Huygens'sches Prinzip in der Wellenwanne

Beschreibungsgrößen und Wellenfronten

In der Wellenwanne erzeugt ein punktförmiger Erreger Kreiswellen, ein langer Balken ebene Wellen. Eine Wellenfront verbindet alle Punkte, die gleichzeitig im gleichen Schwingungszustand sind (z. B. alle Wellenberge). Die Ausbreitungsrichtung steht senkrecht auf den Wellenfronten.

Der Abstand zweier benachbarter Wellenberge ist die Wellenlänge $\lambda$. In einer Periodendauer $T$ läuft die Welle genau um $\lambda$ weiter:

Das Huygens'sche Prinzip

Beobachtung: Trifft eine ebene Welle auf eine kleine Öffnung, läuft dahinter eine Kreiswelle. Daraus folgte Huygens' Idee:

Konstruktion der Wellenfront nach der Zeit $\Delta t$: Man wählt mehrere Punkte der Front, zeichnet um jeden einen Kreis mit Radius $r = c \cdot \Delta t$ und legt die gemeinsame Tangente an alle Kreise.

Reflexion und Brechung

Reflexion

Eine ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel $\alpha$ (gegen das Lot) auf eine Wand. Der Rand der Front erreicht die Wand zuerst und sendet eine Elementarwelle aus, während der Rest der Front noch läuft. Die Einhüllende aller Elementarwellen ist die reflektierte Front. Aus den kongruenten Dreiecken (gleiche Hypotenuse $c\cdot\Delta t$, gemeinsame Seite an der Wand) folgt das Reflexionsgesetz:

Brechung

Läuft die Welle von tiefem in flaches Wasser, wird sie langsamer ($c₂ < c_1$). Die Frequenz bleibt gleich, denn der Erreger legt sie fest und an der Grenze entstehen keine Wellenberge. Also ändert sich die Wellenlänge: $\lambda_1/\lambda_2 = c_1/c_2$.

Der Teil der Front, der die Grenze zuerst erreicht, wird zuerst langsamer. In derselben Zeit $\Delta t$ haben seine Elementarwellen nur den Radius $c_2\cdot\Delta t$, die der noch im Medium 1 laufenden Punkte dagegen $c_1\cdot\Delta t > c_2\cdot\Delta t$. Die Einhüllende ist daher gegen die alte Front geknickt. Aus den beiden rechtwinkligen Dreiecken an der Grenze mit gemeinsamer Hypotenuse $h$ gilt $\sin\alpha = \frac{c_1\Delta t}{h}$ und $\sin\beta = \frac{c_2\Delta t}{h}$. Division ergibt das Brechungsgesetz:

Bei $c₂ < c_1$ ist $\beta < \alpha$: Die Welle wird zum Lot hin gebrochen.

Totalreflexion

Geht die Welle in ein Medium mit größerer Geschwindigkeit ($c_2 > c_1$), wird sie vom Lot weg gebrochen. Für $\beta = 90°$ erreicht man den Grenzwinkel: $\sin\alpha_g = \frac{c_1}{c_2}$. Für größere Winkel gibt es keine gebrochene Welle mehr, sie wird total reflektiert.

Beugung

Trifft eine ebene Welle auf eine Öffnung, wirkt jeder Punkt in der Öffnung als Erreger einer Elementarwelle. Hinter der Öffnung entsteht die Einhüllende dieser Elementarwellen.

• Breite Öffnung ($b \gg \lambda$): Die Mitte bleibt eben, nur an den Rändern biegen die Fronten ab. Es entsteht ein fast geradliniger Strahl mit Schattenbereich.

• Schmale Öffnung ($b \approx \lambda$): Nur eine einzige Elementarwelle ist wirksam, hinter der Öffnung läuft eine nahezu kreisförmige Welle.

Dieses Eindringen in den „Schattenraum" heißt Beugung. Sie ist umso deutlicher, je kleiner $b$ im Vergleich zu $\lambda$ ist.

Schall hat Wellenlängen von etwa $0{,}1$ bis $3\ \text{m}$, vergleichbar mit Türen und Häuserecken: Man hört Verkehr hinter einer Lärmschutzwand. Sichtbares Licht hat $\lambda \approx 500\ \text{nm}$, viel kleiner als Alltagsgegenstände; die Beugung ist dort unmerklich und Schatten sind scharf.

Interferenz zweier Kreiswellen

Zwei gleichphasig schwingende Punkterreger erzeugen zwei Kreiswellen, die sich überlagern (Superposition). An jedem Punkt P entscheidet der Gangunterschied $\Delta s = |s_1 - s_2|$:

Auf der Mittelsenkrechten ist $\Delta s = 0$, dort liegt die nullte Bauchlinie. Zwischen den Bauchlinien verlaufen Knotenlinien, an denen das Wasser ruht.

Zurück zum Anfang: Die Wellen am Rhein laufen hinter einer Lücke in der Kaimauer um die Ecke, weil jeder Punkt der Öffnung eine Elementarwelle aussendet (Beugung). Sie werden reflektiert, weil die Elementarwellen an der Wand eine neue Front bilden, und ändern ihre Richtung im flachen Wasser, weil dort $c$ kleiner ist.

Auf einen Blick