Bestimmung von e/m
Im Physikraum der Schule steht eine Glaskugel, in der ein bläulich-grüner Lichtkreis schwebt. Wer den Strom durch die Spulen ändert, sieht, wie der Kreis wächst oder schrumpft. Der Kreis ist die Bahn von Elektronen, also von Teilchen, die man sonst nicht sehen kann. Wie kann man aus seinem Durchmesser etwas über das Elektron selbst berechnen? Diese Frage klären Sie auf dieser Seite.
Aufbau und Funktionsweise des Fadenstrahlrohrs
Das Fadenstrahlrohr ist ein Glaskolben, der mit einem Gas unter sehr niedrigem Druck gefüllt ist (z. B. Wasserstoff oder Helium, etwa 1 Pa). In ihm sitzt eine kleine Elektronenkanone. Um den Kolben liegt ein Paar von Helmholtzspulen.
Die Bauteile haben jeweils eine Aufgabe:
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Glühkathode: Ein Draht wird durch Strom heiß. Dabei treten Elektronen aus dem Metall aus (glühelektrischer Effekt, Glühemission).
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Anode: Zwischen Kathode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung $U_B$. Die Anode hat ein Loch, durch das ein Elektronenstrahl hindurchfliegt.
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Helmholtzspulen: Zwei gleiche Spulen im Abstand ihres Radius erzeugen zwischen sich ein nahezu homogenes Magnetfeld $\vec{B}$ senkrecht zur Strahlrichtung.
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Gasfüllung: Die Elektronen stoßen auf Gasatome und regen sie an. Diese senden beim Abregen Licht aus. Dadurch wird die Bahn als schmaler „Faden“ sichtbar. Der geringe Gasdruck sorgt dafür, dass die Elektronen nur wenig Energie verlieren.
Nennen Sie die Bauteile eines Fadenstrahlrohrs (Glaskolben mit Gasfüllung, Glühkathode, Anode, Helmholtzspulen) und erklären Sie jeweils kurz ihre Funktion. Erklären…
Nennen Sie die Bauteile eines Fadenstrahlrohrs (Glaskolben mit Gasfüllung, Glühkathode, Anode, Helmholtzspulen) und erklären Sie jeweils kurz ihre Funktion. Erklären Sie, warum die Elektronenbahn sichtbar ist.
Beschleunigung der Elektronen
Die Elektronen treten aus der Glühkathode praktisch mit der Geschwindigkeit null aus. Zwischen Kathode und Anode liegt die Spannung $U_B$. Das elektrische Feld verrichtet Arbeit an jedem Elektron. Die Energie $e \cdot U_B$ wird vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt:
$$e \cdot U_B = \tfrac{1}{2}\, m\, v^2 \qquad\Rightarrow\qquad v = \sqrt{\frac{2\,e\,U_B}{m}}$$Der Satz folgt aus der Energieerhaltung: Das Elektron gewinnt genau so viel Energie, wie das Feld ihm zuführt, nämlich $\Delta E_\text{kin} = q \cdot U$.
Bei $U_B = 200\ \text{V}$ hat jedes Elektron also die Energie $200\ \text{eV}$.
Im Fadenstrahlrohr werden Elektronen durch die Beschleunigungsspannung $U_B = 200\ \text{V}$ aus der Ruhe beschleunigt. Es gilt $e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ und…
Im Fadenstrahlrohr werden Elektronen durch die Beschleunigungsspannung $U_B = 200\ \text{V}$ aus der Ruhe beschleunigt. Es gilt $e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ und $m_e = 9,109 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$.
- a) Berechnen Sie die kinetische Energie der Elektronen in Joule und in Elektronvolt.
- b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit $v = \sqrt{\frac{2eU_B}{m_e}}$.
