Abhängigkeiten der Schwingungsdauer beim Federpendel
Auf dem Spielplatz im Kölner Grüngürtel schaukeln ein Kind und ein Erwachsener nebeneinander. Obwohl der Erwachsene viel schwerer ist, schwingen beide etwa gleich schnell. Bei einem Federpendel im Physikraum ist das ganz anders: Hängen Sie eine größere Masse an, wird die Schwingung deutlich langsamer. Wovon hängt die Schwingungsdauer eines Federpendels ab, und wovon nicht? Das untersuchen Sie in diesem Abschnitt experimentell. Am Ende können Sie die Antwort mit einer Messreihe belegen.
Das Experiment planen
Ein Federpendel besteht aus einer Schraubenfeder mit der Federkonstante $D$ und einem Körper der Masse $m$. Wird der Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt und losgelassen, schwingt er um diese Lage. Die größte Auslenkung heißt Amplitude $\hat y$. Die Zeit für eine vollständige Schwingung ist die Periodendauer (Schwingungsdauer) $T$, die Frequenz ist $f = \frac{1}{T}$.
Als Einflussgrößen auf $T$ kommen infrage: die Masse $m$, die Federkonstante $D$ und die Amplitude $\hat y$. Man ändert in jeder Messreihe genau eine Größe und hält die beiden anderen konstant (Kontrolle der Variablen).
| Messreihe | variiert | konstant gehalten | Messgröße |
|---|---|---|---|
| 1 | $m$ | $D$, $\hat y$ | $T$ |
| 2 | $D$ (andere Feder) | $m$, $\hat y$ | $T$ |
| 3 | $\hat y$ | $m$, $D$ | $T$ |
Die Zeit messen Sie nicht für eine einzige Schwingung, sondern für etwa $10$ oder $20$ Schwingungen und teilen dann durch die Anzahl. Der Reaktionsfehler beim Start und Stopp der Uhr (etwa $0{,}2\,\mathrm{s}$) fällt dann pro Schwingung viel weniger ins Gewicht. Genauer geht es mit einem Ultraschall-Abstandssensor, der $y(t)$ aufzeichnet; eine Sinusanpassung am Rechner liefert $T$ und $\hat y$ direkt.
Beschreiben Sie, wie man im Schullabor die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse untersucht. Nennen Sie die Messgrößen, die konstant gehalten werden müssen,…
Beschreiben Sie, wie man im Schullabor die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse untersucht. Nennen Sie die Messgrößen, die konstant gehalten werden müssen, und eine Möglichkeit, den Messfehler der Zeit zu verkleinern.
Schwingungsdauer und Masse: T² ∼ m
Probieren Sie es zuerst im Interaktiv aus: Ändern Sie die Masse und beobachten Sie $T$.
Eine Messreihe mit $D = 10\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$ liefert:
| $m$ in kg | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 |
|---|---|---|---|---|
| $T$ in s | 0,63 | 0,89 | 1,09 | 1,26 |
| $T^2$ in s² | 0,40 | 0,79 | 1,19 | 1,59 |
Vervierfacht man die Masse (von $0{,}1$ auf $0{,}4\,\mathrm{kg}$), so verdoppelt sich $T$ ungefähr. Das passt nicht zu „$T \sim m$“, wohl aber zu $T \sim \sqrt{m}$, also $T^2 \sim m$. Trägt man $T^2$ gegen $m$ auf, liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden.
Die Steigung der Geraden ist $\frac{T^2}{m} = \frac{4\pi^2}{D}$. Daraus erhält man die Federkonstante:
$$D = \frac{4\pi^2}{\text{Steigung}}$$Bei einem Federpendel wird die Masse vervierfacht. a) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert. b) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn die…
Bei einem Federpendel wird die Masse vervierfacht.
- a) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert.
- b) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn die Amplitude verdoppelt wird.
Bei einem Federpendel wurde gemessen: | $m$ in g | 100 | 200 | 300 | 400 | |---|---|---|---|---| | $T$ in s | 0,41 | 0,58 | 0,71 | 0,82 | a) Berechnen Sie $T^2$ für jede…
Bei einem Federpendel wurde gemessen:
| $m$ in g | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| $T$ in s | 0,41 | 0,58 | 0,71 | 0,82 |
- a) Berechnen Sie $T^2$ für jede Masse.
