Das Magnetfeld: Wechselwirkung mit bewegten Ladungen

Eine elektrische Ladung befindet sich in Ruhe in einem homogenen Magnetfeld. Der Betrag der Lorentzkraft ist $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sin\alpha$.

1. a) Wirkt eine magnetische Kraft auf sie? Begründen Sie dies mit der Formel.
2. b) Die Ladung wird genau in Richtung des Feldes in Bewegung gesetzt ($\alpha = 0^\circ$). Ändert sich die Antwort? Warum?

Der Betrag der Lorentzkraft ist $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sin\alpha$ und ihre Richtung ergibt sich aus dem Kreuzprodukt $\vv{F} = q\cdot(\vv{v}\times\vv{B})$, das mit der Rechte-Hand-Regel bestimmt wird. Ein Proton bewegt sich waagerecht nach Osten in einem homogenen Magnetfeld, das ebenfalls waagerecht nach Norden gerichtet ist. Die Situation ist, von oben gesehen, in der Abbildung dargestellt.

1. a) Bestimmen Sie Richtung und Richtungssinn der Kraft auf das Proton.
2. b) Welche Richtung hätte die Kraft, wenn das Teilchen ein Elektron wäre? Begründen Sie den Unterschied.

Ein Proton ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) tritt mit $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ in ein homogenes Magnetfeld $B = 0,8\ \text{T}$ ein und bildet mit ihm einen Winkel $\alpha = 30^\circ$. Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie den Betrag der Lorentzkraft $F = q\cdot v\cdot B\cdot\sin\alpha$ ($\sin 30^\circ = 0,5$).
2. b) Für welchen Winkel wäre die Kraft maximal? Und für welchen wäre sie null?

Ein Proton ($q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) bewegt sich mit $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ senkrecht zu einem Magnetfeld $B = 0,5\ \text{T}$. Berechnen Sie den Betrag der Lorentzkraft auf es, $F = q\cdot v\cdot B$.

Ausgehend vom Ausdruck für den Betrag der Lorentzkraft, $F = q\cdot v\cdot B$ (senkrechter Fall):

1. a) Lösen Sie nach $B$ auf und leiten Sie ab, welcher Kombination von SI-Einheiten ein Tesla entspricht.
2. b) Drücken Sie unter Verwendung von $1\ \text{C/s} = 1\ \text{A}$ das Tesla als $\text{T} = \frac{\text{N}}{\text{A}\cdot\text{m}}$ aus und erklären Sie mit eigenen Worten, welches Feld nötig ist, damit eine Ladung von $1\ \text{C}$ bei $1\ \text{m/s}$ eine Kraft von $1\ \text{N}$ erfährt.

Ein gerader Leiter der Länge $L = 40\ \text{cm}$, der senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld $B = 0,1\ \text{T}$ liegt, führt einen Strom $I = 5\ \text{A}$. Die magnetische Kraft auf ihn ist $F = B\cdot I\cdot L$.

1. a) Berechnen Sie ihren Betrag.
2. b) Skizzieren Sie die Situation in Ihrem Heft und bestimmen Sie mit der Rechte-Hand-Regel Richtung und Richtungssinn der Kraft bezüglich Strom und Feld.
3. c) Wenn der Leiter mit dem Feld den Winkel $30^\circ$ bildete, wäre die Kraft $F = B\cdot I\cdot L\cdot\sin 30^\circ$; berechnen Sie sie.

Ein waagerechter Stab der Länge $L = 50\ \text{cm}$ und der Masse $m = 25\ \text{g}$ befindet sich in einem homogenen waagerechten Magnetfeld $B = 0,5\ \text{T}$, das senkrecht zum Stab steht. Die magnetische Kraft auf den Stab, $F = B\cdot I\cdot L$, soll seine Gewichtskraft genau ausgleichen (verwenden Sie $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Die Situation ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Stellen Sie die Gleichgewichtsbedingung zwischen magnetischer Kraft und Gewichtskraft auf und berechnen Sie den erforderlichen Strom.
2. b) Bestimmen Sie mit der Rechte-Hand-Regel, wie Strom und Feld relativ zueinander orientiert sein müssen, damit die Kraft senkrecht nach oben wirkt.
3. c) Begründen Sie, was geschähe, wenn der Strom um $10\ \%$ zunähme: Würde sich der Stab bewegen? Wohin und mit welcher resultierenden Anfangskraft?

Die Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung steht stets senkrecht zu ihrer Geschwindigkeit.

1. a) Erklären Sie unter Berücksichtigung, dass die Arbeit von der Kraftkomponente in Richtung der Verschiebung abhängt, warum die magnetische Kraft an der Ladung keine Arbeit verrichtet.
2. b) Was geschieht dann mit dem Betrag der Geschwindigkeit der Ladung?
3. c) Und mit ihrer kinetischen Energie?

Ein Elektron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) tritt mit $v = 1\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 1\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ein, wie die Abbildung zeigt.

