Wellenlängenbestimmung mit Doppelspalt und Gitter
Ein Laserpointer, eine CD oder ein feines Gitter: Fällt das Licht darauf, entstehen auf der Wand helle Punkte in regelmäßigen Abständen. Mit einem Maßband und etwas Trigonometrie lässt sich daraus die Wellenlänge des Lichts bestimmen, also eine Größe von weniger als einem Tausendstel Millimeter. Wie das geht und wie genau es ist, klären Sie auf dieser Seite.
Doppelspalt: Gangunterschied und Maxima
Zwei Spalte im Abstand $g$ werden von kohärentem Licht getroffen, etwa von einem Laser. Kohärent heißt: Die Wellen haben eine feste Phasenbeziehung zueinander. Jeder Spalt sendet nach dem Huygens'schen Prinzip eine Elementarwelle aus. Auf dem Schirm überlagern sich beide Wellen. Ob sie sich verstärken oder auslöschen, hängt nur davon ab, um wie viel der Weg von einem Spalt länger ist als der vom anderen.
Für weit entfernten Schirm ($L \gg g$) verlaufen beide Strahlen zum selben Punkt praktisch parallel unter dem Winkel $\varphi$. Das rechtwinklige Dreieck in der Zeichnung liefert den Gangunterschied:
$$\Delta s = g \cdot \sin\varphi$$Für kleine Winkel gilt $\sin\varphi \approx \tan\varphi = \frac{a_k}{L}$. Dabei ist $a_k$ der Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte. Damit folgt
$$a_k \approx \frac{k\,\lambda\,L}{g} \qquad\text{und}\qquad \lambda \approx \frac{g\,a_k}{k\,L}$$Geben Sie die Bedingung für Maxima beim Doppelspalt in Abhängigkeit von Gangunterschied $\Delta s$ und Wellenlänge $\lambda$ an, ebenso für Minima. Nennen Sie, warum nur…
Geben Sie die Bedingung für Maxima beim Doppelspalt in Abhängigkeit von Gangunterschied $\Delta s$ und Wellenlänge $\lambda$ an, ebenso für Minima. Nennen Sie, warum nur kohärentes Licht Interferenzmuster liefert.
Ein Laserstrahl trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g = 0,20\ \text{mm}$. Auf einem Schirm im Abstand $L = 3,0\ \text{m}$ beträgt der Abstand der…
Ein Laserstrahl trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g = 0,20\ \text{mm}$. Auf einem Schirm im Abstand $L = 3,0\ \text{m}$ beträgt der Abstand der Maxima 0. und 1. Ordnung $a_1 = 9,5\ \text{mm}$.
- a) Berechnen Sie die Wellenlänge mit $\lambda \approx \frac{g\,a_1}{L}$.
- b) Geben Sie die Farbe des Lichts näherungsweise an.
Das Gitter
Ein Beugungsgitter besteht aus sehr vielen parallelen Spalten im gleichen Abstand $g$, der Gitterkonstante. Angegeben wird oft die Strichzahl pro Länge, z. B. 500 Striche pro Millimeter. Dann gilt
$$g = \frac{1}{500}\,\mathrm{mm} = 2{,}0\,\mu\mathrm{m}$$Für das Gitter gilt dieselbe Bedingung wie beim Doppelspalt. Benachbarte Spalte haben den Gangunterschied $\Delta s = g\sin\varphi$. Sind alle Wellen benachbarter Spalte im Gleichtakt, sind es alle Spalte.
Ein Gitter hat $500$ Striche pro Millimeter. a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $g$. b) Berechnen Sie für $\lambda = 589\ \text{nm}$ den Winkel des Maximums 1. Ordnung…
Ein Gitter hat $500$ Striche pro Millimeter.
- a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $g$.
- b) Berechnen Sie für $\lambda = 589\ \text{nm}$ den Winkel des Maximums 1. Ordnung mit $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{g}$.
Ein Gitter mit $g = 2,0\ \mu\text{m}$ wird mit Licht der Wellenlängen $\lambda_1 = 450\ \text{nm}$ und $\lambda_2 = 650\ \text{nm}$ beleuchtet. Der Schirm steht…
Ein Gitter mit $g = 2,0\ \mu\text{m}$ wird mit Licht der Wellenlängen $\lambda_1 = 450\ \text{nm}$ und $\lambda_2 = 650\ \text{nm}$ beleuchtet. Der Schirm steht $L = 1,5\ \text{m}$ vom Gitter entfernt.
- a) Berechnen Sie die Winkel der 1. Ordnung für beide Wellenlängen.
