Aufgaben: Die Unschärferelation

$1927$ formulierte Heisenberg die Unschärferelation.

1. a) Formulieren Sie sie mit eigenen Worten.
2. b) Welches Größenpaar setzt sie in Beziehung? Schreiben Sie ihren mathematischen Ausdruck auf.
3. c) Erklären Sie, was $\Delta x$ und $\Delta p$ in diesem Ausdruck bedeuten: Was stellt jede Unschärfe dar?

Ein Mitschüler behauptet: „Die Unschärferelation kommt daher, dass unsere Messinstrumente unvollkommen sind; mit besseren Geräten würde sie verschwinden.“

1. a) Erklären Sie, ob diese Aussage richtig ist: Ist die Relation eine technische Einschränkung oder eine grundlegende Eigenschaft der Natur?
2. b) Nennen Sie den Unterschied zwischen der Quantenunschärfe $\Delta x$ und dem gewöhnlichen Messfehler eines Lineals oder einer Stoppuhr.

Ein Elektron ist in einem Bereich der Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (der Größe eines Atoms) eingeschlossen. Die Unschärferelation lautet $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ mit $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Unschärfe seines Impulses $\Delta p$.
2. b) Wäre das Elektron in einem zehnmal kleineren Bereich eingeschlossen, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, wie groß wäre $\Delta p$? Begründen Sie die Proportionalität.

In einem Experiment ist der Impuls eines Protons mit einer Unschärfe $\Delta p = 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ bekannt. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Lösen Sie den Ausdruck $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ nach $\Delta x$ auf und berechnen Sie die minimale Unschärfe seines Ortes.
2. b) Vergleichen Sie diese Größe mit der eines Atoms ($10^{-10}\ \text{m}$): Ist das Proton besser oder schlechter lokalisiert als die Größe eines Atoms?

Ein Fußball bewegt sich über das Spielfeld und unterliegt im Prinzip ebenfalls der Unschärferelation.

1. a) Erklären Sie anhand des Wertes von $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, warum die Relation für Alltagsgegenstände keine praktischen Folgen hat.
2. b) Welche zwei Eigenschaften makroskopischer Objekte (Masse und Größe) führen dazu, dass die Quantenunschärfen gegenüber den gewöhnlichen Messungen vernachlässigbar sind?

Ein Elektron hat eine Impulsunschärfe von $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Gegeben: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der typischen Geschwindigkeit eines Elektrons im Atom von der Größenordnung $10^{6}\ \text{m/s}$ (gegeben) und erläutern Sie, was dieser Vergleich bedeutet.

Gehen Sie vom Ausdruck $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ aus und überlegen Sie ohne Taschenrechner:

1. a) Wenn die Ortsunschärfe halbiert wird, was geschieht dann mit der minimalen Impulsunschärfe?
2. b) Und wenn $\Delta x$ mit zehn multipliziert wird?
3. c) Fassen Sie den Zusammenhang zwischen beiden Unschärfen zusammen: Können beide gleichzeitig beliebig klein sein?

In der klassischen Mechanik folgt ein Teilchen einer Bahn: In jedem Augenblick hat es einen genau bestimmten Ort und eine genau bestimmte Geschwindigkeit. In der Quantenmechanik spricht man dagegen von Wahrscheinlichkeiten und Orbitalen.

1. a) Erklären Sie mithilfe der Unschärferelation, warum der Begriff einer exakten Bahn für ein Elektron seinen Sinn verliert.
2. b) Welche Information liefert ein Orbital über das Elektron anstelle seiner Bahn?
3. c) Setzen Sie das Obige in Beziehung zum Übergang vom bohrschen Atommodell (Bahnen) zum heutigen quantenmechanischen Modell (Orbitale).

Ein Elektron ist in einem Atom der Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ eingeschlossen. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Unschärfe seines Impulses $\Delta p$.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) Die typische Geschwindigkeit des Elektrons im Atom liegt in der Größenordnung von $10^{6}\ \text{m/s}$ (gegeben): Vergleichen Sie $\Delta v$ mit dieser Geschwindigkeit und erklären Sie, warum es nicht sinnvoll ist, dem Elektron eine genaue Bahn zuzuordnen.

Vor der Entdeckung des Neutrons nahm man an, der Atomkern könne Elektronen enthalten. Prüfen Sie mithilfe der Unschärferelation, was geschähe, wenn ein Elektron in einem Kern der Größe $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$ eingeschlossen wäre. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ und $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe des Elektrons.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit.
3. c) Vergleichen Sie $\Delta v$ mit der Lichtgeschwindigkeit und ziehen Sie die Schlussfolgerung: Kann ein Elektron stabil im Kern eingeschlossen sein?