- b) Zeigen Sie, dass $T^2 \sim m$ gilt.
- c) Berechnen Sie aus der Steigung die Federkonstante $D = \frac{4\pi^2}{\text{Steigung}}$ (Steigung in $\text{s}^2/\text{kg}$).
Die Formel und der Einfluss von D und ŷ
Die Messreihen zu $m$, $D$ und $\hat y$ führen zusammen auf das Gesetz
Der Grund: Die Rückstellkraft der Feder ist nach dem Hooke'schen Gesetz $F = -D\cdot y$. Eine größere Masse beschleunigt bei gleicher Kraft weniger ($a = F/m$), also dauert eine Schwingung länger. Eine härtere Feder (größeres $D$) zieht stärker zurück, also schwingt das Pendel schneller. Bei größerer Amplitude ist die Kraft zwar größer, aber auch der Weg länger. Beides hebt sich genau auf, solange $F \sim y$ gilt, also solange die Feder im elastischen Bereich bleibt.
Damit gilt auch: $T \sim \sqrt{m}$ und $T \sim \frac{1}{\sqrt{D}}$. Trägt man $T$ gegen $\frac{1}{\sqrt{D}}$ auf, erhält man eine Ursprungsgerade.
Zusammengeschaltete Federn
Zwei Federn lassen sich wie eine Feder mit einer Ersatzfederkonstante behandeln:
-
Parallelschaltung: $D_\text{ges} = D_1 + D_2$ (beide Federn teilen sich die Kraft, die Anordnung ist härter).
-
Reihenschaltung: $\dfrac{1}{D_\text{ges}} = \dfrac{1}{D_1} + \dfrac{1}{D_2}$ (die Dehnungen addieren sich, die Anordnung ist weicher).
Elongation, Geschwindigkeit, Beschleunigung
Startet das Pendel in der Gleichgewichtslage nach oben, gilt mit $\omega = \frac{2\pi}{T}$:
$$y(t) = \hat y\cdot\sin(\omega t), \qquad v_\text{max} = \hat y\cdot\omega, \qquad a_\text{max} = \hat y\cdot\omega^2$$Die Geschwindigkeit ist am größten beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage, die Beschleunigung in den Umkehrpunkten.
Ein Federpendel mit der Federkonstante $D = 20\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ trägt die Masse $m = 0,50\ \text{kg}$. a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer…
Ein Federpendel mit der Federkonstante $D = 20\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ trägt die Masse $m = 0,50\ \text{kg}$.
- a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$.
- b) Berechnen Sie die Frequenz.
Zwei Federn mit $D_1 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ und $D_2 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ werden einmal parallel und einmal hintereinander an dieselbe Masse…
Zwei Federn mit $D_1 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ und $D_2 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ werden einmal parallel und einmal hintereinander an dieselbe Masse $m = 0,40\ \text{kg}$ geschaltet.
- a) Berechnen Sie die Ersatzfederkonstanten.
- b) Berechnen Sie die jeweiligen Schwingungsdauern.
Ein Federpendel mit $T = 0,80\ \text{s}$ wird mit der Amplitude $\hat y = 5,0\ \text{cm}$ gestartet. a) Geben Sie $y(t)$ an (Start in der Gleichgewichtslage nach oben).…
Ein Federpendel mit $T = 0,80\ \text{s}$ wird mit der Amplitude $\hat y = 5,0\ \text{cm}$ gestartet.
- a) Geben Sie $y(t)$ an (Start in der Gleichgewichtslage nach oben).
- b) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Für ein Federpendel soll die Abhängigkeit $T(D)$ bei konstanter Masse $m = 0,30\ \text{kg}$ untersucht werden. Gemessen:…
Für ein Federpendel soll die Abhängigkeit $T(D)$ bei konstanter Masse $m = 0,30\ \text{kg}$ untersucht werden. Gemessen: $D = 5,0;\ 10;\ 20;\ 40\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ mit $T = 1,54;\ 1,09;\ 0,77;\ 0,54\ \text{s}$.
