Magnitudes cinemáticas del MRU y del MRUV con tablas y gráficas
Un bus de la Metrovía arranca en una parada de Guayaquil, avanza cada vez más rápido, mantiene la marcha por la avenida y frena en la siguiente estación. ¿Cómo describir ese viaje con números y con una gráfica, sin estar dentro del bus? Eso es la cinemática: describir el movimiento sin preguntar todavía qué fuerzas lo causan. Al final de la página volveremos a este bus.
Posición, desplazamiento y distancia recorrida
Para decir dónde está un objeto necesitas un sistema de referencia: un origen y un sentido positivo. En una trayectoria recta basta un eje $x$. Un punto con $x=+150\ \text{m}$ está a 150 m del origen en el sentido positivo; con $x=-40\ \text{m}$, a 40 m en el sentido contrario.
Doménica sale del colegio (origen), camina 200 m al este hasta la panadería y regresa 50 m hacia el oeste.
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Distancia recorrida: $200 + 50 = 250\ \text{m}$.
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Desplazamiento: $\Delta x = 150 - 0 = +150\ \text{m}$ (al este).
No coinciden porque el desplazamiento solo compara el punto inicial con el final, mientras que la distancia suma todo el camino, incluidos los retrocesos. Solo coinciden si el movimiento va siempre en el mismo sentido.
Santiago sale de su casa y camina 300 m hacia el este hasta una tienda. Luego regresa 100 m hacia el oeste para saludar a un amigo. Calcula la distancia total recorrida…
Santiago sale de su casa y camina 300 m hacia el este hasta una tienda. Luego regresa 100 m hacia el oeste para saludar a un amigo. Calcula la distancia total recorrida y el desplazamiento de Santiago respecto a su casa. Explica en una frase por qué estas dos magnitudes no coinciden.
Rapidez, velocidad y MRU
La rapidez media es la distancia recorrida entre el tiempo. La velocidad media es el desplazamiento entre el tiempo:
$$v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x_f - x_i}{t_f - t_i}$$La rapidez es solo un número positivo; la velocidad lleva signo (en una dimensión) porque es un vector.
Un movimiento es rectilíneo uniforme (MRU) si la velocidad es constante: en tiempos iguales recorre desplazamientos iguales. Mateo pedalea en el Malecón 2000:
| $t$ (s) | 0 | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| $x$ (m) | 0 | 20 | 40 | 60 |
Cada 5 s avanza 20 m: $v = 20/5 = 4\ \text{m/s}$. Si $v$ es constante, la posición crece de forma lineal con el tiempo:
$$x = x_0 + v\,t$$Si la gráfica x-t es una curva, la velocidad cambia. La velocidad instantánea en un instante es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Equivale a calcular $\Delta x/\Delta t$ con un intervalo cada vez más pequeño alrededor del instante.
Camila camina en línea recta por el Malecón 2000 de Guayaquil y registra su posición cada 2 s. La tabla muestra los datos: | $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 |…
Camila camina en línea recta por el Malecón 2000 de Guayaquil y registra su posición cada 2 s. La tabla muestra los datos:
| $t$ (s) | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| $x$ (m) | 0 | 3 | 6 | 9 |
Calcula el desplazamiento entre $t=0$ y $t=6\ \text{s}$ y la velocidad media en ese intervalo. Indica si el movimiento parece MRU y justifica tu respuesta con la tabla.
Valentina mide la posición de un carrito de laboratorio que se mueve sobre un riel recto: | $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |---|---|---|---|---|---| | $x$ (m) | 0 | 2 | 8…
Valentina mide la posición de un carrito de laboratorio que se mueve sobre un riel recto:
| $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $x$ (m) | 0 | 2 | 8 | 18 | 32 |
Calcula la velocidad media en los intervalos de $0$ a $2\ \text{s}$ y de $2$ a $4\ \text{s}$. Con esos resultados, explica si el movimiento es uniforme y estima la aceleración media entre esos dos intervalos, tomando cada velocidad media como la velocidad en el instante central de su intervalo.
