Movimiento circular uniforme y uniformemente variado
En el Malecón 2000 de Guayaquil la rueda de la fortuna da vueltas sin parar. Una cabina siempre tarda lo mismo en volver al punto más bajo, pero su rapidez no cambia y, aun así, su movimiento sí está acelerado. ¿Cómo puede acelerar algo que no cambia su rapidez? Lo vamos a resolver en este apartado.
Describir un giro: ángulo, período y frecuencia
Para un objeto que gira, medir en metros no sirve: todos los puntos de una rueda dan la misma vuelta, pero recorren distancias distintas. Lo que comparten es el ángulo girado.
Se mide en radianes. Un radián es el ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio. Si el arco es $s$ y el radio es $r$:
$$\theta = \frac{s}{r}$$Una vuelta completa tiene un arco de $2\pi r$, así que equivale a $2\pi\ \text{rad}$.
Dos magnitudes describen cuánto tarda en girar:
-
Período $T$: tiempo de una vuelta (s).
-
Frecuencia $f$: vueltas por segundo (hercios, $\text{Hz}$).
La velocidad angular $\omega$ dice cuántos radianes gira por segundo:
$$\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$Una rueda gira a $120\ \text{rpm}$ de manera uniforme. Expresa su velocidad angular en $\text{rad/s}$ y calcula su período y su frecuencia en unidades del SI.
Una rueda gira a $120\ \text{rpm}$ de manera uniforme. Expresa su velocidad angular en $\text{rad/s}$ y calcula su período y su frecuencia en unidades del SI.
Un ventilador gira con velocidad angular constante de $2\ \text{rad/s}$. Calcula el ángulo que recorre en $5\ \text{s}$. Luego determina cuántas vueltas completas…
Un ventilador gira con velocidad angular constante de $2\ \text{rad/s}$. Calcula el ángulo que recorre en $5\ \text{s}$. Luego determina cuántas vueltas completas equivale un desplazamiento angular de $3\pi\ \text{rad}$.
MCU: posición angular y relación con magnitudes lineales
En el movimiento circular uniforme (MCU) la velocidad angular es constante. Es el equivalente del MRU, cambiando $x\to\theta$ y $v\to\omega$:
$$\theta=\theta_0+\omega t$$Si $\theta_0=0$, el ángulo crece de forma lineal con el tiempo (gráfica $\theta$-$t$ es una recta de pendiente $\omega$ y $\omega$-$t$ es una recta horizontal).
Un punto a distancia $r$ del centro recorre un arco $s=\theta r$. Dividiendo entre el tiempo obtenemos la rapidez lineal:
$$v=\omega r$$Para pasar de m/s a km/h multiplica por $3{,}6$ ($1\ \text{m/s}=3{,}6\ \text{km/h}$); para pasar de km/h a m/s, divide entre $3{,}6$. Por ejemplo, $5\ \text{m/s}=18\ \text{km/h}$.
Esto explica algo clave: en una rueda todos los puntos tienen el mismo $\omega$ (dan la vuelta en el mismo tiempo), pero los más lejanos del centro tienen mayor $v$, porque recorren una circunferencia más grande.
En un MCU el movimiento se repite, así que el vector velocidad es tangente a la circunferencia y cambia de dirección en todo momento.
Una bicicleta avanza a $7\ \text{m/s}$ y sus ruedas tienen $0{,}35\ \text{m}$ de radio. Suponiendo que las ruedas no resbalan, calcula la velocidad angular de una rueda,…
Una bicicleta avanza a $7\ \text{m/s}$ y sus ruedas tienen $0{,}35\ \text{m}$ de radio. Suponiendo que las ruedas no resbalan, calcula la velocidad angular de una rueda, su frecuencia y el número de vueltas que da en $10\ \text{s}$.
Una rueda de la fortuna de $10\ \text{m}$ de radio da una vuelta completa cada $40\ \text{s}$ con rapidez constante. Calcula su velocidad angular, la rapidez lineal de…
Una rueda de la fortuna de $10\ \text{m}$ de radio da una vuelta completa cada $40\ \text{s}$ con rapidez constante. Calcula su velocidad angular, la rapidez lineal de una cabina y su aceleración centrípeta. Indica cuál de estas magnitudes cambiaría si la cabina estuviera a $5\ \text{m}$ del centro y cuál no.
Aceleración centrípeta
Vuelve a la pregunta inicial. La rapidez de la cabina es constante, pero la velocidad (vector) cambia de dirección en cada instante. Cambiar la velocidad es acelerar, y esa aceleración existe aunque la rapidez no cambie.