- a) Prüfen Sie rechnerisch, ob $T \sim \frac{1}{\sqrt D}$ gilt.
- b) Beschreiben Sie, welche Auftragung ($T$ gegen was) eine Ursprungsgerade liefert.
- c) Begründen Sie, warum die Amplitude die Schwingungsdauer nicht beeinflusst, und nennen Sie die Voraussetzung dafür.
Energie, Dämpfung und Federmasse: Grenzen des Modells
Ohne Reibung bleibt die Gesamtenergie erhalten. In den Umkehrpunkten steckt sie ganz in der Spannenergie, in der Gleichgewichtslage ganz in der Bewegungsenergie:
$$E_\text{ges} = \tfrac{1}{2}\,D\,\hat y^2 = \tfrac{1}{2}\,m\,v_\text{max}^2$$Beispiel: $D = 12\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}$, $\hat y = 5{,}0\,\mathrm{cm}$ ergibt $E_\text{ges} = \frac12\cdot 12\cdot 0{,}050^2\,\mathrm{J} = 0{,}015\,\mathrm{J}$.
Dämpfung
Im realen Versuch wird die Schwingung durch Luftreibung und innere Reibung der Feder gedämpft. Im $y$-$t$-Diagramm sieht man das daran, dass die Amplituden von Schwingung zu Schwingung kleiner werden. Die Nulldurchgänge liegen bei schwacher Dämpfung weiterhin fast im gleichen Abstand, $T$ ändert sich also kaum merklich. Die Gesamtenergie nimmt dagegen ab ($E \sim \hat y^2$).
Masse der Feder
Auch die Feder selbst schwingt mit. Genauer gilt
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}}, \qquad\text{also}\qquad T^2 = \frac{4\pi^2}{D}\,m + \frac{4\pi^2\,m_F}{3D}.$$Im $T^2$-$m$-Diagramm ist das eine Gerade mit der Steigung $\frac{4\pi^2}{D}$ und einem positiven Achsenabschnitt auf der $T^2$-Achse. Dieser Achsenabschnitt verrät die Federmasse. Ist $m \gg m_F/3$, kann man $m_F$ vernachlässigen.
Zurück zum Anfang: Auch die Schaukel hat ein Ergebnis, das nicht von der Masse abhängt. Das gilt dort für das Fadenpendel, nicht für das Federpendel. Beim Federpendel hängt $T$ von $m$ und $D$ ab, nicht von der Amplitude.
Mit einem Ultraschall-Abstandssensor und einem Rechner wird $y(t)$ eines vertikalen Federpendels aufgezeichnet. Für $m = 0,250\ \text{kg}$ ergibt die Sinusanpassung…
Mit einem Ultraschall-Abstandssensor und einem Rechner wird $y(t)$ eines vertikalen Federpendels aufgezeichnet. Für $m = 0,250\ \text{kg}$ ergibt die Sinusanpassung $T = 0,70\ \text{s}$ und $\hat y = 4,2\ \text{cm}$. Die Federmasse wird vernachlässigt.
- a) Berechnen Sie $D$.
- b) Berechnen Sie die Gesamtenergie der Schwingung.
- c) Die Messung wird für größere Zeiten leicht gedämpft. Beschreiben Sie, wie sich das im Diagramm zeigt, und beurteilen Sie, ob $T$ merklich beeinflusst wird.
Die Masse der Feder $m_F$ wird oft vernachlässigt; genauer gilt $T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}}$. Ein Versuch liefert für $m = 0,100\ \text{kg}$:…
Die Masse der Feder $m_F$ wird oft vernachlässigt; genauer gilt $T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}}$. Ein Versuch liefert für $m = 0,100\ \text{kg}$: $T = 0,640\ \text{s}$ und für $m = 0,300\ \text{kg}$: $T = 1,030\ \text{s}$.
- a) Bestimmen Sie $D$ und $m_F$ aus den beiden Messungen.
- b) Beurteilen Sie, bei welchen Massen die Vernachlässigung von $m_F$ zulässig ist.
- c) Beschreiben Sie, wie sich der Achsenabschnitt im $T^2$-$m$-Diagramm deuten lässt.