Hall-Sonde und Leiterschaukel
Im Physikraum liegt ein Hufeisenmagnet, daneben ein kleiner Neodym-Magnet aus dem Fahrradtacho von Lena. Welcher von beiden ist „stärker“? Dafür brauchen Sie eine Messgröße und ein Messverfahren: Die magnetische Flussdichte $B$ ist die Messgröße. In diesem Apartment lernen Sie zwei Verfahren, sie zu bestimmen: die Leiterschaukel (Kraftmessung) und die Hall-Sonde (Spannungsmessung). Am Ende beantworten wir, welches Verfahren wann besser geeignet ist.
Die Leiterschaukel: B über die Kraft auf einen Leiter
Ein Magnetfeld sieht man nicht, aber man spürt seine Wirkung: Auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkt eine Kraft. Genau darauf beruht die Definition von $B$.
Ein gerades Leiterstück der Länge $\ell$ im Feld (senkrecht zu den Feldlinien) führe den Strom $I$. Dann wirkt auf den Leiter die Kraft $F$. Experimentell findet man: $F$ ist proportional zu $I$ und proportional zu $\ell$. Der Quotient hängt also nur vom Feld ab.
Die Kraft auf den Leiter ist die Summe der Lorentzkräfte auf die einzelnen bewegten Ladungsträger. Für eine Ladung $q$ mit Geschwindigkeit $v \perp B$ gilt $F_L = q \cdot v \cdot B$. Daraus folgt dieselbe Einheit: $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{\frac{N}{C \cdot m/s}} = 1\,\mathrm{\frac{N}{A \cdot m}}$.
Die Richtung der Kraft folgt aus der Drei-Finger-Regel (UVW, rechte Hand, technische Stromrichtung): Daumen = Ursache (Stromrichtung), Zeigefinger = Vermittlung (Feldrichtung von Nord nach Süd), Mittelfinger = Wirkung (Kraftrichtung).
Im Experiment misst man $F$ mit einem Newtonmeter für mehrere Stromstärken. Trägt man $F$ gegen $I$ auf, erhält man eine Ursprungsgerade mit der Steigung $m = B \cdot \ell$. Also gilt $B = \dfrac{m}{\ell}$.
Ein gerader Leiter der Länge $\ell = 8,0\ \text{cm}$ hängt als Leiterschaukel senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld. Bei Stromstärke $I = 4,0\ \text{A}$ wirkt die…
Ein gerader Leiter der Länge $\ell = 8,0\ \text{cm}$ hängt als Leiterschaukel senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld. Bei Stromstärke $I = 4,0\ \text{A}$ wirkt die Kraft $F = 0,020\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie $B = \frac{F}{I\ell}$.
- b) Geben Sie an, wie die Richtung der Kraft bestimmt wird (Drei-Finger-Regel).
Bei einer Leiterschaukel (Länge des Leiterstücks im Feld $\ell = 5,0\ \text{cm}$) wird die Stromstärke schrittweise erhöht und die Kraft mit einem Newtonmeter gemessen:…
Bei einer Leiterschaukel (Länge des Leiterstücks im Feld $\ell = 5,0\ \text{cm}$) wird die Stromstärke schrittweise erhöht und die Kraft mit einem Newtonmeter gemessen:
| $I$ in A | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 |
|---|---|---|---|---|
| $F$ in mN | 4,1 | 8,0 | 12,2 | 15,9 |
- a) Zeichnen Sie das $F$-$I$-Diagramm in Gedanken und berechnen Sie die Steigung.
- b) Bestimmen Sie daraus $B$.
- c) Begründen Sie, warum mehrere Messwerte genauer sind als ein einzelner.
Auslenkung der Leiterschaukel
Statt die Kraft direkt zu messen, hängt man die Leiterschaukel an Fäden auf. Fließt Strom, schlägt sie aus der Senkrechten aus, bis sich Gleichgewicht einstellt. Am Winkel $\alpha$ erkennen Sie die Kraft.
