Die Unschärferelation

$1927$ formulierte Heisenberg die Unschärferelation.

1. a) Formulieren Sie sie mit eigenen Worten.
2. b) Welches Größenpaar setzt sie in Beziehung? Schreiben Sie ihren mathematischen Ausdruck auf.
3. c) Erklären Sie, was $\Delta x$ und $\Delta p$ in diesem Ausdruck bedeuten: Was stellt jede Unschärfe dar?

Ein Mitschüler behauptet: „Die Unschärferelation kommt daher, dass unsere Messinstrumente unvollkommen sind; mit besseren Geräten würde sie verschwinden.“

1. a) Erklären Sie, ob diese Aussage richtig ist: Ist die Relation eine technische Einschränkung oder eine grundlegende Eigenschaft der Natur?
2. b) Nennen Sie den Unterschied zwischen der Quantenunschärfe $\Delta x$ und dem gewöhnlichen Messfehler eines Lineals oder einer Stoppuhr.

Gehen Sie vom Ausdruck $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ aus und überlegen Sie ohne Taschenrechner:

1. a) Wenn die Ortsunschärfe halbiert wird, was geschieht dann mit der minimalen Impulsunschärfe?
2. b) Und wenn $\Delta x$ mit zehn multipliziert wird?
3. c) Fassen Sie den Zusammenhang zwischen beiden Unschärfen zusammen: Können beide gleichzeitig beliebig klein sein?

Ein Schüler schreibt in einer Klausur: „Mit einem perfekten Messgerät könnte ich Ort und Impuls eines Elektrons gleichzeitig beliebig genau kennen; die Unschärferelation spiegelt nur die schlechte Qualität der heutigen Geräte wider.“ Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Benennen Sie den begrifflichen Fehler der Aussage und korrigieren Sie sie.
2. b) Stützen Sie sich auf Zahlen: Wenn das „perfekte Instrument“ die Ortsmessung von $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ auf $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$ verbessert, berechnen Sie, um welchen Faktor die minimale Impulsunschärfe zunimmt.
3. c) Gibt es einen Wert von $\Delta x$, für den $\Delta p$ aufhört zu wachsen oder null werden kann? Begründen Sie anhand des Ausdrucks $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Ein Elektron ist in einem Bereich der Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (der Größe eines Atoms) eingeschlossen. Die Unschärferelation lautet $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ mit $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Unschärfe seines Impulses $\Delta p$.
2. b) Wäre das Elektron in einem zehnmal kleineren Bereich eingeschlossen, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, wie groß wäre $\Delta p$? Begründen Sie die Proportionalität.

Ein Elektron ist in einem Atom der Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ eingeschlossen. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Unschärfe seines Impulses $\Delta p$.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) Die typische Geschwindigkeit des Elektrons im Atom liegt in der Größenordnung von $10^{6}\ \text{m/s}$ (gegeben): Vergleichen Sie $\Delta v$ mit dieser Geschwindigkeit und erklären Sie, warum es nicht sinnvoll ist, dem Elektron eine genaue Bahn zuzuordnen.

Ein Elektron und ein Proton sind jeweils in einem Bereich gleicher Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ eingeschlossen. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ und $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Welches der beiden Teilchen hat die größere minimale Impulsunschärfe? Begründen Sie anhand der Formel: Kommt die Masse darin vor?
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsunschärfe jedes Teilchens.
3. c) Erklären Sie, warum die Masse keinen Einfluss auf $\Delta p$, wohl aber auf $\Delta v$ hat, und welche Folge das für das schwerere Teilchen hat.

Ein Fußball bewegt sich über das Spielfeld und unterliegt im Prinzip ebenfalls der Unschärferelation.

1. a) Erklären Sie anhand des Wertes von $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, warum die Relation für Alltagsgegenstände keine praktischen Folgen hat.
2. b) Welche zwei Eigenschaften makroskopischer Objekte (Masse und Größe) führen dazu, dass die Quantenunschärfen gegenüber den gewöhnlichen Messungen vernachlässigbar sind?

