Trabajo y balances energéticos en el campo gravitacional · Física 3.° de Bachillerato General Unificado

Repaso: trabajo y energía

Antes de pasar al campo gravitacional, recuerda lo que ya conoces de 2.° de BGU: el trabajo de una fuerza constante es $W = F\,d\cos\theta$; cerca de la superficie, $E_p = mgh$; si solo actúan fuerzas conservativas, la energía mecánica $E_m = E_c + E_p$ se conserva; y la fricción hace trabajo negativo y disipa energía mecánica.

El trabajo del campo gravitacional

Si lanzas una pelota hacia arriba, la gravedad la frena hasta detenerla. Al caer, la acelera sin que intervenga otra fuerza. ¿Cómo medimos la energía que intercambia el campo gravitacional con un objeto que se aleja o se acerca al planeta?

Practica★☆☆

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial. a) Dibuja en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razona qué signo tiene el…

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial.

a) Dibuja en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razona qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el alejamiento.
b) Escribe la relación entre ese trabajo y la variación de energía potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, y explica su significado.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Resolver

Trabajo nulo en una órbita circular

Practica★☆☆

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$. a)…

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

a) Razona, sin hacer cálculos, qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el descenso.
b) Indica si su energía potencial aumenta o disminuye y justifícalo con la expresión $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Resolver

Practica★☆☆

Un satélite describe una órbita circular estable alrededor de la Tierra. Observa el esquema: a) Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es perpendicular a la…

Un satélite describe una órbita circular estable alrededor de la Tierra. Observa el esquema:

a) Teniendo en cuenta que la fuerza gravitatoria es perpendicular a la velocidad en cada punto de la órbita, ¿cuánto vale el trabajo realizado por el campo gravitatorio en una vuelta completa?
b) ¿Cambian la energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica del satélite a lo largo de esa órbita? Justifícalo.

Resolver

Poner en órbita: dos gastos energéticos

Un cohete suborbital llega a 100 km de altura y cae enseguida. La Estación Espacial Internacional orbita a unos 400 km durante años sin caer. ¿Por qué subir no basta, y qué energía extra exige sostener la órbita?

Un satélite de comunicaciones de 1500 kg sobre la línea ecuatorial, en órbita geoestacionaria (r = 4,22×10⁷ m)

Sustituimos en $E = G M_T m\left(\dfrac{1}{R_T} - \dfrac{1}{2r}\right)$, con $G M_T m = 5{,}97\cdot10^{17}\ \text{J}\,\text{m}$. La órbita geoestacionaria es la que podría ocupar un satélite que «mire» fijo hacia Ecuador, porque queda sobre el ecuador.

$\dfrac{1}{R_T} = 1{,}570\cdot10^{-7}\ \text{m}^{-1}$ y $\dfrac{1}{2r} = 1{,}185\cdot10^{-8}\ \text{m}^{-1}$. Entonces $E \approx 5{,}97\cdot10^{17}\cdot1{,}451\cdot10^{-7} \approx 8{,}67\cdot10^{10}\ \text{J}$.

Reparto: subir cuesta $5{,}97\cdot10^{17}\left(\tfrac{1}{R_T}-\tfrac1r\right) \approx 7{,}96\cdot10^{10}\ \text{J}$ y orbitar solo $E_c \approx 7{,}1\cdot10^{9}\ \text{J}$. A esa distancia casi todo es «subir» (más del 90 %). Este balance ideal no dice cuánto combustible se gasta, porque eso depende de la trayectoria, las pérdidas y la masa que expulsa el cohete.

Practica★☆☆

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética…

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

a) Calcula la energía total que debe suministrar el lanzador.
b) Explica por qué poner un satélite en órbita no consiste solo en «subirlo» hasta esa altura.

Resolver

Cambiar de órbita: la paradoja del satélite

Para que un satélite pase a una órbita más alta, los propulsores hacen trabajo. Pero ¿llegará arriba más rápido o más lento?

Un satélite de 100 kg sube de 500 km a 800 km de altura

Los radios son $r_1 = 6{,}87\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $r_2 = 7{,}17\cdot10^{6}\ \text{m}$. Con $G M_T m = 3{,}98\cdot10^{16}\ \text{J}\,\text{m}$ calculamos el trabajo de los propulsores.

$\dfrac{1}{r_1}-\dfrac{1}{r_2} = 1{,}4556\cdot10^{-7} - 1{,}3947\cdot10^{-7} = 6{,}09\cdot10^{-9}\ \text{m}^{-1}$, así que $W = \dfrac{3{,}98\cdot10^{16}}{2}\cdot6{,}09\cdot10^{-9} \approx 1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J}$.

Las rapideces: $v_1 = \sqrt{G M_T/r_1} \approx 7{,}61\cdot10^{3}\ \text{m/s}$ y $v_2 \approx 7{,}45\cdot10^{3}\ \text{m/s}$. Bajó.

