Caída libre, lanzamiento vertical y movimiento de proyectiles
En un partido de ecuavóley en un barrio de Guayaquil, el balón sale disparado hacia arriba y hacia adelante, sube, se frena un instante y baja hasta la cancha del otro lado. ¿Por qué describe una curva y no una recta? ¿Qué le pasa a la velocidad en el punto más alto? Al final de la página lo podrás explicar con ecuaciones.
Caída libre y lanzamiento vertical
Suelta a la vez una hoja de cuaderno arrugada y una piedra. Llegan casi juntas al suelo. Si se desprecia la resistencia del aire, todos los cuerpos caen con la misma aceleración, sin importar su masa. Esa aceleración es la de la gravedad:
$$g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$$La caída libre y el lanzamiento vertical son un MRUV con $a = g$ dirigida hacia abajo. Escogemos un eje $y$ y un sentido positivo (nosotros, hacia arriba) y usamos las ecuaciones que ya conoces del MRUV:
¿Por qué el signo menos? Porque $g$ apunta hacia abajo y nosotros tomamos hacia arriba como positivo: la aceleración vale $a = -g$.
Al subir, la rapidez disminuye $9{,}8\ \text{m/s}$ cada segundo. En el punto más alto $v = 0$ (¡pero la aceleración sigue siendo $g$!). Luego el cuerpo baja ganando rapidez. De ahí se deducen dos resultados:
$$t_{\text{subida}} = \frac{v_0}{g} \qquad h_{\max} = \frac{v_0^2}{2g}$$Un objeto se suelta desde el reposo desde lo alto de un edificio y cae libremente durante $3\ \text{s}$. Calcula la velocidad que alcanza y la altura que recorre en ese…
Un objeto se suelta desde el reposo desde lo alto de un edificio y cae libremente durante $3\ \text{s}$. Calcula la velocidad que alcanza y la altura que recorre en ese tiempo. Desprecia la resistencia del aire.
Mateo lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de $19{,}6\ \text{m/s}$. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y el valor de…
Mateo lanza una piedra verticalmente hacia arriba con velocidad inicial de $19{,}6\ \text{m/s}$. Calcula el tiempo que tarda en alcanzar su altura máxima y el valor de esa altura. Indica cuánto vale la velocidad en el punto más alto.
Lanzamiento vertical desde una altura
A veces el lanzamiento no parte del suelo. Entonces conviene escribir la ecuación de posición con el origen en el punto de lanzamiento (donde $y_0 = 0$) y recordar que el suelo o el agua tendrá una coordenada negativa si queda por debajo.
El signo de la velocidad final es negativo: el cuerpo se mueve hacia abajo. Al resolver, suele salir una ecuación de segundo grado; descartamos siempre la solución con tiempo negativo.
Desde un puente situado a $14{,}7\ \text{m}$ sobre el río Guayas, Sebastián lanza una piedra verticalmente hacia arriba con $9{,}8\ \text{m/s}$. Escribe la ecuación de…
Desde un puente situado a $14{,}7\ \text{m}$ sobre el río Guayas, Sebastián lanza una piedra verticalmente hacia arriba con $9{,}8\ \text{m/s}$. Escribe la ecuación de posición tomando como origen el punto de lanzamiento y calcula el tiempo que tarda la piedra en llegar al agua. Calcula también su velocidad justo antes de tocar el agua e indica su sentido.
Rapidez terminal
En el mundo real el aire frena a los cuerpos. La fuerza de fricción con el aire crece con la rapidez. Un paracaidista o una gota de lluvia acelera al inicio, pero llega un momento en que la fricción iguala al peso: la fuerza neta es cero, la aceleración es cero y la caída continúa con rapidez constante, llamada rapidez terminal.
Por eso un paracaidista cae a unos cientos de kilómetros por hora y no a miles. En este curso, para los cálculos desprecias el aire; solo debes saber explicar qué cambia cuando no se desprecia.
Movimiento de proyectiles: dos movimientos independientes
Un proyectil es un cuerpo lanzado que, tras el lanzamiento, solo siente la gravedad. Su trayectoria es una parábola. La clave, descubierta por Galileo, es que los dos ejes no se influyen:
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Eje $x$ (horizontal): no hay fuerza, así que $a_x = 0$ → MRU.
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Eje $y$ (vertical): actúa el peso, así que $a_y = -g$ → MRUV (como un lanzamiento vertical).
El tiempo es el mismo en los dos ejes: es el hilo que los une.
Observa en el interactivo que las posiciones, marcadas a tiempos iguales, avanzan la misma distancia en horizontal ($v_x$ constante), mientras que en vertical se separan cada vez menos al subir y más al bajar.
En el punto más alto, $v_y = 0$ pero $v_x$ sigue igual: la velocidad no es cero, es horizontal. Además, la velocidad siempre es tangente a la trayectoria.
Vector posición, desplazamiento y velocidad instantánea
En el plano, la posición del proyectil se describe con el vector posición $\vec{r} = (x, y)$, que va del origen al cuerpo. El vector desplazamiento entre dos instantes es $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$: une la posición inicial con la final, sin importar la curva que siguió el cuerpo (por eso no es la distancia recorrida).
La velocidad media es $\vec{v}_m = \Delta\vec{r}/\Delta t$. Si haces el intervalo $\Delta t$ cada vez más pequeño, el desplazamiento se acerca a la dirección de la curva y obtienes la velocidad instantánea, que es el límite de $\Delta\vec{r}/\Delta t$ cuando $\Delta t \to 0$. Por eso la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.
