Die Energie bei Schwingungen

Ein Körper schwingt waagerecht an einer Feder reibungsfrei zwischen den Positionen $x = -A$ und $x = +A$. Die Abbildung zeigt das Federpendel mit den markierten Positionen.

1. a) An welcher Position bzw. welchen Positionen ist die Spannenergie maximal?
2. b) An welcher Position ist die kinetische Energie maximal?
3. c) An welchen Positionen ist die kinetische Energie null? Begründen Sie Ihre Antworten mit den Formeln $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ und $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Die Wippen und der Bogen eines Sportbogens verhalten sich zusammen wie eine Feder mit der Ersatzfederkonstante $k = 300\ \text{N/m}$. Beim Spannen wird die Sehne um $x = 0,1\ \text{m}$ ausgezogen. Berechnen Sie die gespeicherte Spannenergie, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

Die mechanische Energie eines Federpendels ist $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, wobei $A$ die Amplitude ist. Im Labor hat ein Federpendel $k = 200\ \text{N/m}$ und schwingt mit der Amplitude $A = 0,05\ \text{m}$. Berechnen Sie seine mechanische Energie.

Ein Wagen der Masse $m = 0,5\ \text{kg}$, der an einer Feder befestigt ist, passiert die Gleichgewichtslage mit einer Geschwindigkeit von $2\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie seine kinetische Energie an dieser Stelle.
2. b) Wie groß ist an dieser Stelle seine Spannenergie? Und seine mechanische Energie? Begründen Sie.

Die Membran eines Lautsprechers lässt sich als Federpendel mit der Masse $m = 0,4\ \text{kg}$ und der effektiven Federkonstante $k = 250\ \text{N/m}$ modellieren, das mit der Amplitude $A = 0,08\ \text{m}$ schwingt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie der Schwingung.
2. b) Diese gesamte Energie ist beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage kinetisch: Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit der Membran.
3. c) Prüfen Sie, dass sie mit dem Wert übereinstimmt, den der Ausdruck $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$ liefert.

Ein Federpendel hat die konstante mechanische Energie $E_m$.

1. a) Beschreiben Sie, wie die Spannenergie $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ mit der Position variiert: Welche Form hat ihr Graph über $x$ zwischen $-A$ und $+A$?
2. b) Die kinetische Energie an jedem Punkt ist $E_c = E_m - E_p$. Beschreiben Sie, wie $E_c$ mit der Position variiert.
3. c) Was stellt der Punkt dar, in dem sich die Graphen von $E_c$ und $E_p$ schneiden? Zeichnen Sie in Ihr Heft die drei Graphen ($E_p$, $E_c$ und $E_m$) in Abhängigkeit von der Position.

Sie können es auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Ein Wagen der Masse $m = 0,5\ \text{kg}$ schwingt reibungsfrei auf einem Tisch an einer Feder $k = 400\ \text{N/m}$ mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$. Die Abbildung zeigt, wie sich die Energie des Pendels in Abhängigkeit von der Position aufteilt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie des Pendels, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Berechnen Sie die Spannenergie bei der Elongation $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Berechnen Sie die kinetische Energie an demselben Punkt und daraus die Geschwindigkeit des Wagens.

Ein Federpendel hat $k = 100\ \text{N/m}$ und schwingt mit der Amplitude $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie und die Spannenergie an den Punkten $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ und $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Berechnen Sie die kinetische Energie an denselben drei Punkten.
3. c) Zeichnen Sie mit diesen Werten in Ihr Heft die Graphen von $E_p(x)$, $E_c(x)$ und $E_m(x)$ zwischen $-A$ und $+A$ und beschreiben Sie sie: Form jeder Kurve, Schnittpunkte mit den Achsen und Schnittpunkt von $E_p$ und $E_c$.
4. d) Berechnen Sie die genaue Position, an der sich die Graphen von $E_p$ und $E_c$ schneiden.

Sie können es auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Die Stahlkugel eines Abrissbaggers hängt an einem Seil der Länge $l = 2\ \text{m}$ und wird aus der Ruhe losgelassen, wenn das Seil einen Winkel von $60^\circ$ mit der Senkrechten bildet (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Die Höhe, um die sie bezogen auf den tiefsten Punkt absinkt, ist $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. Die Situation zeigt die Abbildung.

1. a) Berechnen Sie diese Höhe $h$.
2. b) Wenden Sie die Energieerhaltung $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ an und berechnen Sie die Geschwindigkeit der Kugel im tiefsten Punkt.
3. c) Hängt diese Geschwindigkeit von der Masse der Kugel ab? Begründen Sie.

Die Trommel einer Waschmaschine schwingt beim Schleudern mit einer mechanischen Energie von $1,44\ \text{J}$. Die Stoßdämpfer, die sie halten, verhalten sich wie eine Feder mit der effektiven Federkonstante $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Lösen Sie die Formel $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$ nach der Amplitude auf.
2. b) Berechnen Sie die Amplitude der Schwingung in Metern und geben Sie sie auch in Zentimetern an.

Ein reales Federpendel mit Reibung verliert in jedem Zyklus $10\ \%$ seiner mechanischen Energie. Es startet mit der Anfangsenergie $E_0 = 2\ \text{J}$. Die Abbildung zeigt, wie die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt.

1. a) Berechnen Sie die mechanische Energie, die nach $5$ Zyklen übrig bleibt.
2. b) Berücksichtigen Sie, dass $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$ gilt, die Energie also proportional zum Quadrat der Amplitude ist. Berechnen Sie, um welchen Faktor die Amplitude nach diesen $5$ Zyklen abgenommen hat.
3. c) In welche Energieform wurde die verlorene Energie umgewandelt? Erklären Sie, warum sich die Periodendauer der Schwingung dennoch kaum ändert, obwohl die Amplitude abnimmt (Hinweis: Von welchen Größen hängt $T$ ab?).