Moyennes, médiane, tableaux à double entrée et corrélation
Dans une entreprise lyonnaise, on annonce : « Le salaire moyen est de 2 700 € par mois. » Pourtant, presque aucun salarié ne gagne cette somme. Comment est-ce possible ? Et quand un journal écrit que « les départements qui vendent le plus de glaces ont le plus de noyades », faut-il interdire les glaces ? Cette page te donne les outils pour répondre, comme on le demande dans un dossier documentaire de SES.
Moyenne simple et moyenne pondérée
La moyenne arithmétique simple s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre :
$$\bar x = \dfrac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$Pourquoi cette formule ? La moyenne est le montant que chacun recevrait si on répartissait le total de façon égale.
Quand les valeurs sont regroupées (par exemple « 30 salariés payés 1 500 € »), on utilise la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif (son « poids »), puis on divise par l'effectif total.
$$\bar x = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{n_1 + n_2 + \dots + n_k}$$La pondération sert à tenir compte du fait que les groupes n'ont pas la même importance.
Les salaires mensuels nets de cinq salariés d'une entreprise lyonnaise sont : 1 400 €, 1 500 €, 1 600 €, 1 800 € et 5 200 €. a) Calculer la moyenne. b) Déterminer la…
Les salaires mensuels nets de cinq salariés d'une entreprise lyonnaise sont : 1 400 €, 1 500 €, 1 600 €, 1 800 € et 5 200 €.
- a) Calculer la moyenne.
- b) Déterminer la médiane.
- c) Expliquer pourquoi elles diffèrent.
Une entreprise compte 30 salariés payés 1 500 €, 15 payés 2 200 € et 5 payés 4 000 € par mois. a) Calculer le salaire moyen (moyenne pondérée). b) Déterminer la médiane.…
Une entreprise compte 30 salariés payés 1 500 €, 15 payés 2 200 € et 5 payés 4 000 € par mois.
- a) Calculer le salaire moyen (moyenne pondérée).
- b) Déterminer la médiane.
- c) Interpréter l'écart entre moyenne et médiane.
La médiane et la lecture d'une distribution
La médiane est la valeur qui partage la population en deux groupes de même effectif : 50 % des individus ont une valeur inférieure ou égale, 50 % une valeur supérieure ou égale.
Pour la déterminer :
-
on range les valeurs dans l'ordre croissant ;
-
si l'effectif $n$ est impair, c'est la valeur centrale (rang $\frac{n+1}{2}$) ;
-
si $n$ est pair, c'est le milieu des deux valeurs centrales.
La médiane est robuste : elle ne change pas si la plus haute valeur devient très grande. La moyenne, elle, est sensible aux valeurs extrêmes.
Lire une distribution. Si la moyenne est nettement supérieure à la médiane, quelques valeurs très élevées tirent la moyenne vers le haut : la distribution est inégalitaire (étalée vers les hauts revenus). Plus l'écart est grand, plus cet effet est marqué. Le « revenu moyen » ne décrit donc pas la situation d'une personne typique : la médiane s'en approche mieux.
Les revenus de deux pays sont : pays A, moyenne 2 000 €, médiane 1 600 € ; pays B, moyenne 2 000 €, médiane 1 950 €. a) Quel pays a la distribution la plus inégalitaire…
Les revenus de deux pays sont : pays A, moyenne 2 000 €, médiane 1 600 € ; pays B, moyenne 2 000 €, médiane 1 950 €.
- a) Quel pays a la distribution la plus inégalitaire ? Justifier.
- b) Un revenu moyen identique signifie-t-il un niveau de vie typique identique ? Argumenter.
Dans une commune, la moyenne des revenus passe de 1 800 € à 2 100 € en dix ans, tandis que la médiane passe de 1 700 € à 1 750 €. a) Calculer l'évolution en pourcentage…
Dans une commune, la moyenne des revenus passe de 1 800 € à 2 100 € en dix ans, tandis que la médiane passe de 1 700 € à 1 750 €.
- a) Calculer l'évolution en pourcentage de la moyenne et de la médiane.
- b) Que peut-on en déduire sur l'évolution de la distribution des revenus ?
- c) Donner un exemple chiffré de distribution à 5 individus illustrant ce phénomène.
Les tableaux à double entrée
Un tableau à double entrée (ou tableau croisé) classe une population selon deux caractères à la fois. Les lignes correspondent à un caractère, les colonnes à l'autre. On y trouve :
-
les effectifs à l'intérieur (cases croisées) ;
-
les marges (totaux de lignes et de colonnes) ;
-
le total général dans le coin.
