Fuerza elástica y movimiento armónico simple
En el TelefériQo de Quito, los cables y los amortiguadores de las cabinas se deforman un poco cada vez que una cabina arranca o frena, y luego recuperan su forma. Lo mismo hace el resorte de un esfero retráctil. ¿Cuánta fuerza hace un resorte al estirarlo? ¿Por qué una masa colgada de un resorte sube y baja siempre con el mismo ritmo, aunque la sueltes desde más arriba o más abajo? Lo vamos a responder en este apartado.
La ley de Hooke
Cuelga una masa de un resorte: se alarga. Cuelga el doble de masa: se alarga el doble. Esa proporcionalidad es lo que mide cualquier dinamómetro (la «balanza de resorte» del laboratorio).
| Masa colgada (kg) | Fuerza $F = mg$ (N) | Alargamiento $x$ (cm) |
|---|---|---|
| 0,1 | 0,98 | 2 |
| 0,2 | 1,96 | 4 |
| 0,3 | 2,94 | 6 |
El cociente $F/x$ es el mismo en todas las filas: $49\ \text{N/m}$. Esa constante es propia de cada resorte.
¿Por qué el signo negativo? La fuerza del resorte es restauradora: si lo estiras ($x>0$), te jala hacia atrás ($F<0$); si lo comprimes ($x<0$), te empuja hacia afuera ($F>0$). Siempre apunta hacia la posición de equilibrio.
Un resorte tiene una constante elástica de $200\ \text{N/m}$. Calcula la fuerza que ejerce cuando se estira $0{,}05\ \text{m}$ respecto de su longitud natural. Explica…
Un resorte tiene una constante elástica de $200\ \text{N/m}$. Calcula la fuerza que ejerce cuando se estira $0{,}05\ \text{m}$ respecto de su longitud natural. Explica qué indica el signo negativo en la expresión de la ley de Hooke, $F = -kx$.
Al colgar una masa de $0{,}4\ \text{kg}$ de un resorte vertical, este se alarga $8\ \text{cm}$ hasta quedar en equilibrio. Calcula la constante elástica del resorte.…
Al colgar una masa de $0{,}4\ \text{kg}$ de un resorte vertical, este se alarga $8\ \text{cm}$ hasta quedar en equilibrio. Calcula la constante elástica del resorte. Luego calcula cuánto se alargaría si se cuelga una masa de $0{,}6\ \text{kg}$, suponiendo que no se supera el límite elástico.
Oscilaciones: amplitud, período y frecuencia
Estira un resorte horizontal con una masa en la punta (sobre una mesa sin fricción) y suéltalo. La masa va y viene alrededor de la posición de equilibrio: es un movimiento oscilatorio.
Si una masa hace 20 oscilaciones en $10\ \text{s}$: $T = 10/20 = 0{,}5\ \text{s}$ y $f = 20/10 = 2\ \text{Hz}$. Fíjate en que $T$ y $f$ son inversas.
Prueba el interactivo: cambia la amplitud y observa que el tiempo de cada vaivén no cambia.
Una masa unida a un resorte realiza 10 oscilaciones completas en $5\ \text{s}$. Calcula su período y su frecuencia. Define además qué es la amplitud del movimiento…
Una masa unida a un resorte realiza 10 oscilaciones completas en $5\ \text{s}$. Calcula su período y su frecuencia. Define además qué es la amplitud del movimiento armónico simple.
El MAS: relación con el movimiento circular
Cuando la fuerza es $F = -kx$, la segunda ley de Newton da una aceleración proporcional a la posición y de signo contrario. Ese movimiento se llama movimiento armónico simple (MAS).
Hay una forma visual de entenderlo: el MAS es la sombra de un MCU. Si una partícula gira con radio $A$ y velocidad angular $\omega$, su proyección sobre un diámetro horizontal va y viene como una masa en un resorte.
Así, el radio $A$ del círculo es la amplitud, y $\omega$ es la velocidad angular del MCU. La posición es:
Para una masa $m$ en un resorte de constante $k$:
Lo razonable: más masa significa más inercia y oscilaciones más lentas; más $k$, un resorte más rígido que devuelve la masa con más fuerza y oscilaciones más rápidas. Observa que $T$ no depende de la amplitud: si estiras más, la fuerza inicial es mayor, pero el camino también es más largo, y ambos efectos se compensan.