Die Kreisbahn im homogenen Magnetfeld
Nach der Anode fliegen die Elektronen mit der Geschwindigkeit $v$ senkrecht zu $\vec{B}$ in das Magnetfeld der Helmholtzspulen. Dort wirkt die Lorentzkraft
$$F_L = e \cdot v \cdot B$$Ihre Richtung ist stets senkrecht zu $\vec{v}$ und zu $\vec{B}$ (Drei-Finger-Regel, für Elektronen mit der linken Hand). Daraus folgt:
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Die Kraft zeigt immer senkrecht zur Bewegung. Sie ändert nur die Richtung von $\vec{v}$, nicht den Betrag.
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Die Kraft verrichtet keine Arbeit, da $W = F \cdot s \cdot \cos 90^\circ = 0$. Die kinetische Energie bleibt konstant.
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Die Bahn ist ein Kreis, und die Lorentzkraft wirkt als Zentripetalkraft.
Die Lorentzkraft ist die Zentripetalkraft:
$$e\, v\, B = \frac{m\, v^2}{r} \qquad\Rightarrow\qquad r = \frac{m\, v}{e\, B}$$Der Radius wächst also mit der Geschwindigkeit und schrumpft bei stärkerem Feld. Die Umlaufdauer ist
$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\, m}{e\, B}$$und hängt nicht von $v$ ab. Schnellere Elektronen laufen auf größeren Kreisen, brauchen aber für einen Umlauf gleich lang.
Schraubenbahn
Treten die Elektronen nicht genau senkrecht zu $\vec{B}$ ein, zerlegt man $\vec{v}$ in $v_\perp$ (senkrecht zu $\vec{B}$) und $v_\parallel$ (parallel zu $\vec{B}$). Parallel zu $\vec{B}$ wirkt keine Kraft, also bewegen sich die Elektronen dort gleichförmig. Senkrecht dazu laufen sie auf einem Kreis mit $r = \dfrac{m\, v_\perp}{e\, B}$. Zusammen entsteht eine Schraubenbahn. Ihre Ganghöhe ist $h = v_\parallel \cdot T$.
Elektronen bewegen sich senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld $B = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$ mit $v = 1,0 \cdot 10^7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$. a) Berechnen Sie…
Elektronen bewegen sich senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld $B = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$ mit $v = 1,0 \cdot 10^7\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$.
- a) Berechnen Sie die Lorentzkraft $F = e v B$.
- b) Geben Sie an, welche Bahnform entsteht, und begründen Sie, warum die Lorentzkraft keine Arbeit verrichtet.
Im Fadenstrahlrohr wird die Kreisbahn schraubenförmig, wenn die Elektronen nicht exakt senkrecht zu $\vec{B}$ eintreten. Die Geschwindigkeit hat die Komponenten…
Im Fadenstrahlrohr wird die Kreisbahn schraubenförmig, wenn die Elektronen nicht exakt senkrecht zu $\vec{B}$ eintreten. Die Geschwindigkeit hat die Komponenten $v_\perp = 8,0 \cdot 10^6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $v_\parallel = 3,0 \cdot 10^6\ \frac{\text{m}}{\text{s}}$, $B = 2,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$.
- a) Berechnen Sie den Radius der Schraubenbahn.
- b) Berechnen Sie die Umlaufdauer und die Ganghöhe.
- c) Begründen Sie, warum die Umlaufdauer unabhängig von $v_\perp$ ist.
Herleitung und Berechnung von e/m
Die beiden Gleichungen aus den Abschnitten oben beschreiben den Versuch vollständig:
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Beschleunigung: $e\, U_B = \tfrac12 m v^2$
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Kreisbahn: $e\, v\, B = \dfrac{m v^2}{r}$
Die Geschwindigkeit $v$ lässt sich nicht direkt messen. Sie wird daher eliminiert. Aus (2) folgt $v = \dfrac{e B r}{m}$. Einsetzen in (1) ergibt
$$e\, U_B = \frac12\, m \cdot \frac{e^2 B^2 r^2}{m^2} = \frac{e^2 B^2 r^2}{2m}$$Kürzt man durch $e$ und stellt um, erhält man
Warum nur e/m?