Calcula $\Delta E_c$ y $\Delta E_p$ en tu cuaderno y comprueba que suman $W$.

$\Delta E_c = -1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J}$ y $\Delta E_p = +2{,}42\cdot10^{8}\ \text{J}$ (siempre $\Delta E_p = -2\Delta E_c$ entre órbitas circulares). Suman $+1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J}$. La energía total aumenta, pero la mitad de lo que sube $E_p$ sale de la energía cinética.

Practica★☆☆

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética…

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

a) Calcula la energía total que debe suministrar el lanzador.
b) Explica por qué poner un satélite en órbita no consiste solo en «subirlo» hasta esa altura.

Resolver

Decaimiento por fricción

Los satélites en órbita baja rozan con aire muy tenue y poco a poco caen a capas más densas. Con el tiempo, cada vuelta les toma menos tiempo. ¿Cómo puede una fuerza que frena terminar haciendo que el cuerpo vaya más rápido?

La fricción disipa energía mecánica, pero la rapidez aumenta

Un satélite que decae de $r_1$ a una órbita circular más baja $r_2$ cumple:

El campo hace trabajo positivo (el satélite se acerca): $W_{campo} = G M m\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)$.
La fricción hace trabajo negativo, igual a $\Delta E_m$: $W_{f} = -\dfrac{G M m}{2}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right)$. La energía disipada (en forma de energía térmica) es $-\Delta E_m$.
La energía cinética aumenta: $\Delta E_c > 0$.

¿Por qué? Por el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo total es $\Delta E_c$, es decir, $W_{campo} + W_{f} = \Delta E_c$. Como $W_{campo} = -\Delta E_p$, queda $W_{f} = \Delta E_c + \Delta E_p = \Delta E_m$. Además, entre órbitas circulares $\Delta E_p = 2\Delta E_m$, y de ahí que $W_{campo}$ valga el doble de $|W_{f}|$.

Un satélite de 100 kg decae de 800 km a 500 km de altura

Ahora $r_1 = 7{,}17\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $r_2 = 6{,}87\cdot10^{6}\ \text{m}$, así que $\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1} = 6{,}09\cdot10^{-9}\ \text{m}^{-1}$.

El trabajo del campo es $W_{campo} = 3{,}98\cdot10^{16}\cdot6{,}09\cdot10^{-9} \approx 2{,}42\cdot10^{8}\ \text{J}$ (positivo: se acerca).

La variación de energía mecánica es $\Delta E_m = -\dfrac{G M m}{2}\left(\dfrac{1}{r_2}-\dfrac{1}{r_1}\right) \approx -1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J}$, que es el trabajo de la fricción.

Calcula $\Delta E_c$ con el teorema del trabajo y la energía cinética e interpreta su signo.

Sumamos los dos trabajos: $\Delta E_c = 2{,}42\cdot10^{8}\ \text{J} - 1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J} = +1{,}21\cdot10^{8}\ \text{J}$. La energía cinética aumenta: la mitad de lo que baja $E_p$ se disipa y la otra mitad acelera al satélite.

Practica★☆☆

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$. a)…

Un fragmento de basura espacial desciende lentamente de una órbita de radio $r_1 = 7,17\cdot10^{6}\ \text{m}$ a otra de radio $r_2 = 6,87\cdot10^{6}\ \text{m}$.

a) Razona, sin hacer cálculos, qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el descenso.
b) Indica si su energía potencial aumenta o disminuye y justifícalo con la expresión $E_p = -\frac{G\cdot M\cdot m}{r}$.

Resolver

Caídas y energía de escape

Un meteorito que cae sin atmósfera, ¿con cuánta energía llega? Y al revés, ¿cuánta energía hay que dar para que algo se escape de la Tierra para siempre?

Practica★★★

Reto del tema. ¿Cómo conectar la caída de un objeto con el lanzamiento de satélites? Conviértete en ingeniero de misiones espaciales desde tu casa: 1. Medida casera e…

Reto del tema. ¿Cómo conectar la caída de un objeto con el lanzamiento de satélites? Conviértete en ingeniero de misiones espaciales desde tu casa:

Medida casera e incertidumbre: Deja caer una pelota pequeña desde 5 alturas distintas entre $0,50\text{ m}$ y $2,00\text{ m}$. Registra con el celular (grabando video en cámara lenta y analizándolo fotograma a fotograma) el tiempo de caída (3 repeticiones por altura) asociando su incertidumbre ($\pm \Delta h$, $\pm \Delta t$). Elabora una tabla con los valores medios y grafica $v^2$ frente a $h$ para determinar el valor local de $g$ mediante balance de energía mecánica ($mgh = \frac{1}{2}mv^2$).
Balance energético orbital: Consulta en la web del Instituto Geográfico Militar (IGM) el radio medio terrestre ($R_T = 6371\text{ km}$) y calcula la masa de la Tierra $M_T$ a partir de tu $g$. Determina el trabajo necesario para transferir un nanosatélite de $3,5\text{ kg}$ desde la superficie hasta una órbita circular a $400\text{ km}$ de altitud.
Propuesta razonada y trayectorias: Redacta un informe breve que incluya tabla, gráfica y una discusión teórica: clasifica el tipo de movimiento (órbita elíptica, parábola o hipérbola) según el signo de la energía mecánica total ($E_m < 0$, $E_m = 0$, $E_m > 0$) y calcula la velocidad de escape.