Aceleración y gráficas v-t
En la vida real casi nada va a velocidad constante: el bus arranca, acelera, frena. La aceleración media mide cuánto cambia la velocidad por unidad de tiempo:
$$a_m = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$$Se mide en $\text{m/s}^2$: una aceleración de $2\ \text{m/s}^2$ significa que cada segundo la velocidad cambia $2\ \text{m/s}$. La aceleración instantánea es la aceleración en un instante concreto (pendiente de la tangente en la gráfica v-t).
Un movimiento con aceleración constante en línea recta es un MRUV (movimiento rectilíneo uniformemente variado). Si la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo, el objeto acelera (aumenta su rapidez); si tienen signos contrarios, frena.
En el MRUV, la gráfica x-t ya no es recta, sino una parábola: la pendiente de la tangente (la velocidad) cambia de un instante a otro.
Mueve el cursor y fíjate: cada segundo la velocidad cambia lo mismo, mientras que las huellas del móvil se separan cada vez más.
La gráfica a-t completa el cuadro. En un MRUV la aceleración es constante, así que la gráfica a-t es una recta horizontal. El área bajo ella es el cambio de velocidad: $\Delta v = a\,\Delta t$.
Aquí $a=2\ \text{m/s}^2$ durante $4\ \text{s}$: el área es $2\cdot 4=8\ \text{m/s}$, que es lo que aumenta la velocidad. Si $a$ fuera negativa, la recta estaría bajo el eje y el área restaría velocidad.
En una gráfica velocidad-tiempo, la velocidad de un carro aumenta en línea recta desde $0$ hasta $12\ \text{m/s}$ durante los primeros $4\ \text{s}$. Calcula la…
En una gráfica velocidad-tiempo, la velocidad de un carro aumenta en línea recta desde $0$ hasta $12\ \text{m/s}$ durante los primeros $4\ \text{s}$. Calcula la aceleración del carro en ese tramo. Indica qué magnitud física representa la pendiente de una gráfica $v$-$t$.
Desplazamiento como área y ecuaciones del MRUV
Si un móvil va a velocidad constante, $\Delta x = v\,\Delta t$: es el área de un rectángulo en la gráfica v-t (base $\Delta t$, altura $v$). Esa idea sirve siempre:
Ejemplo: un bus acelera durante 4 s hasta $8\ \text{m/s}$, mantiene esa velocidad 6 s y frena hasta detenerse en 2 s.
Áreas: triángulo $\tfrac12\cdot 4\cdot 8 = 16\ \text{m}$; rectángulo $6\cdot 8 = 48\ \text{m}$; triángulo $\tfrac12\cdot 2\cdot 8 = 8\ \text{m}$. Desplazamiento total: $72\ \text{m}$. Las aceleraciones por tramo son $8/4=2\ \text{m/s}^2$, $0$ y $-8/2=-4\ \text{m/s}^2$.
Aplicando esta idea a una recta inclinada (trapecio entre $v_0$ y $v$) se obtienen las ecuaciones del MRUV con $a$ constante:
La primera sale de la definición de $a$. La segunda es el área del trapecio: $x-x_0 = \tfrac12 (v_0+v)\,t$ con $v=v_0+at$. La tercera elimina el tiempo entre las dos anteriores; es útil cuando el enunciado no da $t$. Si $a=0$, se reducen a las del MRU.
Un tren del Metro de Quito parte del reposo y acelera de manera constante a $1{,}2\ \text{m/s}^2$ durante $15\ \text{s}$. Calcula la velocidad que alcanza al final de…
Un tren del Metro de Quito parte del reposo y acelera de manera constante a $1{,}2\ \text{m/s}^2$ durante $15\ \text{s}$. Calcula la velocidad que alcanza al final de ese tiempo y la distancia que recorre en ese intervalo. Expresa también la velocidad final en km/h.
