Auswertung von Öltröpfchen-Messungen
Ist elektrische Ladung beliebig teilbar, oder gibt es ein kleinstes „Ladungsportion“? Robert Millikan hat diese Frage 1910 bis 1913 mit winzigen Öltröpfchen beantwortet. Sie werten hier Messwerte eines solchen Versuchs aus, wie sie im Physikunterricht oder in der Schulsammlung erzeugt oder simuliert werden, und entscheiden am Ende selbst, was die Daten aussagen.
Aufbau und Schwebebedingung
Ein Zerstäuber sprüht feine Öltröpfchen in den Raum zwischen zwei horizontale Kondensatorplatten (Abstand $d$). Beim Zerstäuben laden sich die Tröpfchen durch Reibung auf. Mit einem Mikroskop beobachtet man ein einzelnes Tröpfchen. Die obere Platte hat Verbindung zum einen, die untere zum anderen Pol der Spannungsquelle (hier: oben positiv).
Das Tröpfchen schwebt, wenn die elektrische Kraft nach oben die Gewichtskraft nach unten genau ausgleicht. Dann ist die Gesamtkraft null, das Tröpfchen bleibt in Ruhe (1. newtonsches Gesetz).
Warum so? $E = F/q$ ist die Definition der Feldstärke. Auf die Ladung $q$ wirkt im Feld die Kraft $F_{el} = q \cdot E$. Das Feld muss also so gerichtet sein, dass diese Kraft nach oben zeigt. Bei positiver Ladung zeigt das Feld nach oben, die untere Platte ist dann positiv. Ist die obere Platte positiv, muss die Ladung negativ sein.
Beschreiben Sie in vier bis fünf Sätzen den Aufbau des vereinfachten Millikan-Versuchs. Nennen Sie dabei: a) die Bauteile (Kondensator, Zerstäuber, Mikroskop,…
Beschreiben Sie in vier bis fünf Sätzen den Aufbau des vereinfachten Millikan-Versuchs. Nennen Sie dabei:
- a) die Bauteile (Kondensator, Zerstäuber, Mikroskop, Spannungsquelle),
- b) die Kräfte, die auf ein schwebendes Öltröpfchen wirken, mit ihren Richtungen.
Beim vereinfachten Millikan-Versuch schwebt ein geladenes Öltröpfchen zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten im Abstand $d = 5,0\ \text{mm}$. Die angelegte…
Beim vereinfachten Millikan-Versuch schwebt ein geladenes Öltröpfchen zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten im Abstand $d = 5,0\ \text{mm}$. Die angelegte Spannung beträgt $U = 400\ \text{V}$. Die Gewichtskraft des Tröpfchens beträgt $F_G = 6,4 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $E = \frac{U}{d}$ zwischen den Platten.
- b) Begründen Sie, warum im Schwebezustand $F_{el} = F_G$ gilt, und berechnen Sie die Ladung $q = \frac{F_G}{E}$ des Tröpfchens.
In einer Schulsammlung in Göttingen schwebt ein Öltröpfchen der Masse $m = 6,5 \cdot 10^{-16}\ \text{kg}$ in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand…
In einer Schulsammlung in Göttingen schwebt ein Öltröpfchen der Masse $m = 6,5 \cdot 10^{-16}\ \text{kg}$ in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand $d = 6,0\ \text{mm}$ bei der Spannung $U = 245\ \text{V}$. Verwenden Sie $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Berechnen Sie die Ladung $q$ des Tröpfchens.
- b) Bestimmen Sie, wie viele Elementarladungen ($e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) dies entspricht.
- c) Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ladung, wenn die obere Platte positiv geladen ist.
Masse und Sinkgeschwindigkeit
Die Masse eines Tröpfchens kann man nicht wiegen. Man bestimmt sie indirekt: Bei ausgeschaltetem Feld sinkt das Tröpfchen. Die Luftreibung wächst mit der Geschwindigkeit, bis sie die Gewichtskraft (abzüglich Auftrieb) ausgleicht. Dann sinkt es mit konstanter Geschwindigkeit $v$.