Eine Gewehrkugel von $10\ \text{g}$ durchquert einen Detektor, der ihren Ort mit einer Unschärfe $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$ bestimmt. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe der Kugel.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe ihrer Geschwindigkeit.
3. c) Die Kugel hat eine Geschwindigkeit von $400\ \text{m/s}$: Berechnen Sie den Quotienten $\frac{\Delta v}{v}$ und folgern Sie, ob die Quantenunschärfe bei dieser Messung merklich ist.

Ein Staubkorn der Masse $10^{-6}\ \text{kg}$ wird mit einem Mikroskop beobachtet, das seinen Ort mit einer Unschärfe $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$ bestimmt. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe der Geschwindigkeit.
3. c) Das Korn bewegt sich mit $10^{-3}\ \text{m/s}$: Begründen Sie, ob die Quantenunschärfe für die Beschreibung seiner Bewegung eine Rolle spielt.

In einem Beschleuniger bewegt sich ein Proton mit $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, wobei die Geschwindigkeit mit einer Unschärfe $\Delta v = 10^{4}\ \text{m/s}$ gemessen wird. Gegeben: $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ und $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie den Impuls des Protons $p = m_p\cdot v$.
2. b) Berechnen Sie die Impulsunschärfe $\Delta p = m_p\cdot\Delta v$.
3. c) Wenden Sie die Unschärferelation an und berechnen Sie die minimale Ortsunschärfe.
4. d) Berechnen Sie die relative Unschärfe $\frac{\Delta v}{v}$ in Prozent.

In der Nanotechnologie werden Elektronen in „Quantenkästen“ unterschiedlicher Größe eingeschlossen. Betrachten Sie zwei Fälle: Kasten A mit $\Delta x_A = 1\ \text{nm}$ und Kasten B mit $\Delta x_B = 0,1\ \text{nm}$. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. Die Abbildung vergleicht die beiden Kästen.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe in jedem Kasten.
2. b) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{\Delta p_B}{\Delta p_A}$.
3. c) Erklären Sie anhand der Formel der Unschärferelation den umgekehrten Zusammenhang zwischen der Größe des Einschlusses und der Impulsunschärfe.

Ein Elektron und ein Proton sind jeweils in einem Bereich gleicher Größe $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ eingeschlossen. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ und $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Welches der beiden Teilchen hat die größere minimale Impulsunschärfe? Begründen Sie anhand der Formel: Kommt die Masse darin vor?
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsunschärfe jedes Teilchens.
3. c) Erklären Sie, warum die Masse keinen Einfluss auf $\Delta p$, wohl aber auf $\Delta v$ hat, und welche Folge das für das schwerere Teilchen hat.

In einem modernen Chip ist ein Elektron in einem Transistor der Breite $10\ \text{nm}$ eingeschlossen. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe des Elektrons.
2. b) Berechnen Sie die Unschärfe seiner Geschwindigkeit.
3. c) Wenn die Industrie die Größe des Transistors auf $1\ \text{nm}$ verkleinert, was geschieht dann mit $\Delta v$? Erläutern Sie, welche Herausforderung dies für die Miniaturisierung der Elektronik darstellt.

Das bohrsche Modell zeichnet das Elektron auf einer Kreisbahn mit dem Radius $r = 5,3\cdot10^{-11}\ \text{m}$. Angenommen, wir wollten dieser Bahn folgen und kennten den Ort mit einer Unschärfe von $10\%$ des Radius, $\Delta x = 5,3\cdot10^{-12}\ \text{m}$. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Die Abbildung zeigt die Bahn mit der angenommenen Unschärfe.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe, die die Unschärferelation vorgibt.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsunschärfe.
3. c) Die Geschwindigkeit des Elektrons auf der ersten bohrschen Bahn beträgt $2,2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ (gegeben): Vergleichen Sie $\Delta v$ damit und folgern Sie, ob das Bild einer exakten Bahn mit der Quantenmechanik vereinbar ist.

Sie können die Aufgabe auf Papier bearbeiten und ein Foto Ihrer Lösung einsenden.