Der Radius seiner Kreisbahn ist $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$. Berechnen Sie seinen Wert und geben Sie ihn in Zentimetern an.

Ein geladenes Teilchen tritt mit der Geschwindigkeit $\vv{v}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld ein.

1. a) Erklären Sie, warum die Lorentzkraft als Zentripetalkraft wirkt, und schreiben Sie die Gleichung $q\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{r}$ auf.
2. b) Lösen Sie nach dem Radius $r$ auf und erläutern Sie, von welchen Größen er abhängt: Wird er größer oder kleiner, wenn das Teilchen schneller ist? Und wenn das Feld stärker ist?

Ein Proton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) tritt mit $v = 5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ senkrecht in ein homogenes Magnetfeld $B = 0,2\ \text{T}$ ein.

1. a) Berechnen Sie den Radius seiner Kreisbahn $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$ und geben Sie ihn in Zentimetern an.
2. b) Was geschähe mit dem Radius, wenn das Proton mit der halben Geschwindigkeit einträte? Begründen Sie mithilfe der Formel.

Ein Elektron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) bewegt sich in einem homogenen Magnetfeld $B = 2\cdot10^{-3}\ \text{T}$ auf einer Kreisbahn, wobei die Geschwindigkeit senkrecht zum Feld steht.

1. a) Setzen Sie die Lorentzkraft der Zentripetalkraft gleich und zeigen Sie mithilfe von $v = \frac{2\pi\cdot r}{T}$, dass die Umlaufdauer $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$ beträgt.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert.
3. c) Das Ergebnis enthält weder $v$ noch $r$: Erklären Sie, was das physikalisch bedeutet.

Ein Proton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$) und ein Elektron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$) treten mit derselben Geschwindigkeit senkrecht in dasselbe homogene Magnetfeld ein.

1. a) Schreiben Sie den Quotienten $\frac{r_p}{r_e}$ der Radien ihrer Bahnen auf und berechnen Sie seinen Wert.
2. b) Berechnen Sie unter Berücksichtigung von $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$ auch den Quotienten ihrer Umlaufdauern und erläutern Sie, welches Teilchen schneller umläuft.

Zwei gerade, parallele Leiter führen gleichsinnige Ströme.

1. a) Zeichnen Sie in Ihr Heft das Magnetfeld, das der erste Leiter am Ort des zweiten erzeugt (Rechte-Hand-Regel), und die Kraft, die dieser erfährt.
2. b) Ziehen sie sich an oder stoßen sie sich ab?
3. c) Was ändert sich, wenn die Richtung eines der Ströme umgekehrt wird?

Sie können es auf Papier machen und ein Foto Ihrer Antwort schicken.

In einem Laborversuch führen zwei parallele Leiter im Abstand $d = 10\ \text{cm}$ gleichgerichtete Ströme $I_1 = 20\ \text{A}$ und $I_2 = 30\ \text{A}$. Die Kraft pro Längeneinheit zwischen ihnen ist $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I_1\cdot I_2}{2\pi\cdot d}$ ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Berechnen Sie die Kraft pro Längeneinheit.
2. b) Ziehen sich die Leiter an oder stoßen sie sich ab? Begründen Sie.
3. c) Berechnen Sie die Gesamtkraft auf ein Stück der Länge $1\ \text{m}$ jedes Leiters.

Die frühere Definition des Ampere (gültig bis 2019) lautete: Ein Ampere ist die Stromstärke, die, in zwei parallelen, geradlinigen, unendlich langen Leitern im Abstand $1\ \text{m}$ im Vakuum aufrechterhalten, zwischen diesen eine Kraft von $2\cdot10^{-7}\ \text{N}$ je Meter Leiterlänge hervorruft ($\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$).

1. a) Schreiben Sie den Ausdruck für die Kraft pro Längeneinheit auf, wenn beide Leiter denselben Strom $\frac{F}{L} = \frac{\mu_0\cdot I^2}{2\pi\cdot d}$ führen.
2. b) Setzen Sie $d = 1\ \text{m}$ und $\frac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$ ein und prüfen Sie, dass sich $I = 1\ \text{A}$ ergibt.
3. c) Erörtern Sie die praktischen Schwierigkeiten dieser Definition („unendliche“ Leiter, Messung so kleiner Kräfte) im Vergleich zur heutigen Definition, die den Wert der Elementarladung festlegt.

In einem Massenspektrometer beschreibt ein Ion $\text{He}^+$ ($m = 6,64\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) einen Kreisbogen mit dem Radius $r = 12\ \text{cm}$ in einem Feld $B = 0,5\ \text{T}$, das senkrecht zu seiner Geschwindigkeit steht. Die Situation ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$ nach der Geschwindigkeit auf.
2. b) Berechnen Sie ihren Wert in wissenschaftlicher Schreibweise.

Ein Geschwindigkeitsfilter hat ein elektrisches Feld $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ und ein magnetisches Feld $B = 0,05\ \text{T}$, die senkrecht aufeinander und senkrecht zur Geschwindigkeit der Ionen stehen. Elektrische und magnetische Kraft heben sich auf, wenn $q\cdot E = q\cdot v\cdot B$.

