Impulso, cantidad de movimiento y centro de masa
En la avenida de las Américas, en Guayaquil, un carro choca contra una barrera. Los ocupantes salen ilesos porque el cinturón y la bolsa de aire los frenan poco a poco. Si no hubiera bolsa de aire, el golpe contra el volante sería muy peligroso. En los dos casos el cambio de movimiento es el mismo, pero el daño es muy distinto. ¿Qué magnitud mide ese cambio y por qué importa cuánto dura el frenado? Lo resolvemos en este apartado.
Cantidad de movimiento
Un balón de ecuavóley y un balón de fútbol pueden ir a la misma rapidez, pero detener el de fútbol cuesta más. Y un camión lento cuesta más de detener que una bicicleta lenta. Detener un cuerpo depende de su masa y de su velocidad. La cantidad de movimiento reúne las dos.
Como es un vector, el signo importa. Elegimos un sentido positivo (por ejemplo, hacia la derecha) y un cuerpo que va hacia la izquierda tiene $p$ negativa.
| Cuerpo | $m$ | $v$ | $p = mv$ |
|---|---|---|---|
| Ciclista con su bicicleta | $70\ \text{kg}$ | $6\ \text{m/s}$ | $420\ \text{kg·m/s}$ |
| Bus urbano | $10.000\ \text{kg}$ | $6\ \text{m/s}$ | $60.000\ \text{kg·m/s}$ |
| Bus que va en sentido contrario | $10.000\ \text{kg}$ | $-6\ \text{m/s}$ | $-60.000\ \text{kg·m/s}$ |
Calcula la cantidad de movimiento de un carro de $1.000\ \text{kg}$ que se desplaza a $10\ \text{m/s}$. Indica las unidades de la cantidad de movimiento en el SI y si es…
Calcula la cantidad de movimiento de un carro de $1.000\ \text{kg}$ que se desplaza a $10\ \text{m/s}$. Indica las unidades de la cantidad de movimiento en el SI y si es una magnitud escalar o vectorial.
Impulso y teorema del impulso
¿Cómo cambia la cantidad de movimiento de un cuerpo? Con una fuerza que actúe durante un tiempo. Una fuerza grande que dura muy poco (un pateo) y una fuerza pequeña que dura mucho pueden producir el mismo cambio.
En una gráfica fuerza-tiempo, el impulso es el área bajo la curva. Si la fuerza no es constante, esa área sigue dando el impulso.
¿Por qué el impulso es igual al cambio de cantidad de movimiento?
Parte de la segunda ley de Newton con masa constante: $\vec{F} = m\vec{a}$. La aceleración es $\vec{a} = \dfrac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{\Delta t}$. Sustituimos:
$$\vec{F} = m\,\frac{\vec{v}_f - \vec{v}_i}{\Delta t} \;\Rightarrow\; \vec{F}\,\Delta t = m\vec{v}_f - m\vec{v}_i$$Una fuerza constante de $50\ \text{N}$ actúa sobre un cuerpo durante $0{,}2\ \text{s}$. Calcula el impulso que recibe el cuerpo y, usando el teorema del impulso, indica…
Una fuerza constante de $50\ \text{N}$ actúa sobre un cuerpo durante $0{,}2\ \text{s}$. Calcula el impulso que recibe el cuerpo y, usando el teorema del impulso, indica cuánto cambia su cantidad de movimiento.
Fuerza media en golpes y choques
En un golpe la fuerza cambia mucho durante el contacto, pero no hace falta conocerla en cada instante. Basta usar la fuerza media:
$$\vec{F}_{media} = \frac{\Delta\vec{p}}{\Delta t}$$Aquí está la respuesta al gancho del inicio: para el mismo $\Delta p$, cuanto mayor es $\Delta t$, menor es la fuerza. El cinturón y la bolsa de aire alargan el tiempo de frenado, y la fuerza sobre el cuerpo baja mucho.
Un balón de fútbol de $0{,}45\ \text{kg}$ llega a un jugador con rapidez de $10\ \text{m/s}$. El jugador lo patea y el balón sale en sentido contrario con…
Un balón de fútbol de $0{,}45\ \text{kg}$ llega a un jugador con rapidez de $10\ \text{m/s}$. El jugador lo patea y el balón sale en sentido contrario con $20\ \text{m/s}$. El contacto dura $0{,}02\ \text{s}$. Calcula el cambio de cantidad de movimiento del balón, el impulso recibido y la fuerza media ejercida por el pie. Elige un sentido positivo y explica el signo de cada velocidad.
Conservación de la cantidad de movimiento
Cuando dos cuerpos interactúan (chocan, se empujan, explotan), la tercera ley dice que se ejercen fuerzas iguales y opuestas durante el mismo tiempo. Sus impulsos son $\vec{J}_{1} = -\vec{J}_{2}$, así que los cambios de $\vec{p}$ se compensan:
$$\Delta\vec{p}_1 = -\Delta\vec{p}_2 \;\Rightarrow\; \Delta\vec{p}_1 + \Delta\vec{p}_2 = 0$$Choques
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Elástico: se conservan la cantidad de movimiento y la energía cinética.
