencia ($h_2 = 0$, $h_1 = d$):

Se cancelan $P_{atm}$ y $\rho$:

Es la misma rapidez que alcanzaría un objeto que cae libremente una distancia $d$. Es el teorema de Torricelli. Observe que no depende de la densidad del líquido.

¿Hasta dónde llega el chorro?

Al salir horizontalmente, el chorro se comporta como un proyectil lanzado en horizontal. Si el orificio está a una altura $y$ sobre el piso:

• Tiempo de caída: $t = \sqrt{2y/g}$ (cinemática vertical).

• Alcance horizontal: $x = v\,t$ (rapidez horizontal constante).

Sustituyendo $v = \sqrt{2 g d}$ y $t$, la $g$ se cancela:

Si $H$ es la altura total del agua sobre el fondo, entonces $d = H - y$ y el alcance es $x = 2\sqrt{y\,(H-y)}$.

Resumen