Im Gleichgewicht greifen drei Kräfte an: die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ (senkrecht nach unten), die magnetische Kraft $F$ (waagerecht) und die Fadenkraft. Die Fadenkraft hält den beiden anderen das Gleichgewicht. Die Resultierende aus $F_G$ und $F$ zeigt daher entlang des Fadens.
Im Kräftedreieck liegt $\alpha$ gegenüber der Seite $F$ und neben der Seite $F_G$. Daraus folgt
$$\tan\alpha = \frac{F}{m \cdot g} \quad\Rightarrow\quad F = m \cdot g \cdot \tan\alpha$$und mit $F = B \cdot I \cdot \ell$:
$$B = \frac{m \cdot g \cdot \tan\alpha}{I \cdot \ell}$$Eine Leiterschaukel mit Leiterlänge im Feld $\ell = 6,0\ \text{cm}$ und Masse $m = 2,5\ \text{g}$ wird bei $I = 3,0\ \text{A}$ um den Winkel $\alpha = 12°$ aus der…
Eine Leiterschaukel mit Leiterlänge im Feld $\ell = 6,0\ \text{cm}$ und Masse $m = 2,5\ \text{g}$ wird bei $I = 3,0\ \text{A}$ um den Winkel $\alpha = 12°$ aus der Senkrechten ausgelenkt. $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Zeigen Sie, dass $F = m g \tan\alpha$ gilt.
- b) Berechnen Sie $B$.
Eine Leiterschaukel (Masse $m = 3,0\ \text{g}$, Länge im Feld $\ell = 7,0\ \text{cm}$) wird am Faden der Länge $L = 25\ \text{cm}$ in einem Feld $B = 60\ \text{mT}$…
Eine Leiterschaukel (Masse $m = 3,0\ \text{g}$, Länge im Feld $\ell = 7,0\ \text{cm}$) wird am Faden der Länge $L = 25\ \text{cm}$ in einem Feld $B = 60\ \text{mT}$ betrieben.
- a) Berechnen Sie die Stromstärke, bei der der Auslenkwinkel $15°$ beträgt.
- b) Berechnen Sie die Arbeit der magnetischen Kraft (konstante Horizontalkraft) bei dieser Auslenkung und vergleichen Sie sie mit der Zunahme der Lageenergie.
- c) Erläutern Sie, warum beide Werte nicht übereinstimmen, wenn die Schaukel aus der Ruhe losgelassen wird.
Die Hallspannung: Wie sie entsteht
Die Leiterschaukel ist für kleine, lokale Felder unhandlich. Praktischer ist eine Hall-Sonde. Sie nutzt einen Effekt, den Edwin Hall 1879 entdeckte.
Ein dünnes Plättchen (Breite $b$, Dicke $d$) wird längs von einem Strom $I$ durchflossen. Die Ladungsträger bewegen sich mit der Driftgeschwindigkeit $v$. Steht $\vec{B}$ senkrecht zur Plättchenfläche, wirkt auf jeden Ladungsträger die Lorentzkraft $F_L = e \cdot v \cdot B$ zur Seite.
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Die Ladungsträger werden zu einem Plättchenrand abgelenkt.
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Dort sammelt sich Ladung, am gegenüberliegenden Rand fehlt sie. Im Bild fließt der Strom (technische Stromrichtung) nach rechts, $\vec{B}$ zeigt aus der Zeichenebene heraus (⊙). Die Elektronen bewegen sich also nach links. Die Drei-Finger-Regel der linken Hand (Daumen: Bewegung der Elektronen nach links, Zeigefinger: $\vec{B}$ zum Betrachter) liefert eine Kraft nach unten: Die Elektronen sammeln sich am unteren Rand, oben bleibt ein Überschuss positiver Ladung. Zwischen den Rändern entsteht ein elektrisches Feld $E_H$, das von + nach − zeigt, und damit die Hallspannung $U_H = E_H \cdot b$.
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Dieses Feld übt auf die Ladungsträger die Kraft $e \cdot E_H$ in die Gegenrichtung aus.
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Es stellt sich ein Gleichgewicht ein: $e \cdot E_H = e \cdot v \cdot B$. Die seitliche Ablenkung hört auf, die Hallspannung bleibt konstant.