1. a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Ionen, die den Filter ohne Ablenkung durchlaufen, durch Umstellen und berechnen Sie sie.
2. b) Hängt diese Geschwindigkeit von der Ladung oder der Masse des Ions ab? Erläutern Sie, wozu diese Vorrichtung vor einem Ablenkbereich dient.

Ein Massenspektrometer besteht aus einem Geschwindigkeitsfilter (elektrisches Feld $E = 5\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ und magnetisches Feld $B_1 = 0,1\ \text{T}$, senkrecht zueinander), gefolgt von einem Bereich mit einem weiteren Magnetfeld $B_2 = 0,2\ \text{T}$, das senkrecht zur Geschwindigkeit steht und in dem die Ionen Halbkreise beschreiben. Es treten Kohlenstoff-12- und Kohlenstoff-14-Ionen ein, beide mit der Ladung $q = e$ ($e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; atomare Masseneinheit $u = 1,66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$). Der Aufbau der Apparatur ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der die Ionen den Filter verlassen ($q\cdot E = q\cdot v\cdot B_1$).
2. b) Berechnen Sie den Bahnradius jedes Isotops im Ablenkbereich (verwenden Sie die Massen $12\cdot u$ und $14\cdot u$).
3. c) Die Ionen treffen in einem Abstand vom Eintrittspunkt, der dem Durchmesser ihres Halbkreises entspricht, auf eine Fotoplatte: Berechnen Sie den Abstand zwischen den beiden Markierungen, die sie hinterlassen.

Ein Zyklotron beschleunigt Deuteronen ($m = 3,34\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $q = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) mit einem Magnetfeld $B = 1,2\ \text{T}$, das senkrecht zur Ebene der Bahnen steht. Der Aufbau des Zyklotrons ist in der Abbildung dargestellt.

1. a) Der Wechselspannungsgenerator muss mit der Umlauffrequenz $f = \frac{q\cdot B}{2\pi\cdot m}$ synchronisiert werden; berechnen Sie sie und geben Sie sie in Megahertz an.
2. b) Die Teilchen verlassen das Gerät, wenn ihr Radius den Radius der Apparatur erreicht, $R = 0,5\ \text{m}$; berechnen Sie ihre maximale Geschwindigkeit mit $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
3. c) Berechnen Sie die kinetische Energie, mit der die Deuteronen austreten.

Ein Proton ($m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) tritt mit $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ in ein homogenes Magnetfeld $B = 0,1\ \text{T}$ ein und bildet mit ihm einen Winkel von $60^\circ$, sodass es eine Schraubenbahn beschreibt ($\sin 60^\circ \approx 0,87$; $\cos 60^\circ = 0,5$). Betrachten Sie die Skizze:

1. a) Zerlegen Sie die Geschwindigkeit in ihre Komponenten parallel und senkrecht zum Feld.
2. b) Berechnen Sie den Radius der Schraubenbahn, der durch die senkrechte Komponente bestimmt wird.
3. c) Berechnen Sie die Umlaufdauer $T = \frac{2\pi\cdot m}{q\cdot B}$ und die Ganghöhe (die Strecke, die das Teilchen pro Umlauf in Feldrichtung zurücklegt).

Die Van-Allen-Gürtel fangen geladene Teilchen im Erdmagnetfeld ein, das viel schwächer ist als Magnetfelder im Labor. Ein Elektron ($m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$) bewegt sich mit $v = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ in der Äquatorregion, wo $B = 3\cdot10^{-5}\ \text{T}$ gilt, mit einer Geschwindigkeit senkrecht zum Feld.

1. a) Berechnen Sie den Radius seiner Bahn, $r = \frac{m\cdot v}{q\cdot B}$.
2. b) In Breiten nahe den Polen ist das Feld doppelt so groß, $B = 6\cdot10^{-5}\ \text{T}$; berechnen Sie dort den Radius.
3. c) Setzen Sie die Ergebnisse in Beziehung dazu, dass sich die Bahnen der eingefangenen Teilchen beim Annähern an die Pole enger „aufwickeln“.

Ein Proton ($m_p$, $q_p = e$) und ein Alphateilchen ($m_\alpha = 4\cdot m_p$, $q_\alpha = 2\cdot e$) treten mit derselben Geschwindigkeit senkrecht in dasselbe homogene Magnetfeld ein.

1. a) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{r_\alpha}{r_p}$ der Radien ihrer Bahnen.
2. b) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{T_\alpha}{T_p}$ ihrer Umlaufdauern.
3. c) Wiederholen Sie den Radienquotienten unter der Annahme, dass beide Teilchen mit derselben kinetischen Energie eintreten (verwenden Sie $v = \sqrt{\frac{2\cdot E_c}{m}}$ im Ausdruck für den Radius), und erörtern Sie, ob ein Massenspektrometer sie in den beiden Fällen jeweils trennen könnte.