Für kleine Kugeln gilt die Stokes'sche Reibungskraft $F_R = 6\pi \cdot \eta \cdot r \cdot v$ ($\eta$: Viskosität der Luft, $r$: Radius). Aus gemessenem $v$ folgt der Radius $r$, daraus mit $m = \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3$ die Masse. So kommt man im Prinzip zu $F_G$, ohne das Tröpfchen zu wiegen.
Rechnet die Aufgabe direkt mit der gegebenen Kraft $F$ (Gewichtskraft abzüglich Auftrieb), brauchen Sie nur $q = F/E$. Kennen Sie Dichte und Radius, ist
$$m = \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi r^3, \qquad q = \frac{m \cdot g}{E}.$$Ein Öltröpfchen sinkt im ausgeschalteten Feld mit konstanter Geschwindigkeit $v = 0,12\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$. Bei eingeschaltetem Feld (…
Ein Öltröpfchen sinkt im ausgeschalteten Feld mit konstanter Geschwindigkeit $v = 0,12\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$. Bei eingeschaltetem Feld ($E = 5,0 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$) schwebt es. Die Gewichtskraft (abzüglich Auftrieb) beträgt $F = 4,0 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie die Ladung des Tröpfchens.
- b) Erklären Sie, warum die Sinkgeschwindigkeit ohne Feld zur Bestimmung der Tröpfchenmasse genutzt werden kann (Stokes'sche Reibung).
- c) Berechnen Sie die Zahl der Überschusselektronen.
Ein Öltröpfchen (Dichte $\rho = 870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, Radius $r = 0,50\ \mu\text{m}$) schwebt in einem Feld…
Ein Öltröpfchen (Dichte $\rho = 870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, Radius $r = 0,50\ \mu\text{m}$) schwebt in einem Feld $E = 1,4 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$. Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen. $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Berechnen Sie die Masse des Tröpfchens ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$).
- b) Berechnen Sie die Ladung und die Anzahl der Elementarladungen.
- c) Bewerten Sie, wie sich ein Fehler von 5 % im Radius auf den ermittelten Wert von $n$ auswirkt, und begründen Sie, ob $n$ dennoch eindeutig bestimmbar ist.
Ladungen auswerten: Die Elementarladung
Millikan maß die Ladung vieler Tröpfchen. Die Werte waren nicht beliebig, sondern ganzzahlige Vielfache eines kleinsten Werts. Das ist der Kern des Schlusses auf die Existenz einer kleinsten Ladung, der Elementarladung $e$.
Vorgehen bei einer Messreihe:
-
Werte der Größe nach ordnen.
-
Differenzen benachbarter Werte bilden. Sie sind (etwa) ganzzahlige Vielfache derselben Größe, nämlich $e$ oder ein Vielfaches davon.
-
Die kleinste Differenz bzw. den kleinsten Wert als Schätzwert für $e$ nehmen und jedem Wert ein ganzzahliges $n$ zuordnen.
-
$e$ verbessern: Quotienten $q/n$ bilden und mitteln.
Ein Öltröpfchen trägt die Ladung $q = 4,8 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Die Elementarladung beträgt $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. a) Berechnen Sie, wie viele…
Ein Öltröpfchen trägt die Ladung $q = 4,8 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Die Elementarladung beträgt $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.
- a) Berechnen Sie, wie viele Elementarladungen das Tröpfchen trägt, $n = \frac{q}{e}$.
- b) Das Tröpfchen nimmt zusätzlich zwei Elektronen auf. Geben Sie die neue Ladung an, wenn die Ausgangsladung positiv war.