Eine Gewehrkugel von $10\ \text{g}$ durchquert einen Detektor, der ihren Ort mit einer Unschärfe $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$ bestimmt. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe der Kugel.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe ihrer Geschwindigkeit.
3. c) Die Kugel hat eine Geschwindigkeit von $400\ \text{m/s}$: Berechnen Sie den Quotienten $\frac{\Delta v}{v}$ und folgern Sie, ob die Quantenunschärfe bei dieser Messung merklich ist.

Wir schließen im selben Bereich $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$ ein Staubkorn von $10^{-15}\ \text{kg}$ und ein Elektron ein. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe: Ist sie für beide gleich? Begründen Sie.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsunschärfe des Staubkorns und die des Elektrons.
3. c) Begründen Sie anhand der Ergebnisse, welche Größe entscheidet, ob Quanteneffekte für ein Objekt relevant sind: die Größe des Einschlusses, die Masse oder beide.
4. d) Extrapolieren Sie: Erklären Sie, warum in keinem Laborexperiment jemals eine merkliche Quantenunschärfe bei mit bloßem Auge sichtbaren Objekten beobachtet wurde.

In der klassischen Mechanik folgt ein Teilchen einer Bahn: In jedem Augenblick hat es einen genau bestimmten Ort und eine genau bestimmte Geschwindigkeit. In der Quantenmechanik spricht man dagegen von Wahrscheinlichkeiten und Orbitalen.

1. a) Erklären Sie mithilfe der Unschärferelation, warum der Begriff einer exakten Bahn für ein Elektron seinen Sinn verliert.
2. b) Welche Information liefert ein Orbital über das Elektron anstelle seiner Bahn?
3. c) Setzen Sie das Obige in Beziehung zum Übergang vom bohrschen Atommodell (Bahnen) zum heutigen quantenmechanischen Modell (Orbitale).

Vor der Entdeckung des Neutrons nahm man an, der Atomkern könne Elektronen enthalten. Prüfen Sie mithilfe der Unschärferelation, was geschähe, wenn ein Elektron in einem Kern der Größe $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$ eingeschlossen wäre. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ und $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe des Elektrons.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit.
3. c) Vergleichen Sie $\Delta v$ mit der Lichtgeschwindigkeit und ziehen Sie die Schlussfolgerung: Kann ein Elektron stabil im Kern eingeschlossen sein?

Mit der Unschärferelation lässt sich die minimale Energie eines eingeschlossenen Teilchens abschätzen: Liegt der Impuls in der Größenordnung von $\Delta p$, so liegt seine kinetische Energie in der Größenordnung von $E_{\text{kin}} \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ und $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Schätzen Sie die minimale kinetische Energie eines in einem Atom eingeschlossenen Elektrons $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ ab und geben Sie sie in Elektronenvolt an. Vergleichen Sie sie mit den typischen Energien chemischer Bindungen von einigen wenigen Elektronenvolt (gegeben).
2. b) Schätzen Sie die minimale kinetische Energie eines in einem Kern eingeschlossenen Protons $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$ ab und geben Sie sie in $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$) an.
3. c) Folgern Sie: Erklären Sie, wie die Unschärferelation begründet, dass die Energien kernphysikalischer Prozesse millionenfach größer sind als die atomarer Prozesse.

Die newtonsche Mechanik ist deterministisch: Sind zu einem Zeitpunkt Ort und Impuls aller Teilchen eines Systems exakt bekannt, sagen die Bewegungsgleichungen seine gesamte Zukunft voraus. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Argumentieren Sie mit der Unschärferelation, dass dieser „exakte Anfangszustand“ nicht existieren kann: Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe eines Elektrons, dessen Ort mit $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ bekannt wäre, und die zugehörige Geschwindigkeitsunschärfe.
2. b) Wenn der Anfangszustand nicht exakt bekannt sein kann, welche Art von Vorhersagen trifft die Quantenphysik über das Ergebnis einer Messung?
3. c) Erklären Sie, warum die newtonsche Mechanik trotzdem für einen Ball, ein Auto oder einen Planeten so gut funktioniert, indem Sie sich auf den Wert von $h$ und auf die Massen dieser Objekte stützen.