Moyennes, médiane, tableaux à double entrée et corrélation

Moyenne simple et moyenne pondérée

La moyenne arithmétique simple s'obtient en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par leur nombre.

Quand les valeurs sont regroupées (par exemple « 30 salariés payés 1 500 € »), on utilise la moyenne pondérée : chaque valeur est multipliée par son effectif (son poids), puis on divise par l'effectif total.

Médiane : la valeur du milieu

La médiane partage la population en deux moitiés égales : 50 % des individus ont une valeur inférieure ou égale, 50 % une valeur supérieure ou égale.

Pourquoi s'en servir ? La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, pas la médiane. Un seul très haut salaire tire la moyenne vers le haut mais ne change pas la valeur du milieu.

Comparer moyenne et médiane : lire une inégalité

Quand la moyenne est nettement supérieure à la médiane, quelques valeurs très élevées tirent la moyenne vers le haut : la distribution est asymétrique et plutôt inégalitaire. Plus l'écart est grand, plus la queue haute de la distribution pèse.

Deux distributions peuvent avoir la même moyenne et des réalités très différentes : la moyenne seule ne dit rien de la dispersion. C'est pourquoi les dossiers de SES associent souvent la médiane, les quantiles (rapport interdécile D9/D1) et la courbe de Lorenz.

Tableau à double entrée

Un tableau à double entrée croise deux variables (par exemple sexe et choix de spécialité). Il contient des effectifs, des marges (totaux en ligne et en colonne) et un total général.

On en tire deux types de pourcentages, qu'il ne faut pas confondre :

• la part (ou proportion) dans un sous-groupe : $\dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{total de la ligne ou de la colonne considérée}}$ ;

• la part dans l'ensemble : $\dfrac{\text{effectif de la case}}{\text{total général}}$.

Corrélation et causalité

Deux variables sont corrélées quand elles varient ensemble (dans le même sens : corrélation positive ; en sens inverse : négative). La corrélation décrit une association statistique.

Il y a causalité quand une variation de $X$ provoque une variation de $Y$. Une corrélation n'implique pas une causalité. Plusieurs explications sont possibles :

• $X$ cause $Y$ ;

• $Y$ cause $X$ (causalité inversée) ;

• une variable de confusion $Z$ cause à la fois $X$ et $Y$ ;

• coïncidence.

Pour établir une causalité, les sciences sociales utilisent deux démarches :

• l'expérience contrôlée : on compare un groupe traité et un groupe témoin tirés au hasard ;

• le raisonnement « toutes choses égales par ailleurs » : on compare des individus semblables sur tous les autres critères (âge, milieu social, diplôme…) pour isoler l'effet d'une seule variable.

Ces démarches ont des limites : on ne peut pas toujours contrôler toutes les variables, certaines sont inobservables, et les expériences soulèvent des questions éthiques ou de coût.

Retour au début : « le salaire moyen est de 2 300 € » ne dit rien sur le salarié typique tant qu'on ne connaît pas la médiane, et deux phénomènes qui évoluent ensemble ne prouvent pas que l'un cause l'autre.

L'essentiel

• Moyenne pondérée : $\bar x = \dfrac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}$ ; ne jamais moyenner des moyennes sans effectifs.

• Médiane : valeur qui partage la population en deux moitiés (valeurs rangées) ; insensible aux valeurs extrêmes.

• Moyenne nettement supérieure à la médiane : quelques hautes valeurs tirent la moyenne, distribution plus inégalitaire.

• Tableau à double entrée : toujours identifier le bon dénominateur (« parmi les… »).

• Corrélation ≠ causalité : méfie-toi des variables de confusion ; pour tester une causalité, utilise l'expérience contrôlée ou le « toutes choses égales par ailleurs », en connaissant leurs limites.