Bei fünf Öltröpfchen wurden im Schwebeversuch folgende Ladungen bestimmt: | Tröpfchen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | $q$ in $10^{-19}\ \text{C}$ | 3,2…
Bei fünf Öltröpfchen wurden im Schwebeversuch folgende Ladungen bestimmt:
| Tröpfchen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $q$ in $10^{-19}\ \text{C}$ | 3,2 | 8,0 | 4,8 | 11,2 | 6,4 |
- a) Berechnen Sie die Differenzen benachbarter, der Größe nach geordneter Ladungswerte.
- b) Schätzen Sie daraus die kleinste Ladung ab.
- c) Geben Sie für jedes Tröpfchen die Anzahl $n$ der Elementarladungen an.
Bei einem Millikan-Versuch wurden folgende Ladungen gemessen (in $10^{-19}\ \text{C}$): 4,81; 9,60; 6,43; 14,45; 8,02; 11,22; 3,19; 12,86. a) Ordnen Sie die Werte und…
Bei einem Millikan-Versuch wurden folgende Ladungen gemessen (in $10^{-19}\ \text{C}$): 4,81; 9,60; 6,43; 14,45; 8,02; 11,22; 3,19; 12,86.
- a) Ordnen Sie die Werte und berechnen Sie die Differenzen aufeinanderfolgender Werte.
- b) Begründen Sie, dass die Messwerte auf eine kleinste Ladung hindeuten, und bestimmen Sie diese durch Mittelung der Quotienten $q/n$ mit sinnvoll gewählten ganzen Zahlen $n$.
- c) Erläutern Sie, warum aus endlich vielen Messwerten nur auf die Existenz einer kleinsten Ladung geschlossen, sie aber nicht bewiesen werden kann.
Statistik und Grenzen des Schlusses
Echte Messwerte streuen. Ein Histogramm zeigt, wie viele Tröpfchen in welchem Ladungsbereich liegen. Wären alle Ladungen möglich, sähe man eine gleichmäßige Verteilung. Gibt es eine kleinste Ladung, erscheinen Häufungen bei $e, 2e, 3e, \dots$ mit Lücken dazwischen.
Die Methode funktioniert nur, wenn die Streuung $\Delta q$ deutlich kleiner als der Abstand $e$ der Häufungen ist. Gilt etwa $\Delta q \gtrsim e/2$, verschwimmen benachbarte Häufungen, und die Lücken sind nicht mehr zu erkennen. Bei größerem $n$ wächst zudem der relative Fehler, daher unterscheidet man dort $n$ und $n+1$ schlechter. Tröpfchen mit $q = e$ sind schwer zu finden: Sie schweben nur bei kleinen Spannungen, und ihre Bewegung ist durch Luftbewegung und Brownsche Bewegung stark gestört.
Zurück zum Anfang: Die Frage, ob Ladung beliebig teilbar ist, beantworten die Daten mit „nein, die Messwerte sind Vielfache von $e$“. Als endgültiger Beweis taugt das aber nicht.
Ein Schüler behauptet: „Wenn die gemessenen Ladungen beliebige Werte hätten, könnte man das im Histogramm sofort erkennen.“ Gemessen wurden 40 Tröpfchen; die Ladungen…
Ein Schüler behauptet: „Wenn die gemessenen Ladungen beliebige Werte hätten, könnte man das im Histogramm sofort erkennen.“ Gemessen wurden 40 Tröpfchen; die Ladungen häufen sich bei $1,6$; $3,2$; $4,8$; $6,4$ und $8,0$ (jeweils in $10^{-19}\ \text{C}$) mit Streuung von etwa $\pm 0,2$.
- a) Skizzieren Sie in Worten das erwartete Histogramm und vergleichen Sie es mit dem Histogramm bei kontinuierlich verteilter Ladung.
- b) Beurteilen Sie, ab welcher Messunsicherheit die Methode scheitern würde (Argument über den Abstand $e$ und die Streuung).
- c) Erklären Sie, warum Tröpfchen mit $q = e$ schwer zu messen sind.