- b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Maxima 1. Ordnung auf dem Schirm.
- c) Bestimmen Sie die höchste beobachtbare Ordnung für $\lambda_2$.
Messen, Näherungen und weißes Licht
Im Experiment messen Sie meist den Schirmabstand $L$ (Gitter bis Schirm) und den Abstand $a$ des Maximums von der Mitte. Der Winkel folgt aus dem rechtwinkligen Dreieck:
$$\tan\varphi_k = \frac{a_k}{L}, \qquad \lambda = \frac{g\,\sin\varphi_k}{k}$$Die Näherung $\sin\varphi \approx \tan\varphi$ ist nur für kleine Winkel erlaubt.
| $\varphi$ | $\sin\varphi$ | $\tan\varphi$ | Abweichung |
|---|---|---|---|
| $2°$ | $0{,}0349$ | $0{,}0349$ | unter $0{,}1\,\%$ |
| $10°$ | $0{,}174$ | $0{,}176$ | etwa $1\,\%$ |
| $20°$ | $0{,}342$ | $0{,}364$ | etwa $6\,\%$ |
| $30°$ | $0{,}500$ | $0{,}577$ | etwa $15\,\%$ |
Beim Doppelspalt mit $g \approx 0{,}2\,\mathrm{mm}$ sind die Winkel winzig, die Näherung passt. Bei einem Gitter mit $g$ von wenigen Mikrometern sind die Winkel groß, dort rechnen Sie mit $\tan\varphi = a/L$ und $\sin\varphi_k = k\lambda/g$ exakt.
Weißes Licht
Weißes Licht enthält alle Wellenlängen, von etwa $400\,\mathrm{nm}$ (violett) bis $750\,\mathrm{nm}$ (rot). Das Maximum 0. Ordnung bleibt weiß, weil für $\varphi = 0$ der Gangunterschied bei jeder Wellenlänge null ist. In jeder höheren Ordnung entsteht ein Spektrum: Violett liegt innen, Rot außen, weil $\sin\varphi_k \sim \lambda$ gilt. Das Spektrum der Ordnung $k$ reicht von $\sin\varphi = k\lambda_{\mathrm{violett}}/g$ bis $k\lambda_{\mathrm{rot}}/g$.
Die Spektren benachbarter Ordnungen überlappen, wenn das Rot der Ordnung $k$ weiter außen liegt als das Violett der Ordnung $k+1$, also wenn $k\,\lambda_{\mathrm{rot}} > (k+1)\,\lambda_{\mathrm{violett}}$ gilt.
Mit einem Gitter ($g = 1,67\ \mu\text{m}$) werden bei $L = 2,00\ \text{m}$ die Maxima 1. Ordnung im Abstand $a = 0,79\ \text{m}$ von der Mitte beobachtet. a) Berechnen…
Mit einem Gitter ($g = 1,67\ \mu\text{m}$) werden bei $L = 2,00\ \text{m}$ die Maxima 1. Ordnung im Abstand $a = 0,79\ \text{m}$ von der Mitte beobachtet.
- a) Berechnen Sie den Beugungswinkel mit $\tan\varphi = \frac{a}{L}$.
- b) Berechnen Sie die Wellenlänge.
- c) Erklären Sie, warum die Näherung $\sin\varphi \approx \tan\varphi$ hier nicht zulässig ist.
Weißes Licht fällt auf ein Gitter mit $400$ Strichen je Millimeter. a) Berechnen Sie die Winkel des 1. Maximums für $400\ \text{nm}$ und $750\ \text{nm}$. b) Beschreiben…
Weißes Licht fällt auf ein Gitter mit $400$ Strichen je Millimeter.
- a) Berechnen Sie die Winkel des 1. Maximums für $400\ \text{nm}$ und $750\ \text{nm}$.
- b) Beschreiben Sie die Anordnung der Farben im Spektrum 1. Ordnung und begründen Sie sie.
- c) Prüfen Sie, ob sich das Spektrum 1. und 2. Ordnung überlappen.
Bei einem Gitter mit unbekannter Gitterkonstante werden mit rotem Laser ($\lambda = 650\ \text{nm}$) die Maxima 1. Ordnung unter $\varphi = 22,9°$ gefunden. Anschließend…
Bei einem Gitter mit unbekannter Gitterkonstante werden mit rotem Laser ($\lambda = 650\ \text{nm}$) die Maxima 1. Ordnung unter $\varphi = 22,9°$ gefunden. Anschließend wird mit einer unbekannten Lichtquelle ein Maximum 2. Ordnung unter $\varphi = 38,0°$ gefunden.