Una masa de $0{,}5\ \text{kg}$ está unida a un resorte de constante $50\ \text{N/m}$ y oscila sobre una superficie horizontal sin fricción. Calcula el período y la…
Una masa de $0{,}5\ \text{kg}$ está unida a un resorte de constante $50\ \text{N/m}$ y oscila sobre una superficie horizontal sin fricción. Calcula el período y la frecuencia de la oscilación. Indica si estos valores dependen de la amplitud con la que se inicia el movimiento.
En el laboratorio, Nayeli estira dos resortes, A y B. Con el resorte A mide una fuerza de $4\ \text{N}$ para un alargamiento de $0{,}02\ \text{m}$; con el resorte B mide…
En el laboratorio, Nayeli estira dos resortes, A y B. Con el resorte A mide una fuerza de $4\ \text{N}$ para un alargamiento de $0{,}02\ \text{m}$; con el resorte B mide $6\ \text{N}$ para $0{,}06\ \text{m}$. Calcula la constante de cada resorte e indica cuál es más rígido. Si se une a cada uno, por separado, una masa de $0{,}5\ \text{kg}$ y se deja oscilar, calcula el período de cada sistema y la razón entre ambos períodos. Argumenta por qué el resorte más rígido produce el período menor.
Energía en el resorte
Para comprimir o estirar un resorte hay que hacer trabajo, y ese trabajo queda almacenado como energía potencial elástica:
Es positiva tanto si estiras como si comprimes, porque $x^2$ no tiene signo.
Un resorte de constante $k = 100\ \text{N/m}$ se comprime $0{,}1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada en el resorte. Indica en qué unidades se…
Un resorte de constante $k = 100\ \text{N/m}$ se comprime $0{,}1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada en el resorte. Indica en qué unidades se mide y qué ocurre con ese valor si la compresión se duplica.
Conservación de la energía en el MAS
Sin fricción, la energía mecánica se conserva: $E = E_c + E_p$ es constante. En los extremos ($x = \pm A$) la masa se detiene un instante y toda la energía es potencial. En el equilibrio ($x = 0$) el resorte no está deformado y toda la energía es cinética: ahí la rapidez es máxima.
Un bloque de $0{,}2\ \text{kg}$ está unido a un resorte de constante $80\ \text{N/m}$ y oscila con una amplitud de $0{,}10\ \text{m}$ sobre una superficie lisa. Calcula…
Un bloque de $0{,}2\ \text{kg}$ está unido a un resorte de constante $80\ \text{N/m}$ y oscila con una amplitud de $0{,}10\ \text{m}$ sobre una superficie lisa. Calcula la energía mecánica total del sistema y la rapidez máxima del bloque. Indica en qué posición se alcanza esa rapidez máxima.
Un bloque de $0{,}25\ \text{kg}$ unido a un resorte de constante $100\ \text{N/m}$ oscila sin fricción con una amplitud de $0{,}06\ \text{m}$. Usando la conservación de…
Un bloque de $0{,}25\ \text{kg}$ unido a un resorte de constante $100\ \text{N/m}$ oscila sin fricción con una amplitud de $0{,}06\ \text{m}$. Usando la conservación de la energía mecánica, calcula la rapidez del bloque cuando está en $x = 0{,}03\ \text{m}$ respecto a la posición de equilibrio. Calcula también el período del movimiento. Argumenta qué ocurriría con el período si se cuadruplicara la masa y qué ocurriría con la energía total si se duplicara la amplitud.
Resumen
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Ley de Hooke: $F = -kx$. El signo indica fuerza restauradora; $k$ (N/m) es propia de cada resorte.
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Una oscilación se describe con amplitud $A$, período $T$ y frecuencia $f = 1/T$.
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El MAS es la proyección de un MCU de radio $A$: $x = A\cos\omega t$, con $\omega = 2\pi/T$.
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Masa-resorte: $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; no depende de la amplitud.
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Energía: $E_p = \tfrac12kx^2$; $E = \tfrac12kA^2$ se conserva y $v_{\max} = A\sqrt{k/m}$ ocurre en el equilibrio.
Vuelve al principio: la masa oscila siempre con el mismo ritmo porque, al estirar más, la fuerza crece pero el camino también, y esos efectos se compensan; por eso $T$ solo depende de $m$ y $k$.