La gráfica velocidad-tiempo del recorrido de una moto tiene tres tramos rectos: de $0$ a $5\ \text{s}$ la velocidad sube de $0$ a $10\ \text{m/s}$; de $5$ a…
La gráfica velocidad-tiempo del recorrido de una moto tiene tres tramos rectos: de $0$ a $5\ \text{s}$ la velocidad sube de $0$ a $10\ \text{m/s}$; de $5$ a $15\ \text{s}$ se mantiene en $10\ \text{m/s}$; y de $15$ a $20\ \text{s}$ baja de $10\ \text{m/s}$ hasta $0$. Calcula la aceleración en cada tramo y el desplazamiento total, usando el área bajo la gráfica.
Problemas de encuentro y de frenado
Encuentros. Cuando dos móviles se mueven en la misma recta, escribe la ecuación de posición de cada uno con el mismo origen y el mismo instante cero. Se encuentran cuando tienen la misma posición: $x_1 = x_2$.
Frenado. La distancia de frenado sale de $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ con $v=0$:
$$\Delta x = \frac{v_0^2}{2\,|a|}$$La distancia depende del cuadrado de la velocidad inicial: si $v_0$ se duplica, $\Delta x$ se multiplica por $4$. Por eso, a mayor velocidad, la distancia necesaria para detenerse crece muy rápido.
En una avenida recta de Guayaquil, un carro pasa a velocidad constante de $20\ \text{m/s}$ junto a un policía en moto que está detenido. En ese mismo instante la moto…
En una avenida recta de Guayaquil, un carro pasa a velocidad constante de $20\ \text{m/s}$ junto a un policía en moto que está detenido. En ese mismo instante la moto arranca con aceleración constante de $2\ \text{m/s}^2$ para alcanzar al carro. Plantea las ecuaciones de posición de ambos vehículos con el mismo origen. Calcula en qué instante la moto alcanza al carro, a qué distancia del punto de partida ocurre y qué velocidad lleva la moto en ese momento. Explica por qué la moto, al alcanzarlo, va más rápido que el carro.
Un ciclista que viaja a $15\ \text{m/s}$ por una vía recta frena con aceleración constante y se detiene después de recorrer $45\ \text{m}$. Calcula el valor de la…
Un ciclista que viaja a $15\ \text{m/s}$ por una vía recta frena con aceleración constante y se detiene después de recorrer $45\ \text{m}$. Calcula el valor de la aceleración y el tiempo de frenado. Luego, otro ciclista frena con la misma aceleración pero parte con el doble de velocidad. Sin repetir todo el cálculo, argumenta cuántas veces mayor será su distancia de frenado, y verifícalo con la ecuación correspondiente. Comenta qué implica esto para la seguridad vial.
Vuelve al principio: el viaje del bus de la Metrovía es un gráfico v-t con tres tramos: pendiente positiva al arrancar, recta horizontal (MRU) en la avenida y pendiente negativa al frenar. El área bajo esa gráfica es la distancia entre las dos estaciones.
Resumen
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Desplazamiento $\Delta x=x_f-x_i$ (vector, con signo); distancia es el camino total (siempre positiva).
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Velocidad media $v_m=\Delta x/\Delta t$; en MRU es constante y $x=x_0+vt$. En la gráfica x-t, la pendiente es la velocidad (la tangente da la instantánea).
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Aceleración $a=\Delta v/\Delta t$; en MRUV es constante. En la gráfica v-t, la pendiente es $a$ y el área es el desplazamiento.
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Ecuaciones del MRUV: $v=v_0+at$, $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$, $v^2=v_0^2+2a\Delta x$.
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Encuentros: misma referencia y $x_1=x_2$. Frenado: $\Delta x=v_0^2/(2|a|)$; duplicar la velocidad cuadruplica la distancia.