Im Fadenstrahlrohr gehen $e$ und $m$ nur als Verhältnis ein. Ein Elektron mit doppelter Ladung und doppelter Masse liefe auf derselben Bahn. Um die Masse allein zu bestimmen, braucht man die Elementarladung $e$ aus einem zweiten Versuch (Millikan-Versuch, siehe Seite „Auswertung von Öltröpfchen-Messungen“). Dann gilt
$$m_e = \frac{e}{e/m} = \frac{1{,}602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}}{1{,}76 \cdot 10^{11}\ \tfrac{\text{C}}{\text{kg}}} \approx 9{,}10 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$$Im Fadenstrahlrohr gilt $U_B = 250\ \text{V}$ und $B = 1,2 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$. Der Bahnradius der Kreisbahn beträgt $r = 4,6\ \text{cm}$. a) Leiten Sie aus…
Im Fadenstrahlrohr gilt $U_B = 250\ \text{V}$ und $B = 1,2 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$. Der Bahnradius der Kreisbahn beträgt $r = 4,6\ \text{cm}$.
- a) Leiten Sie aus $eU_B = \frac{1}{2}mv^2$ und $evB = \frac{mv^2}{r}$ die Formel $\frac{e}{m} = \frac{2U_B}{B^2 r^2}$ her.
- b) Berechnen Sie $\frac{e}{m}$.
Mit $\frac{e}{m} = 1,76 \cdot 10^{11}\ \frac{\text{C}}{\text{kg}}$ und $e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ soll die Masse des Elektrons bestimmt werden. a) Berechnen…
Mit $\frac{e}{m} = 1,76 \cdot 10^{11}\ \frac{\text{C}}{\text{kg}}$ und $e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$ soll die Masse des Elektrons bestimmt werden.
- a) Berechnen Sie $m_e$.
- b) Erklären Sie, warum im Fadenstrahlrohr nur $\frac{e}{m}$ und nicht $e$ und $m$ einzeln bestimmt werden können, und welcher weitere Versuch benötigt wird.
Auswertung, Fehler und Helmholtzspulen
Mehrere Messungen und grafische Auswertung
Eine einzelne Messung ist ungenau, vor allem weil sich $r$ nur auf etwa $1\ \text{mm}$ genau ablesen lässt. Man misst daher $r$ für mehrere $U_B$ bei konstantem $B$. Aus der Formel für $r$ folgt
$$r = \frac{m\, v}{e\, B} = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2\, m\, U_B}{e}} \qquad\Rightarrow\qquad r^2 = \frac{2}{B^2}\cdot\frac{m}{e}\cdot U_B = \frac{2}{(e/m)\, B^2}\cdot U_B$$Trägt man $r^2$ gegen $U_B$ auf, erhält man eine Ursprungsgerade mit der Steigung
$$s = \frac{2}{(e/m)\, B^2} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{e}{m} = \frac{2}{s\, B^2}$$Die Ausgleichsgerade mittelt über alle Messpunkte, und einzelne Ausreißer fallen weniger ins Gewicht. Zusätzlich erkennt man an der Geraden, ob der Zusammenhang $r^2 \sim U_B$ überhaupt gilt.
Mittelwert und relative Abweichung
Bei mehreren Einzelmessungen berechnet man den Mittelwert $\overline{x}$ der $e/m$-Werte. Die relative Abweichung vom Literaturwert ist
$$\frac{\left|\,\overline{x} - x_\text{Lit}\,\right|}{x_\text{Lit}}$$Systematische Fehlerquellen
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Magnetfeld: Das Erdmagnetfeld (etwa $4 \cdot 10^{-5}\ \text{T}$) überlagert sich dem Feld der Spulen. Das Feld ist außerdem nur in der Mitte der Helmholtzspulen homogen.
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Radiusablesung: Parallaxe zwischen Strahl und Skala, außerdem ist der Strahl nicht beliebig dünn.
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Stöße mit Gasatomen: Die Elektronen verlieren etwas Energie, die Bahn wird zur Spirale.