Heisenberg stellte sich ein Mikroskop vor, mit dem man ein Elektron lokalisieren kann: Um es mit einer Auflösung $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ zu „sehen“, muss man es mit Photonen vergleichbarer Wellenlänge $\lambda = 10^{-10}\ \text{m}$ beleuchten, deren Impuls $p_{Photon} = \frac{h}{\lambda}$ beträgt. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Betrachten Sie die Skizze des Gedankenexperiments:

1. a) Berechnen Sie den Impuls des verwendeten Photons.
2. b) Wenn das Photon beim Stoß einen Impuls dieser Größenordnung auf das Elektron überträgt, berechnen Sie die dadurch im Elektron hervorgerufene Geschwindigkeitsunschärfe.
3. c) Erklären Sie die Idee des Gedankenexperiments: Je genauer der Ort gemessen wird, desto stärker wird der Impuls gestört. Differenzieren Sie anschließend: Die Unschärferelation ist noch grundlegender als eine bloße Störung durch die Messung. Was besagt sie über die Natur des Teilchens vor der Messung?

Stellen Sie sich ein Universum vor, in dem das plancksche Wirkungsquantum viel größer wäre. In dieser Aufgabe arbeiten wir mit einem Ball von $0,15\ \text{kg}$, der mit einer Unschärfe $\Delta x = 10^{-3}\ \text{m}$ lokalisiert ist. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Berechnen Sie mit dem realen Wert von $h$ die minimale Geschwindigkeitsunschärfe des Balls.
2. b) Lösen Sie den Ausdruck der Unschärferelation nach $h$ auf und berechnen Sie, welchen Wert dieses haben müsste, damit bei gleichem $\Delta x$ die Geschwindigkeitsunschärfe merklich wäre, zum Beispiel $\Delta v = 0,01\ \text{m/s}$.
3. c) Um wie viele Größenordnungen wäre dieser Wert größer als die reale Konstante?
4. d) Stellen Sie sich die Folgen in diesem Universum vor: Beschreiben Sie begründet, wie sich die Bewegung alltäglicher Gegenstände veränderte, wenn sich die Unschärferelation im menschlichen Maßstab bemerkbar machte.

Mit der Unschärferelation lässt sich die minimale Energie eines eingeschlossenen Teilchens abschätzen: Liegt der Impuls in der Größenordnung von $\Delta p$, so liegt seine kinetische Energie in der Größenordnung von $E_{\text{kin}} \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ und $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Schätzen Sie die minimale kinetische Energie eines in einem Atom eingeschlossenen Elektrons $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ ab und geben Sie sie in Elektronenvolt an. Vergleichen Sie sie mit den typischen Energien chemischer Bindungen von einigen wenigen Elektronenvolt (gegeben).
2. b) Schätzen Sie die minimale kinetische Energie eines in einem Kern eingeschlossenen Protons $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$ ab und geben Sie sie in $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$) an.
3. c) Folgern Sie: Erklären Sie, wie die Unschärferelation begründet, dass die Energien kernphysikalischer Prozesse millionenfach größer sind als die atomarer Prozesse.

Wir schließen im selben Bereich $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$ ein Staubkorn von $10^{-15}\ \text{kg}$ und ein Elektron ein. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe: Ist sie für beide gleich? Begründen Sie.
2. b) Berechnen Sie die Geschwindigkeitsunschärfe des Staubkorns und die des Elektrons.
3. c) Begründen Sie anhand der Ergebnisse, welche Größe entscheidet, ob Quanteneffekte für ein Objekt relevant sind: die Größe des Einschlusses, die Masse oder beide.
4. d) Extrapolieren Sie: Erklären Sie, warum in keinem Laborexperiment jemals eine merkliche Quantenunschärfe bei mit bloßem Auge sichtbaren Objekten beobachtet wurde.

Ein Schüler schreibt in einer Klausur: „Mit einem perfekten Messgerät könnte ich Ort und Impuls eines Elektrons gleichzeitig beliebig genau kennen; die Unschärferelation spiegelt nur die schlechte Qualität der heutigen Geräte wider.“ Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Benennen Sie den begrifflichen Fehler der Aussage und korrigieren Sie sie.
2. b) Stützen Sie sich auf Zahlen: Wenn das „perfekte Instrument“ die Ortsmessung von $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ auf $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$ verbessert, berechnen Sie, um welchen Faktor die minimale Impulsunschärfe zunimmt.
3. c) Gibt es einen Wert von $\Delta x$, für den $\Delta p$ aufhört zu wachsen oder null werden kann? Begründen Sie anhand des Ausdrucks $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Ein Elektronenstrahl mit der Geschwindigkeit $v = 10^{7}\ \text{m/s}$ durchquert einen schmalen Spalt der Breite $\Delta y = 10^{-7}\ \text{m}$. Beim Durchgang ist die vertikale Position jedes Elektrons mit dieser Unschärfe festgelegt, wodurch sich der Strahl aufweitet. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Die Abbildung zeigt die Geometrie des Versuchsaufbaus.