On en tire trois types de proportions, qu'il ne faut pas confondre :
| Proportion | Se calcule | Exemple |
|---|---|---|
| Part dans l'ensemble | case ÷ total général | part des filles SES dans le lycée |
| Part dans une ligne (ou colonne) | case ÷ total de sa ligne (colonne) | taux de choix de SES chez les filles |
| Part d'une sous-population | case ÷ total de la colonne étudiée | part des filles parmi les élèves en SES |
La question posée indique le dénominateur : lis bien « parmi… ».
Dans un lycée de 400 élèves, 240 sont des filles. 90 filles et 60 garçons choisissent la spécialité SES. a) Construire le tableau à double entrée. b) Calculer la part de…
Dans un lycée de 400 élèves, 240 sont des filles. 90 filles et 60 garçons choisissent la spécialité SES.
- a) Construire le tableau à double entrée.
- b) Calculer la part de filles parmi les élèves qui choisissent SES.
Dans une enquête auprès de 1 000 personnes, 600 ont un diplôme du supérieur. Parmi elles, 480 sont en emploi. Parmi les 400 sans diplôme du supérieur, 240 sont en…
Dans une enquête auprès de 1 000 personnes, 600 ont un diplôme du supérieur. Parmi elles, 480 sont en emploi. Parmi les 400 sans diplôme du supérieur, 240 sont en emploi.
- a) Construire le tableau à double entrée.
- b) Calculer le taux d'emploi dans chaque groupe.
- c) Calculer la part des diplômés parmi les personnes en emploi.
Corrélation et causalité
Deux variables sont corrélées quand elles varient ensemble : quand l'une augmente, l'autre a tendance à augmenter (corrélation positive) ou à diminuer (corrélation négative). On le repère sur un nuage de points.
Il y a causalité quand une variation de la première provoque celle de la seconde.
Une corrélation n'est pas une causalité. Trois explications sont possibles pour une corrélation entre $X$ et $Y$ :
-
$X$ cause $Y$ ;
-
$Y$ cause $X$ (causalité inverse) ;
-
une variable de confusion $Z$ cause à la fois $X$ et $Y$ (ou la corrélation est due au hasard).
Pour tester une causalité, on cherche à isoler l'effet d'une seule variable :
-
méthode expérimentale : on forme au hasard deux groupes comparables (un groupe « traité », un groupe « témoin ») et on ne change qu'un facteur ;
-
« toutes choses égales par ailleurs » : on compare des individus identiques sur toutes les autres caractéristiques observables (âge, diplôme, milieu social…).
Limites. Une expérience est souvent impossible ou contraire à l'éthique ; on ne peut pas contrôler les caractéristiques non observées ; les résultats ne sont pas toujours généralisables.
Expliquer la différence entre corrélation et causalité. Donner un exemple de deux variables corrélées sans relation causale directe.
Expliquer la différence entre corrélation et causalité. Donner un exemple de deux variables corrélées sans relation causale directe.
Une étude constate que les départements où l'on vend le plus de glaces sont aussi ceux où les noyades sont les plus fréquentes. a) Expliquer l'absence de causalité…
Une étude constate que les départements où l'on vend le plus de glaces sont aussi ceux où les noyades sont les plus fréquentes.
- a) Expliquer l'absence de causalité directe en identifiant une variable de confusion.
- b) Proposer une démarche permettant de tester une causalité en sciences sociales (méthode expérimentale ou « toutes choses égales par ailleurs »).
- c) Discuter les limites d'une telle démarche.
Comparer « toutes choses égales par ailleurs »
Un taux brut compare des ensembles sans tenir compte de leur composition. Cela peut conduire à des conclusions fausses.
Dans deux établissements, les taux de réussite au bac sont : lycée X, 95 % (200 élèves dont 20 % issus de milieu défavorisé) ; lycée Y, 85 % (200 élèves dont 70 % issus…
Dans deux établissements, les taux de réussite au bac sont : lycée X, 95 % (200 élèves dont 20 % issus de milieu défavorisé) ; lycée Y, 85 % (200 élèves dont 70 % issus de milieu défavorisé).
- a) Calculer le nombre d'élèves reçus dans chaque lycée.
- b) Expliquer pourquoi comparer ces taux bruts pour juger la qualité de l'enseignement est trompeur.
- c) Indiquer quelle information supplémentaire permettrait une comparaison « toutes choses égales par ailleurs ».
Retour au début : la moyenne de 2 700 € est tirée vers le haut par quelques hauts salaires, c'est pourquoi la médiane décrit mieux le salarié typique ; et les glaces ne causent pas les noyades, la chaleur est la variable de confusion.