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Spannung: Die Anzeige des Messgeräts hat eine endliche Genauigkeit, außerdem spielt die Austrittsenergie aus der Glühkathode eine kleine Rolle.
Das Feld der Helmholtzspulen
Im Mittelpunkt eines Helmholtzspulenpaars (je $N$ Windungen, Radius $R$, Abstand $R$) gilt bei Strom $I$
$$B = \left(\tfrac45\right)^{3/2} \mu_0\, \frac{N\, I}{R}$$mit $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \tfrac{\text{Vs}}{\text{Am}}$. Der Vorfaktor $\left(\tfrac45\right)^{3/2} \approx 0{,}716$. Das Feld ist proportional zum Strom, man kann also $B$ über $I$ einstellen.
Bei einem Schulversuch wurden bei $B = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$ folgende Wertepaare gemessen: | $U_B$ in V | 100 | 200 | 300 | |---|---|---|---| | $r$ in cm | 3,4 |…
Bei einem Schulversuch wurden bei $B = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$ folgende Wertepaare gemessen:
| $U_B$ in V | 100 | 200 | 300 |
|---|---|---|---|
| $r$ in cm | 3,4 | 4,8 | 5,9 |
- a) Berechnen Sie für jede Messung $\frac{e}{m}$.
- b) Bestimmen Sie den Mittelwert und die relative Abweichung vom Literaturwert $1,76 \cdot 10^{11}\ \frac{\text{C}}{\text{kg}}$.
- c) Geben Sie zwei mögliche systematische Fehlerquellen an.
Der Radius $r$ der Kreisbahn im Fadenstrahlrohr wird bei konstantem $B$ als Funktion von $U_B$ gemessen. a) Zeigen Sie, dass $r^2$ proportional zu $U_B$ ist, und geben…
Der Radius $r$ der Kreisbahn im Fadenstrahlrohr wird bei konstantem $B$ als Funktion von $U_B$ gemessen.
- a) Zeigen Sie, dass $r^2$ proportional zu $U_B$ ist, und geben Sie die Steigung des $r^2$-$U_B$-Diagramms in Abhängigkeit von $\frac{e}{m}$ und $B$ an.
- b) Aus einem Diagramm folgt die Steigung $1,1 \cdot 10^{-5}\ \frac{\text{m}^2}{\text{V}}$ bei $B = 1,0 \cdot 10^{-3}\ \text{T}$. Berechnen Sie $\frac{e}{m}$.
- c) Begründen Sie, warum die grafische Auswertung gegenüber einer Einzelmessung vorteilhaft ist.
Das Magnetfeld im Fadenstrahlrohr wird durch ein Helmholtzspulenpaar erzeugt ($N = 130$ Windungen je Spule, Radius $R = 15\ \text{cm}$). Für das Feld in der Mitte gilt…
Das Magnetfeld im Fadenstrahlrohr wird durch ein Helmholtzspulenpaar erzeugt ($N = 130$ Windungen je Spule, Radius $R = 15\ \text{cm}$). Für das Feld in der Mitte gilt $B = \left(\frac{4}{5}\right)^{3/2}\mu_0 \frac{N I}{R}$, mit $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \frac{\text{Vs}}{\text{Am}}$.
- a) Berechnen Sie $B$ für $I = 1,5\ \text{A}$.
- b) Mit $U_B = 300\ \text{V}$ ergibt sich bei diesem $B$ ein Bahnradius von $r$. Berechnen Sie $r$ mit $\frac{e}{m} = 1,76 \cdot 10^{11}\ \frac{\text{C}}{\text{kg}}$.
- c) Beurteilen Sie, wie sich ein 10 % zu groß angenommenes $B$ auf den berechneten Wert von $\frac{e}{m}$ auswirkt.
Zurück zum Anfang: Der Lichtkreis ist die Bahn der Elektronen. Aus $U_B$, $B$ und dem Kreisradius $r$ lässt sich $e/m$ berechnen, mit $e$ aus dem Millikan-Versuch dann auch die Elektronenmasse.