1. a) Berechnen Sie die minimale Unschärfe der vertikalen Impulskomponente $\Delta p_y$.
2. b) Berechnen Sie den Impuls des Elektrons $p = m_e\cdot v$ und schätzen Sie den Öffnungswinkel des Strahls $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}$ im Bogenmaß ab.
3. c) Schätzen Sie die Breite des Strahls auf einem Schirm im Abstand $L = 1\ \text{m}$ ab, als $2\cdot L\cdot\theta$, und geben Sie sie in Millimetern an.
4. d) Sagen Sie voraus, was geschieht, wenn der Spalt auf $10^{-8}\ \text{m}$ verengt wird, und setzen Sie dieses Ergebnis in Beziehung zur Beugung: Warum streut eine kleinere Öffnung den Strahl stärker?

Die newtonsche Mechanik ist deterministisch: Sind zu einem Zeitpunkt Ort und Impuls aller Teilchen eines Systems exakt bekannt, sagen die Bewegungsgleichungen seine gesamte Zukunft voraus. Gegeben: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ und $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Argumentieren Sie mit der Unschärferelation, dass dieser „exakte Anfangszustand“ nicht existieren kann: Berechnen Sie die minimale Impulsunschärfe eines Elektrons, dessen Ort mit $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ bekannt wäre, und die zugehörige Geschwindigkeitsunschärfe.
2. b) Wenn der Anfangszustand nicht exakt bekannt sein kann, welche Art von Vorhersagen trifft die Quantenphysik über das Ergebnis einer Messung?
3. c) Erklären Sie, warum die newtonsche Mechanik trotzdem für einen Ball, ein Auto oder einen Planeten so gut funktioniert, indem Sie sich auf den Wert von $h$ und auf die Massen dieser Objekte stützen.

Themenprojekt. Wie zeigt sich die Quantenphysik in deinem Alltag? Untersuche den Welle-Teilchen-Dualismus und die Quantengrenze anhand eines Solarbauteils und eines optischen Musters, das du zu Hause erzeugst.

1. Messung zu Hause und Dualismus: Richte das Licht eines Laserpointers mit geringer Leistung (niemals auf die Augen oder reflektierende Flächen richten) auf ein senkrecht befestigtes Haar vor einer Wand, die in einem Abstand $L$ steht, den du mit einer Unsicherheit $\pm 0,01\text{ m}$ misst (beginne mit $L \approx 1,50\text{ m}$). Miss mit einem Lineal die Breite des zentralen Maximums (Abstand zwischen den beiden Minima erster Ordnung) für 4 verschiedene Abstände $L$, erstelle eine Tabelle mit Unsicherheiten und trage die Daten in einem Diagramm auf, um bei bekannter Dicke $a$ des Haares (miss oder schätze sie mit ihrer Unsicherheit) die Wellenlänge $\lambda$ und den Impuls des Photons ($p = h/\lambda$) zu ermitteln. Begründe, welche Masse ein Teilchen mit derselben Wellenlänge nach de Broglie in Abhängigkeit von seiner Geschwindigkeit $v$ (nicht relativistisch) haben müsste.

2. Fotoeffekt: Miss die Fläche einer kleinen Solarzelle oder eines Solartaschenrechners. Recherchiere beim Deutschen Wetterdienst die Globalstrahlung deiner Region ($W/\text{m}^2$) und schätze unter der Annahme einer mittleren Photonenenergie des Sonnenlichts von $\approx 1,5\text{--}2\text{ eV}$ ab, wie viele Photonen pro Sekunde die Schwellenenergie von Silizium ($W_0 = 1,12\text{ eV}$) zum Freisetzen von Elektronen überschreiten.

3. Unschärferelation: Nimm die Dicke des Haares als Ortsunschärfe des Photons an ($\Delta x$). Wende $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$ an, um die theoretische Unschärfe seines Impulses zu berechnen, und überlege, warum dieser Effekt im makroskopischen Maßstab nicht bemerkbar ist.

4. Abschlussprodukt: Erstelle einen kurzen Bericht (zwei Seiten) mit Tabelle, Diagramm, Berechnungen und Schlussfolgerungen.

Bewertet werden:

• Sorgfalt bei der experimentellen Messung zu Hause, Behandlung der Unsicherheiten und grafische Darstellung.

• Rechnerische Korrektheit bei der Anwendung der Gesetze von de Broglie, Einstein und Heisenberg.

• Verwendung und Interpretation der realen Daten zur Sonneneinstrahlung.