La ley de la gravitación universal
En la cascada de San Rafael, en la Amazonía ecuatoriana, el agua del río Coca se lanza al vacío y cae hasta el fondo del cañón. La Luna también siente la gravedad terrestre, pero no cae al suelo. ¿Por qué? Isaac Newton se preguntó si la fuerza que hace caer una manzana es la misma que mantiene a la Luna en órbita. Un ejemplo cercano: en la Misión Geodésica Francesa, Pedro Vicente Maldonado y los científicos medían la forma de la Tierra, y la gravedad era clave. La respuesta cabe en una sola ecuación: explica por qué caen los cuerpos, por qué los planetas giran alrededor del Sol y por qué una persona pesa distinto en la Luna, en Marte o en Júpiter. Además, es un buen ejemplo de modelo matemático: predice los efectos de una fuerza entre objetos distantes.
El enunciado de la ley
La Tierra no toca a la Luna y aun así la mantiene en órbita. Es una fuerza a distancia: no necesita contacto. Newton la describió con una fórmula que sirve para cualquier par de masas.
En la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$: a) Indica qué representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ y $r$) y en qué unidad se mide en el…
En la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:
- a) Indica qué representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ y $r$) y en qué unidad se mide en el Sistema Internacional.
- b) El valor de $G$ es $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un número muy pequeño. Explica qué consecuencia tiene eso para la fuerza entre objetos de masa normal.
Dos bolas de acero de $1\ \text{kg}$ cada una están colocadas de modo que sus centros distan $1\ \text{m}$, como se muestra en la figura. Aplica la ley de la gravitación…
Dos bolas de acero de $1\ \text{kg}$ cada una están colocadas de modo que sus centros distan $1\ \text{m}$, como se muestra en la figura.
Aplica la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, y calcula la fuerza con la que se atraen. ¿Te parece una fuerza grande o pequeña? Coméntalo.
Cuando se te cae un esfero, la Tierra lo atrae hacia abajo; pero, según la ley de la gravitación universal, el esfero también atrae a la Tierra con una fuerza del mismo…
Cuando se te cae un esfero, la Tierra lo atrae hacia abajo; pero, según la ley de la gravitación universal, el esfero también atrae a la Tierra con una fuerza del mismo valor.
- a) ¿Por qué solo vemos moverse al esfero y no a la Tierra subiendo a su encuentro?
- b) Razónalo teniendo en cuenta las masas de ambos cuerpos y la aceleración que la misma fuerza produce en cada uno.
Dependencia con las masas
Dos compañeros sentados juntos no sienten atracción mutua, pero con un planeta de por medio el efecto es evidente. ¿Cómo cambia la fuerza al variar las masas?
Dos compañeros de clase, de $60\ \text{kg}$ y $70\ \text{kg}$ de masa, están sentados de modo que sus cuerpos distan $1\ \text{m}$ en promedio. Calcula la fuerza de…
Dos compañeros de clase, de $60\ \text{kg}$ y $70\ \text{kg}$ de masa, están sentados de modo que sus cuerpos distan $1\ \text{m}$ en promedio. Calcula la fuerza de atracción gravitacional entre ellos ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) y exprésala en notación científica.
Dos asteroides se atraen con una fuerza $F$. a) Si uno de ellos tuviera el doble de masa, ¿cuál sería la nueva fuerza? b) ¿Y si los dos tuvieran el doble de masa? Razona…
Dos asteroides se atraen con una fuerza $F$.
- a) Si uno de ellos tuviera el doble de masa, ¿cuál sería la nueva fuerza?
- b) ¿Y si los dos tuvieran el doble de masa?
Razona ambas respuestas con la fórmula de la gravitación universal.
Un libro y el estante en el que está apoyado se atraen gravitatoriamente, igual que la Tierra y la Luna. Sin embargo, nunca vemos que el libro se mueva hacia el estante.…
Un libro y el estante en el que está apoyado se atraen gravitatoriamente, igual que la Tierra y la Luna. Sin embargo, nunca vemos que el libro se mueva hacia el estante. Pensando en el valor de $G$, en las masas de los objetos y en la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, explica por qué no notamos la atracción gravitatoria entre los objetos cotidianos.
Dos esferas metálicas idénticas, colocadas con sus centros a $2\ \text{m}$ de distancia, se atraen con una fuerza de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$. a) Escribe la ley de…
Dos esferas metálicas idénticas, colocadas con sus centros a $2\ \text{m}$ de distancia, se atraen con una fuerza de $6,67\cdot10^{-5}\ \text{N}$.
- a) Escribe la ley de la gravitación universal llamando $m$ a la masa de cada esfera (¡las dos son iguales!).
- b) Despeja $m$ de la fórmula y calcula la masa de cada esfera ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
Dependencia con la distancia al cuadrado
La gravedad de Newton y la órbita de la Luna
Newton comparó la caída de una manzana con el movimiento de la Luna. Si la Tierra atrae con $1/r^2$, a la distancia de la Luna la fuerza debe ser mucho menor que en la superficie, y esa fuerza es la que mantiene a la Luna en su órbita casi circular. Un cuerpo que gira en círculo de radio $r$ con rapidez $v$ tiene una aceleración centrípeta, dirigida al centro: $a_c = \dfrac{v^2}{r}$. Si el cuerpo da una vuelta en un tiempo $T$ (periodo), se puede calcular con $a_c = \dfrac{4\pi^2 r}{T^2}$. Esa aceleración la produce la fuerza gravitacional: $F = m\,a_c$. Además, como $F\propto 1/r^2$, al estar $60$ veces más lejos del centro de la Tierra que un objeto en el suelo, la fuerza (y la aceleración) es $60^2 = 3.600$ veces menor.
Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$, como muestra la gráfica de la fuerza en función de la distancia. Sin cambiar las masas, los alejamos hasta que la distancia…
Dos cuerpos se atraen con una fuerza $F$, como muestra la gráfica de la fuerza en función de la distancia.
Sin cambiar las masas, los alejamos hasta que la distancia entre ellos sea el doble. Mirando la fórmula $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, ¿cuánto valdrá ahora la fuerza? Justifícalo.
Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, como se muestra en la figura. Datos: masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa…
Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, como se muestra en la figura.
Datos: masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expresa el resultado en notación científica, redondeando a dos cifras decimales.
Un satélite geoestacionario de $1000\ \text{kg}$ orbita a una distancia del centro de la Tierra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, como se muestra en la figura. a)…
Un satélite geoestacionario de $1000\ \text{kg}$ orbita a una distancia del centro de la Tierra de $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, como se muestra en la figura.
- a) Calcula la fuerza con la que la Tierra lo atrae (masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Compara esa fuerza con el peso del satélite cuando estaba en la superficie, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿cuántas veces menor es, aproximadamente?
Newton comprobó su ley comparando la caída de los objetos en la superficie con el movimiento de la Luna. a) Calcula la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de…
Newton comprobó su ley comparando la caída de los objetos en la superficie con el movimiento de la Luna.
- a) Calcula la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de $1\ \text{kg}$ en su superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
- b) Calcula la fuerza que ejercería sobre ese mismo cuerpo si estuviera a la distancia de la Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
- c) Comprueba que la segunda fuerza es unas $3600$ veces menor y relaciona ese número con el cociente entre las dos distancias, que es de unos $60$. ¿Qué ley queda confirmada?
De la ley a la gravedad superficial
La aceleración de la gravedad $g$ no es un número fijo del universo: cambia según la masa y el radio del planeta, y se calcula con la ley de gravitación.
Calcula la fuerza con la que la Tierra atrae a una persona de $50\ \text{kg}$ situada en su superficie, como se muestra en la figura. Datos: masa de la Tierra…
Calcula la fuerza con la que la Tierra atrae a una persona de $50\ \text{kg}$ situada en su superficie, como se muestra en la figura.
Datos: masa de la Tierra $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, radio terrestre $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Compara el resultado con su peso, $P = m\cdot g$ con $g = 9,8\ \text{m/s}^2$: ¿qué observas?
Un exoplaneta rocoso tiene el cuádruple de masa que la Tierra y el doble de radio, como se muestra en la figura. a) Usando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, razona en qué…
Un exoplaneta rocoso tiene el cuádruple de masa que la Tierra y el doble de radio, como se muestra en la figura.
- a) Usando $g = \frac{G\cdot M}{R^2}$, razona en qué factor cambia la gravedad en su superficie respecto de la terrestre.
- b) ¿Cuánto pesaría allí una astronauta de $60\ \text{kg}$ (toma la gravedad terrestre como $9,8\ \text{m/s}^2$)?
- c) ¿Y si el planeta tuviera el cuádruple de masa pero el mismo radio que la Tierra? Calcula el nuevo peso de la astronauta.
Varias atracciones a la vez
Un cuerpo puede sentir la atracción de varios a la vez, como la Luna con el Sol y la Tierra. Se calcula cada fuerza por separado y después se suman como vectores. Si el cuerpo está en la línea entre dos masas, las fuerzas tienen sentidos opuestos y hay un punto donde se compensan: ahí la fuerza neta es cero. Para encontrarlo se igualan $G\dfrac{M_1 m}{x^2}$ y $G\dfrac{M_2 m}{(d-x)^2}$. $G$ y $m$ se simplifican, así que el punto no depende de ellas.
Ojo: el Sol atrae a la Luna con más fuerza que la Tierra, pero también atrae a la Tierra. Las dos «caen» juntas alrededor del Sol, y por eso la Luna sigue girando alrededor de la Tierra.
El Sol y la Tierra
El Sol mantiene a la Tierra en órbita atrayéndola. Calcula esa fuerza con los siguientes datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra…
El Sol mantiene a la Tierra en órbita atrayéndola. Calcula esa fuerza con los siguientes datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Después, compara el resultado con la fuerza Tierra–Luna, de unos $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: ¿cuántas veces mayor es?
El Sol atrae a la Luna, y también lo hace la Tierra. Calcula las dos fuerzas sobre la Luna con estos datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la…
El Sol atrae a la Luna, y también lo hace la Tierra. Calcula las dos fuerzas sobre la Luna con estos datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia Sol–Luna $\approx 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, distancia Tierra–Luna $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
- a) ¿Cuántas veces mayor es la atracción del Sol sobre la Luna que la de la Tierra?
- b) Si el Sol tira de la Luna con más fuerza, ¿por qué la Luna sigue girando alrededor de la Tierra en lugar de salir hacia el Sol? Pista: piensa a qué otros cuerpos atrae también el Sol al mismo tiempo.
Vuelve al principio: el agua de la cascada de San Rafael y la manzana caen rectas porque parten sin velocidad lateral; la Luna lleva una gran velocidad lateral y la gravedad terrestre curva su trayectoria continuamente. Es una caída libre perpetua alrededor de la Tierra: la misma fuerza para ambas.