Esa aceleración apunta hacia el centro de la circunferencia: se llama aceleración centrípeta (en una trayectoria circular, la aceleración normal es central).
$$a_c=\frac{v^2}{r}=\omega^2 r$$Se explica así: cuanto más rápido se mueve el objeto (mayor $v$), más deprisa gira su velocidad; y cuanto menor es el radio (curva más cerrada), más brusco es el cambio de dirección.
Para que un cuerpo gire se necesita una fuerza neta dirigida al centro (fuerza centrípeta, $F=ma_c$ por la 2.ª ley de Newton). La "fuerza centrífuga" que sentimos en una curva es ficticia: es la inercia del cuerpo, que tiende a seguir en línea recta.
Define la aceleración centrípeta e indica hacia dónde apunta en un movimiento circular uniforme. Luego calcula su valor para una partícula que se mueve con rapidez de…
Define la aceleración centrípeta e indica hacia dónde apunta en un movimiento circular uniforme. Luego calcula su valor para una partícula que se mueve con rapidez de $6\ \text{m/s}$ en una circunferencia de $3\ \text{m}$ de radio.
Un carro toma una curva circular plana de $50\ \text{m}$ de radio. Por comodidad y seguridad, se desea que la aceleración centrípeta no supere $4\ \text{m/s}^2$. Calcula…
Un carro toma una curva circular plana de $50\ \text{m}$ de radio. Por comodidad y seguridad, se desea que la aceleración centrípeta no supere $4\ \text{m/s}^2$. Calcula la rapidez máxima permitida en $\text{m/s}$ y en $\text{km/h}$. Después, argumenta qué le ocurre a la aceleración centrípeta si el conductor duplica la rapidez en la misma curva, y qué radio mínimo necesitaría para mantener el mismo límite de aceleración.
Transmisión por banda y poleas
Dos poleas unidas por una banda que no resbala comparten una cosa: la rapidez lineal de los bordes es la misma, porque la banda se mueve a una única velocidad. Pero sus $\omega$ son distintas:
$$v=\omega_1 r_1=\omega_2 r_2 \quad\Rightarrow\quad \frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{r_1}{r_2}$$La polea más grande gira más despacio: necesita recorrer una circunferencia mayor con la misma rapidez en el borde.
Dos poleas están unidas por una banda que no resbala. La polea pequeña tiene $5\ \text{cm}$ de radio y gira a $300\ \text{rpm}$; la grande tiene $15\ \text{cm}$ de…
Dos poleas están unidas por una banda que no resbala. La polea pequeña tiene $5\ \text{cm}$ de radio y gira a $300\ \text{rpm}$; la grande tiene $15\ \text{cm}$ de radio. Calcula la rapidez lineal de la banda, la velocidad angular de la polea grande en $\text{rad/s}$ y la aceleración centrípeta de un punto del borde de cada polea. Explica por qué las velocidades angulares son distintas aunque la rapidez lineal de los bordes sea la misma.
MCUV: cuando la velocidad angular cambia
Si la velocidad angular cambia de manera uniforme, el movimiento es un MCUV (circular uniformemente variado). La aceleración angular es:
$$\alpha=\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\quad(\text{rad/s}^2)$$Las ecuaciones son idénticas a las del MRUV, con otras letras:
| MRUV | MCUV |
|---|---|
| $x$ | $\theta$ |
| $v$ | $\omega$ |
| $a$ | $\alpha$ |
| $v=v_0+at$ | $\omega=\omega_0+\alpha t$ |
| $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$ | $\theta=\theta_0+\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2$ |
| $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ | $\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\Delta\theta$ |
En un MCUV, además de la aceleración centrípeta aparece una aceleración tangencial $a_t=\alpha r$, que cambia la rapidez. Y en la gráfica $\omega$-$t$ el área bajo la recta es el ángulo girado.
La diferencia se ve en las gráficas. En el MCU, $\omega$-$t$ es una recta horizontal, $\alpha=0$ y $\theta$-$t$ es una recta. En el MCUV, $\omega$-$t$ es una recta inclinada de pendiente $\alpha$, $\alpha$-$t$ es una recta horizontal (α constante y distinta de cero) y $\theta$-$t$ es una parábola.
Un disco parte del reposo y se acelera uniformemente hasta alcanzar $30\ \text{rad/s}$ en $6\ \text{s}$. Calcula la aceleración angular, el ángulo total que recorre en…
Un disco parte del reposo y se acelera uniformemente hasta alcanzar $30\ \text{rad/s}$ en $6\ \text{s}$. Calcula la aceleración angular, el ángulo total que recorre en ese tiempo y el número de vueltas que da.
Resumen
Vuelve al principio: la cabina de la rueda de la fortuna acelera porque su velocidad cambia de dirección. Esa aceleración centrípeta apunta al centro y vale $v^2/r$.