- a) Berechnen Sie die Gitterkonstante.
- b) Berechnen Sie die unbekannte Wellenlänge.
- c) Beurteilen Sie den Einfluss einer Winkelunsicherheit von $\pm 0,5°$ auf die berechnete Wellenlänge.
Auswertung, Genauigkeit und Auflösungsvermögen
Grafische Auswertung
Aus mehreren Ordnungen $k$ lässt sich $\lambda$ genauer bestimmen als aus einer einzelnen Messung. Sie tragen $a_k$ über $k$ auf. Wegen $a_k \approx \frac{\lambda L}{g}\cdot k$ liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung
$$m = \frac{\lambda L}{g} \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{m\,g}{L}$$Eine Ausgleichsgerade mittelt zufällige Messfehler der einzelnen Punkte. Ein einzelner Ausreißer fällt außerdem sofort auf.
Messunsicherheit des Winkels
Aus $\lambda = g\sin\varphi/k$ folgt für eine kleine Winkelunsicherheit $\Delta\varphi$ (im Bogenmaß) die relative Unsicherheit
$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{\cos\varphi}{\sin\varphi}\,\Delta\varphi = \frac{\Delta\varphi}{\tan\varphi}$$Große Winkel sind also günstiger: Derselbe Ablesefehler macht bei $\varphi = 40°$ einen kleineren relativen Fehler als bei $\varphi = 5°$. Deshalb wählt man möglichst eine höhere Ordnung oder ein feineres Gitter.
Schärfe der Maxima und Auflösungsvermögen
Beim Doppelspalt sind die Maxima breit und lichtschwach. Beim Gitter mit $N$ beleuchteten Spalten sind sie schmal und hell. Der Grund: Schon bei einer kleinen Abweichung vom Maximum summieren sich die vielen Wellen mit allmählich wachsender Phasenverschiebung zu fast null. Das erste Minimum neben dem Maximum liegt bei
$$\Delta\varphi \approx \frac{\lambda}{N\,g\,\cos\varphi}$$Je größer $N g$ (die beleuchtete Gitterbreite), desto schmaler das Maximum. Zwei Linien mit kleinem Unterschied $\Delta\lambda$ lassen sich trennen, wenn ihr Winkelabstand mindestens so groß ist wie diese Breite (Rayleigh-Kriterium).
Für einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g$ und Schirmabstand $L \gg g$ gilt für den Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte $a_k \approx \frac{k\lambda L}{g}$. a)…
Für einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g$ und Schirmabstand $L \gg g$ gilt für den Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte $a_k \approx \frac{k\lambda L}{g}$.
- a) Leiten Sie die Formel über den Gangunterschied $\Delta s = g\sin\varphi$ her und geben Sie die Gültigkeitsbedingung an.
- b) Bei einem Versuch wurden für $k = 1,\ldots,4$ die Werte $a_k = 6,3;\ 12,5;\ 19,0;\ 25,2\ \text{mm}$ mit $L = 2,50\ \text{m}$ und $g = 0,25\ \text{mm}$ gemessen. Bestimmen Sie $\lambda$ aus der Steigung des $a_k$-$k$-Diagramms.
- c) Begründen Sie, warum die grafische Auswertung zuverlässiger ist.
Der Unterschied zwischen Doppelspalt und Gitter soll untersucht werden. a) Erklären Sie, warum die Maxima beim Gitter mit vielen Spalten schärfer und heller sind als…
Der Unterschied zwischen Doppelspalt und Gitter soll untersucht werden.
- a) Erklären Sie, warum die Maxima beim Gitter mit vielen Spalten schärfer und heller sind als beim Doppelspalt.
- b) Ein Gitter mit $N = 1.000$ beleuchteten Spalten hat bei $g = 2,0\ \mu\text{m}$ die Breite $N g$. Schätzen Sie die Winkelbreite eines Maximums 1. Ordnung bei $\lambda = 600\ \text{nm}$ ab (Minimum bei $\Delta\varphi \approx \frac{\lambda}{N g\cos\varphi}$).
- c) Beurteilen Sie damit das Auflösungsvermögen für zwei Linien mit Abstand $\Delta\lambda = 0,6\ \text{nm}$.
Auf einen Blick
Zurück zum Anfang: Mit der Maximumsbedingung folgt die Wellenlänge des Laserpointers aus nur zwei gemessenen Längen, $a$ und $L$, und der bekannten Gitterkonstante.