Aceleración normal y centrípeta en la parábola
La aceleración del proyectil es siempre $\vec{g}$, vertical hacia abajo. Se descompone en una parte tangente (cambia la rapidez) y una parte normal $a_n$, perpendicular a la velocidad y dirigida hacia el interior de la curva (cambia la dirección). Esta componente normal se relaciona con la curvatura: $a_n = v^2/r$, donde $r$ es el radio de curvatura. En el punto más alto la velocidad es horizontal y $\vec{g}$ es perpendicular a ella, así que allí toda la aceleración es normal: $a_n = g$ y $r = v_x^2/g$. Es la misma idea de la aceleración centrípeta del movimiento circular (apartado MOVREC-MCIRC).
Un balón se lanza con velocidad de $20\ \text{m/s}$ formando un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la velocidad…
Un balón se lanza con velocidad de $20\ \text{m/s}$ formando un ángulo de $30^\circ$ con la horizontal. Calcula las componentes horizontal y vertical de la velocidad inicial. Indica cuál de las dos componentes permanece constante durante el vuelo, si se desprecia el aire, y por qué.
Proyectil horizontal
Si el lanzamiento es horizontal desde una altura $H$, entonces $\theta = 0$: $v_{0y} = 0$ y $v_{0x} = v_0$. Tomando el origen en el punto de lanzamiento:
$$x = v_0\,t \qquad y = -\tfrac{1}{2}\,g\,t^2$$La caída vertical es idéntica a soltar el objeto: tarda lo mismo en llegar al suelo que si se dejara caer.
Si un avión suelta un paquete, este conserva la velocidad horizontal del avión. Sin aire, el avión queda siempre justo encima del paquete mientras cae. Con aire, la fricción frena el paquete en horizontal y el avión se adelanta; además cae más lento y llega más tarde que en el cálculo ideal.
Doménica lanza una pelota horizontalmente con $12\ \text{m/s}$ desde una terraza ubicada a $19{,}6\ \text{m}$ sobre el suelo. Calcula el tiempo que tarda en llegar al…
Doménica lanza una pelota horizontalmente con $12\ \text{m/s}$ desde una terraza ubicada a $19{,}6\ \text{m}$ sobre el suelo. Calcula el tiempo que tarda en llegar al suelo y a qué distancia horizontal de la base de la terraza cae. Desprecia la resistencia del aire.
Un avión vuela horizontalmente a $50\ \text{m/s}$ y a $490\ \text{m}$ de altura para dejar caer un paquete de ayuda sobre una comunidad aislada de la Amazonía. Calcula…
Un avión vuela horizontalmente a $50\ \text{m/s}$ y a $490\ \text{m}$ de altura para dejar caer un paquete de ayuda sobre una comunidad aislada de la Amazonía. Calcula el tiempo que tarda el paquete en llegar al suelo, la distancia horizontal antes del blanco a la que debe soltarse y la rapidez con que llega al suelo. Explica qué posición ocupa el avión respecto al paquete mientras este cae, y comenta cómo cambiaría el resultado real al considerar la resistencia del aire.
Proyectil oblicuo: tiempo, altura y alcance
Cuando el proyectil parte y llega a la misma altura (de suelo a suelo), la simetría da fórmulas cómodas:
Como $\sin 2\theta$ vale lo mismo para $\theta$ y para $90^\circ - \theta$, dos ángulos complementarios dan el mismo alcance. El máximo se da con $2\theta = 90^\circ$, es decir, con $\theta = 45^\circ$ (sin aire).
En un partido de ecuavóley, un balón sale del suelo con velocidad inicial de $25\ \text{m/s}$ y ángulo de $37^\circ$ sobre la horizontal. Usa $\sin 37^\circ = 0{,}6$ y…
En un partido de ecuavóley, un balón sale del suelo con velocidad inicial de $25\ \text{m/s}$ y ángulo de $37^\circ$ sobre la horizontal. Usa $\sin 37^\circ = 0{,}6$ y $\cos 37^\circ = 0{,}8$. Calcula las componentes de la velocidad inicial, el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance horizontal, hasta que vuelve a la altura de lanzamiento.
Dos proyectiles se lanzan desde el suelo con la misma rapidez inicial de $30\ \text{m/s}$, uno con ángulo de $30^\circ$ y otro con $60^\circ$. Calcula para cada uno el…
Dos proyectiles se lanzan desde el suelo con la misma rapidez inicial de $30\ \text{m/s}$, uno con ángulo de $30^\circ$ y otro con $60^\circ$. Calcula para cada uno el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance. Compara los resultados y argumenta por qué los alcances son iguales, mientras que el tiempo de vuelo y la altura máxima no lo son. Indica qué ángulo daría el alcance máximo.
Resumen
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Caída libre y lanzamiento vertical son MRUV con $a = g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ hacia abajo; en el punto más alto $v = 0$ pero $a = g$.
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Con el eje hacia arriba: $v = v_0 - g\,t$ y $y = y_0 + v_0\,t - \tfrac{1}{2}\,g\,t^2$. Descarta tiempos negativos.
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Con aire aparece la rapidez terminal, cuando la fricción iguala al peso.
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Un proyectil es un MRU horizontal más un MRUV vertical, unidos por el mismo tiempo.
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$v_{0x} = v_0\cos\theta$ y $v_{0y} = v_0\sin\theta$; $v_x$ es constante y la velocidad es tangente a la parábola.
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De suelo a suelo: $t = 2v_{0y}/g$, $h = v_{0y}^2/2g$, $R = v_{0x}\,t$; ángulos complementarios dan igual alcance y $45^\circ$ el máximo.
Vuelve al principio: el balón de ecuavóley describe una curva porque se mueve a velocidad horizontal constante mientras la gravedad lo frena al subir y lo acelera al bajar; en el punto más alto solo conserva $v_x$, que no es cero.