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Inelástico: se conserva la cantidad de movimiento, pero parte de la energía cinética se transforma en calor, sonido y deformación.
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Perfectamente inelástico: los cuerpos quedan unidos después del choque y se mueven con la misma velocidad.
Retroceso: «explosiones» al revés
Si dos cuerpos están en reposo y se empujan, la $p$ total inicial es $0$. Entonces, después del empuje, $m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2' = 0$: salen en sentidos opuestos, y el de menor masa sale con mayor rapidez. Así retrocede un cañón o un bote cuando alguien salta de él.
Un vagón de $2.000\ \text{kg}$ que viaja a $3\ \text{m/s}$ choca con otro vagón de $1.000\ \text{kg}$ que está en reposo, y quedan acoplados. Calcula la velocidad de los…
Un vagón de $2.000\ \text{kg}$ que viaja a $3\ \text{m/s}$ choca con otro vagón de $1.000\ \text{kg}$ que está en reposo, y quedan acoplados. Calcula la velocidad de los dos vagones después del choque y la cantidad de movimiento total antes y después. Indica qué tipo de choque es.
Dos patinadores en reposo sobre una pista de hielo muy lisa se empujan mutuamente. Ariana tiene $50\ \text{kg}$ y sale con una rapidez de $3{,}5\ \text{m/s}$; Andrés…
Dos patinadores en reposo sobre una pista de hielo muy lisa se empujan mutuamente. Ariana tiene $50\ \text{kg}$ y sale con una rapidez de $3{,}5\ \text{m/s}$; Andrés tiene $70\ \text{kg}$. Calcula la rapidez y el sentido del movimiento de Andrés. Justifica tu respuesta con la conservación de la cantidad de movimiento.
Una bala de $20\ \text{g}$ que viaja horizontalmente a $300\ \text{m/s}$ se incrusta en un bloque de madera de $1{,}98\ \text{kg}$ en reposo sobre una superficie…
Una bala de $20\ \text{g}$ que viaja horizontalmente a $300\ \text{m/s}$ se incrusta en un bloque de madera de $1{,}98\ \text{kg}$ en reposo sobre una superficie horizontal lisa. Calcula la velocidad del conjunto bala-bloque justo después del impacto. Calcula también la energía cinética antes y después, y la fracción de energía que se transforma en otras formas. Explica por qué se conserva la cantidad de movimiento pero no la energía cinética.
Centro de masa de dos cuerpos
Una bailarina lanza un bastón al aire y este gira de forma complicada, pero hay un punto del bastón que sigue una trayectoria sencilla (una parábola). Ese punto es el centro de masa: el punto donde podemos imaginar concentrada toda la masa del sistema.
En la figura, $x_{cm} = \dfrac{1 \cdot 0 + 3 \cdot 8}{1 + 3} = 6\ \text{m}$. Queda a $2\ \text{m}$ de la masa mayor y a $6\ \text{m}$ de la menor.
Velocidad del centro de masa
Si los cuerpos se mueven, la velocidad del centro de masa es
$$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{p_{total}}{M}$$Como $p_{total}$ no cambia en un sistema aislado, $v_{cm}$ es constante. Por eso, aunque un proyectil explote en fragmentos, el centro de masa de los fragmentos sigue el movimiento que tendría el proyectil entero.
Dos masas puntuales están sobre el eje $x$: una de $2\ \text{kg}$ en $x = 0$ y otra de $4\ \text{kg}$ en $x = 6\ \text{m}$. Calcula la posición del centro de masa del…
Dos masas puntuales están sobre el eje $x$: una de $2\ \text{kg}$ en $x = 0$ y otra de $4\ \text{kg}$ en $x = 6\ \text{m}$. Calcula la posición del centro de masa del sistema. Indica si queda más cerca de la masa mayor o de la menor.
Un proyectil de $4\ \text{kg}$ se mueve horizontalmente a $10\ \text{m/s}$ y explota en dos fragmentos, uno de $1\ \text{kg}$ y otro de $3\ \text{kg}$. El fragmento de…
Un proyectil de $4\ \text{kg}$ se mueve horizontalmente a $10\ \text{m/s}$ y explota en dos fragmentos, uno de $1\ \text{kg}$ y otro de $3\ \text{kg}$. El fragmento de $1\ \text{kg}$ sale hacia atrás con rapidez de $20\ \text{m/s}$ respecto al suelo. Calcula la velocidad del fragmento de $3\ \text{kg}$. Luego calcula la velocidad del centro de masa del sistema después de la explosión y argumenta por qué coincide con la velocidad del proyectil antes de explotar.
Resumen
Vuelve al principio: la bolsa de aire no cambia la cantidad de movimiento que hay que quitar a los ocupantes. Solo alarga el tiempo de frenado y, por eso, reduce la fuerza media sobre ellos.