Se valorará:

Rigor en el tratamiento de datos experimentales, estimación de incertidumbres y ajuste gráfico.
Corrección en los balances de energía mecánica y cálculo del trabajo gravitatorio.
Coherencia física al vincular el signo de $E_m$ con la trayectoria y el escape gravitatorio.

Resolver

Viajes interplanetarios

Ir a la Luna o a Marte combina todo lo anterior: subir de una órbita baja a otra muy lejana y, si se puede, escapar de un planeta en etapas.

Practica★☆☆

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética…

Para situar un satélite en cierta órbita se necesita aumentar su energía potencial en $\Delta E_p = 5\cdot10^{9}\ \text{J}$ y, además, comunicarle una energía cinética orbital de $E_c = 4\cdot10^{9}\ \text{J}$.

a) Calcula la energía total que debe suministrar el lanzador.
b) Explica por qué poner un satélite en órbita no consiste solo en «subirlo» hasta esa altura.

Resolver

Dos cuerpos a la vez: Tierra y Luna

Cerca de la Tierra casi no se nota la Luna, pero en medio del trayecto las dos atraen a la nave. ¿Cómo se calcula la energía potencial entonces, y dónde se compensan las atracciones?

Potencial por kilogramo en el punto neutro (d = 3,46×10⁸ m)

La distancia a la Luna es $r_L = 3{,}84\cdot10^{8} - 3{,}46\cdot10^{8} = 3{,}8\cdot10^{7}\ \text{m}$. Con $G M_T = 3{,}98\cdot10^{14}$ y $G M_L = 4{,}90\cdot10^{12}\ \text{m}^3/\text{s}^2$, calculamos cada término.

Tierra: $-\dfrac{3{,}98\cdot10^{14}}{3{,}46\cdot10^{8}} = -1{,}15\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$. Luna: $-\dfrac{4{,}90\cdot10^{12}}{3{,}8\cdot10^{7}} = -1{,}29\cdot10^{5}\ \text{J/kg}$.

Suma los dos términos y comprueba que las aceleraciones $GM/r^2$ de cada cuerpo son casi iguales ahí.

Total: $e \approx -1{,}15\cdot10^{6} - 0{,}129\cdot10^{6} \approx -1{,}28\cdot10^{6}\ \text{J/kg}$. Las aceleraciones son $3{,}32\cdot10^{-3}$ y $3{,}39\cdot10^{-3}\ \text{m/s}^2$: casi iguales, como corresponde al punto neutro. Para una variación de energía entre dos puntos se resta el valor total en cada uno; con la nave sin energía cinética en el punto neutro, desde ahí cae hacia la Luna.

Practica★☆☆

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial. a) Dibuja en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razona qué signo tiene el…

Una sonda se aleja de la Tierra en dirección radial.

a) Dibuja en tu cuaderno la fuerza gravitatoria sobre la sonda y su desplazamiento, y razona qué signo tiene el trabajo realizado por el campo gravitatorio durante el alejamiento.
b) Escribe la relación entre ese trabajo y la variación de energía potencial, $W_{campo} = -\Delta E_p$, y explica su significado.

Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.

Resolver

Vuelve al principio: un satélite como el Pegaso no se queda arriba solo por estar alto: hay que pagar «subir» y «orbitar». Y un satélite que frena por fricción acaba más rápido porque, al bajar, la gravedad hace un trabajo positivo que duplica la energía disipada, así que la mitad de lo que baja $E_p$ pasa a $E_c$.

Resumen

En resumen

Trabajo del campo: $W_{campo} = -\Delta E_p$; positivo si el cuerpo se acerca, negativo si se aleja.
En una órbita circular la fuerza es perpendicular a la velocidad: el trabajo es nulo y $E_c$, $E_p$ y $E_m$ son constantes.
Poner un satélite en órbita cuesta dos partidas: subir ($\Delta E_p$) y orbitar ($E_c$).
Subir de una órbita circular a otra aumenta $E_m$ pero disminuye la rapidez orbital (paradoja del satélite).
En el decaimiento por fricción, el trabajo de la fricción es $\Delta E_m < 0$ y el del campo vale el doble de su valor absoluto: la rapidez aumenta.
Con solo gravedad, $E_m$ se conserva; escapar exige $E_m \ge 0$, y la energía depende de los estados inicial y final, no del camino.
Con dos cuerpos, las energías potenciales se suman; el punto neutro es donde se igualan las atracciones.

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★★★ Reto del tema. ¿Cómo conectar la caída de un objeto con el lanzamiento de satélites?…