Wie hängt $U_H$ von $I$ und $B$ ab? Mit $I = n \cdot e \cdot v \cdot b \cdot d$ ($n$: Ladungsträgerdichte) folgt $v = \dfrac{I}{n e b d}$. Das setzen Sie in $E_H = v B$ ein:
$$U_H = E_H \cdot b = v B b = \frac{I \cdot B}{n \cdot e \cdot d} = R_H \cdot \frac{I \cdot B}{d} \quad\text{mit}\quad R_H = \frac{1}{n e}$$Erklären Sie das Entstehen der Hallspannung in einem stromdurchflossenen Plättchen im Magnetfeld. Gehen Sie ein auf: a) die Ablenkung der Ladungsträger, b) das…
Erklären Sie das Entstehen der Hallspannung in einem stromdurchflossenen Plättchen im Magnetfeld. Gehen Sie ein auf:
- a) die Ablenkung der Ladungsträger,
- b) das Gleichgewicht zwischen elektrischer Kraft und Lorentzkraft.
Die Hallspannung eines Plättchens (Breite $b = 5,0\ \text{mm}$, Dicke $d = 0,20\ \text{mm}$) lautet $U_H = \frac{I B}{n e d}$ mit der Ladungsträgerdichte $n$. a) Leiten…
Die Hallspannung eines Plättchens (Breite $b = 5,0\ \text{mm}$, Dicke $d = 0,20\ \text{mm}$) lautet $U_H = \frac{I B}{n e d}$ mit der Ladungsträgerdichte $n$.
- a) Leiten Sie die Formel aus dem Kräftegleichgewicht $e E_H = e v B$ und $I = n e v b d$ her.
- b) Bei $I = 10\ \text{mA}$ und $B = 0,50\ \text{T}$ wird $U_H = 2,5\ \mu\text{V}$ gemessen. Berechnen Sie $n$.
- c) Begründen Sie, warum Halbleiter für Hall-Sonden besser geeignet sind als Metalle.
Die Hall-Sonde im Einsatz
Eine Hall-Sonde enthält ein kleines Halbleiterplättchen. Ein Messgerät zeigt die Hallspannung an. Weil $U_H \sim B$ gilt (bei konstantem $I$), kann man das Gerät so kalibrieren, dass es die Flussdichte direkt in mT oder T angibt. Dazu misst man in einem bekannten Feld, etwa dem Inneren einer langen Spule, und legt den Umrechnungsfaktor fest.
Wichtig ist die Ausrichtung: Die Hallspannung hängt nur von der Komponente von $\vec{B}$ senkrecht zur Plättchenfläche ab. Man dreht die Sonde, bis die Anzeige maximal wird. Dann steht die Plättchenfläche senkrecht zu den Feldlinien.
Die Richtung der Ablenkung im Plättchen bestimmen Sie mit der Drei-Finger-Regel: Für positive Ladungsträger bzw. die technische Stromrichtung verwenden Sie die rechte Hand, für Elektronen (Bewegung entgegen der technischen Stromrichtung) die linke Hand.
Eine Hall-Sonde zeigt in einem Magnetfeld die Hallspannung $U_H = 2,4\ \text{mV}$. Die Sonde ist so kalibriert, dass $1,0\ \text{mV}$ einer Flussdichte von…
Eine Hall-Sonde zeigt in einem Magnetfeld die Hallspannung $U_H = 2,4\ \text{mV}$. Die Sonde ist so kalibriert, dass $1,0\ \text{mV}$ einer Flussdichte von $25\ \text{mT}$ entspricht.
- a) Berechnen Sie die Flussdichte.
- b) Erklären Sie, warum die Sonde senkrecht zu den Feldlinien ausgerichtet werden muss.
Ein Hall-Plättchen der Dicke $d = 0,10\ \text{mm}$ wird vom Strom $I = 20\ \text{mA}$ durchflossen. Die Hallspannung beträgt $U_H = 1,5\ \text{mV}$ bei…
Ein Hall-Plättchen der Dicke $d = 0,10\ \text{mm}$ wird vom Strom $I = 20\ \text{mA}$ durchflossen. Die Hallspannung beträgt $U_H = 1,5\ \text{mV}$ bei $B = 0,30\ \text{T}$. Es gilt $U_H = R_H \frac{I B}{d}$.
- a) Berechnen Sie die Hallkonstante $R_H$.
- b) Berechnen Sie $B$, wenn bei gleichem Strom $U_H = 0,60\ \text{mV}$ gemessen wird.
Beide Verfahren im Vergleich
Die beiden Messverfahren liefern bei gleichem Magneten nicht immer denselben Wert. Dafür gibt es Gründe, die Sie in einer Aufgabe beurteilen sollen.
| Leiterschaukel | Hall-Sonde | |
|---|---|---|
| Messgröße | Kraft $F$ (oder Winkel $\alpha$) | Hallspannung $U_H$ |
| Räumliche Auflösung | gering: mittelt über die Leiterlänge $\ell$ | hoch: Plättchen nur wenige mm groß |
| Vorteil | direkt aus der Definition von $B$ | schnell, auch für inhomogene Felder |
| Schwäche | verlangt homogenes Feld; kleine Kräfte | muss kalibriert und ausgerichtet werden |
Ist das Feld an den Rändern der Polschuhe inhomogen, so liegt nur ein Teil des Leiters im starken Feld. Die Kraft auf das Leiterstück ist dann die Summe über Bereiche mit unterschiedlichem $B$. Aus $B = F/(I \ell)$ erhalten Sie nur einen Mittelwert über $\ell$, und wenn Sie für $\ell$ die ganze Polschuhbreite einsetzen, auch noch einen falschen. Die Hall-Sonde misst dagegen lokal.
Verbesserungen für die Leiterschaukel: den Leiter nur im homogenen Mittelbereich der Polschuhe platzieren, ein kürzeres Leiterstück verwenden, die Polschuhe näher zusammenschieben, die Feldausdehnung mit der Hall-Sonde vermessen und mehrere Stromstärken verwenden (Steigung auswerten).
Zwei Studierende bestimmen das Feld zwischen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten. Messung A mit Leiterschaukel liefert $B = 85\ \text{mT}$; Messung B mit Hall-Sonde…
Zwei Studierende bestimmen das Feld zwischen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten. Messung A mit Leiterschaukel liefert $B = 85\ \text{mT}$; Messung B mit Hall-Sonde $B = 92\ \text{mT}$. Der Leiter ragt $\ell = 4,0\ \text{cm}$ ins Feld, aber das Feld ist an den Rändern inhomogen.
- a) Erklären Sie, wie die Inhomogenität die Messung A verfälscht.
- b) Beurteilen Sie, welche Methode die lokale Feldstärke besser erfasst, und begründen Sie.
- c) Schlagen Sie eine Verbesserung für Messung A vor.
Zurück zum Anfang: Hufeisenmagnet und Fahrradmagnet vergleichen Sie über $B$. Die Leiterschaukel liefert den Mittelwert über das Leiterstück direkt aus der Definition, die Hall-Sonde den lokalen Wert an der gewählten Stelle.
Auf einen Blick
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Definition: $B = \dfrac{F}{I \cdot \ell}$ für einen Leiter senkrecht zum homogenen Feld; $1\,\mathrm{T} = 1\,\mathrm{\frac{N}{A \cdot m}}$. Die Richtung der Kraft liefert die Drei-Finger-Regel.
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Leiterschaukel: Aus der Steigung der $F$-$I$-Geraden folgt $B = m/\ell$. Bei Auslenkung um $\alpha$ gilt $F = m g \tan\alpha$.
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Hallspannung: Lorentzkraft lenkt die Ladungsträger ab, das entstehende Hallfeld hält ihr das Gleichgewicht: $e E_H = e v B$.
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Es gilt $U_H = \dfrac{I B}{n e d} = R_H \dfrac{I B}{d}$ mit $R_H = \dfrac{1}{ne}$. Halbleiter (kleines $n$) liefern große Hallspannungen.
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Die Hall-Sonde wird kalibriert und senkrecht zu den Feldlinien ausgerichtet. Sie misst lokal, die Leiterschaukel mittelt über $\ell$.