Abhängigkeiten der Schwingungsdauer beim Federpendel
Auf dem Spielplatz im Stadtpark schaukeln Ben und seine kleine Schwester Mia. Jeder Schwung dauert gleich lang, egal ob Mia nur ein bisschen oder weit ausschwingt. Gilt das auch für eine Masse an einer Feder? Und was ändert sich, wenn man die Masse oder die Feder wechselt? In diesem Abschnitt planst du ein Experiment dazu, wertest es aus und überprüfst das Ergebnis mit einem Modell.
Das Experiment planen
Eine Masse $m$ hängt an einer Schraubenfeder mit der Federkonstante $D$. Du lenkst sie um $\hat y$ aus der Gleichgewichtslage aus und lässt los. Gemessen wird die Periodendauer (Schwingungsdauer) $T$: die Zeit für eine vollständige Schwingung.
Fragestellung: Wie hängt $T$ von $m$, von $D$ und von der Amplitude $\hat y$ ab?
Bei jedem Versuch gilt die Regel: Nur eine Größe wird variiert, die anderen bleiben konstant.
| Untersuchte Abhängigkeit | variiert | konstant |
|---|---|---|
| $T(m)$ | Masse $m$ | $D$ (dieselbe Feder), $\hat y$ |
| $T(D)$ | Feder, also $D$ | $m$, $\hat y$ |
| $T(\hat y)$ | Amplitude $\hat y$ | $m$, $D$ |
Die Stoppuhr hat einen Messfehler von etwa $0{,}2\ \text{s}$ (Reaktionszeit). Bei einer einzelnen Schwingung von $0{,}5\ \text{s}$ wäre das ein riesiger Fehler. Deshalb misst du die Zeit für 10 Schwingungen und teilst durch 10. Zusätzlich wiederholst du jede Messung mehrmals und bildest den Mittelwert. Genauer geht es mit einem Ultraschall-Abstandssensor und einem Rechner, der $y(t)$ aufzeichnet.
Beschreiben Sie, wie man im Schullabor die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse untersucht. Nennen Sie die Messgrößen, die konstant gehalten werden müssen,…
Beschreiben Sie, wie man im Schullabor die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Masse untersucht. Nennen Sie die Messgrößen, die konstant gehalten werden müssen, und eine Möglichkeit, den Messfehler der Zeit zu verkleinern.
Wovon hängt T ab?
Mit der interaktiven Simulation kannst du Masse und Federkonstante ändern und die Periodendauer beobachten.
Typische Messergebnisse:
-
Größere Masse → längere Periodendauer (träger).
-
Härtere Feder (größeres $D$) → kürzere Periodendauer.
-
Andere Amplitude → keine Änderung von $T$.
Das Modell dahinter: Die rücktreibende Kraft ist nach dem Hooke'schen Gesetz proportional zur Auslenkung, $F = -D \cdot y$. Aus dem 2. newtonschen Gesetz folgt für diese Schwingung
Warum ist $T$ von der Amplitude unabhängig? Eine größere Auslenkung bedeutet eine größere Kraft ($F \sim y$) und damit eine größere Beschleunigung. Dafür ist der Weg länger. Beides gleicht sich genau aus. Voraussetzung: Die Rückstellkraft ist wirklich proportional zu $y$ (die Feder bleibt im elastischen Bereich) und die Dämpfung ist klein.
Bei einem vertikalen Pendel verschiebt die Gewichtskraft nur die Gleichgewichtslage nach unten. Die Formel gilt unverändert, $y$ wird von dieser neuen Lage aus gemessen.
Ein Federpendel mit der Federkonstante $D = 20\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ trägt die Masse $m = 0,50\ \text{kg}$. a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer…
Ein Federpendel mit der Federkonstante $D = 20\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ trägt die Masse $m = 0,50\ \text{kg}$.
- a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{D}}$.
- b) Berechnen Sie die Frequenz.
Bei einem Federpendel wird die Masse vervierfacht. a) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert. b) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn die…
Bei einem Federpendel wird die Masse vervierfacht.
- a) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert.
- b) Geben Sie an, wie sich die Schwingungsdauer ändert, wenn die Amplitude verdoppelt wird.
Mehrere Federn kombinieren
Hängt man dieselbe Masse an zwei Federn, verhält sich die Anordnung wie eine Feder mit der Ersatzfederkonstante $D_{\text{ers}}$.
Parallel: Beide Federn werden um dasselbe $y$ gedehnt, die Kräfte addieren sich: $D_{\text{ers}} \cdot y = D_1 y + D_2 y$.
Hintereinander: Beide Federn tragen dieselbe Kraft $F$, die Dehnungen addieren sich: $\dfrac{F}{D_{\text{ers}}} = \dfrac{F}{D_1} + \dfrac{F}{D_2}$.
Zwei Federn mit $D_1 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ und $D_2 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ werden einmal parallel und einmal hintereinander an dieselbe Masse…
Zwei Federn mit $D_1 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ und $D_2 = 10\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ werden einmal parallel und einmal hintereinander an dieselbe Masse $m = 0,40\ \text{kg}$ geschaltet.
- a) Berechnen Sie die Ersatzfederkonstanten.
- b) Berechnen Sie die jeweiligen Schwingungsdauern.
Messreihen auswerten
Du misst $T$ für verschiedene Massen. Das Diagramm $T(m)$ ist eine gekrümmte Kurve (Wurzelfunktion), und aus ihr lässt sich schlecht ablesen, ob wirklich $T \sim \sqrt{m}$ gilt. Besser ist die Linearisierung: Quadriert man die Formel, folgt
$$T^2 = \frac{4\pi^2}{D} \cdot m$$Trägt man $T^2$ gegen $m$ auf, erhält man eine Ursprungsgerade mit der Steigung $\dfrac{4\pi^2}{D}$. Wer das in seiner Messreihe bestätigt, hat $T^2 \sim m$ nachgewiesen.
Bei einem Federpendel wurde gemessen: | $m$ in g | 100 | 200 | 300 | 400 | |---|---|---|---|---| | $T$ in s | 0,41 | 0,58 | 0,71 | 0,82 | a) Berechnen Sie $T^2$ für jede…
Bei einem Federpendel wurde gemessen:
| $m$ in g | 100 | 200 | 300 | 400 |
|---|---|---|---|---|
| $T$ in s | 0,41 | 0,58 | 0,71 | 0,82 |
- a) Berechnen Sie $T^2$ für jede Masse.
- b) Zeigen Sie, dass $T^2 \sim m$ gilt.
- c) Berechnen Sie aus der Steigung die Federkonstante $D = \frac{4\pi^2}{\text{Steigung}}$ (Steigung in $\text{s}^2/\text{kg}$).
Für ein Federpendel soll die Abhängigkeit $T(D)$ bei konstanter Masse $m = 0,30\ \text{kg}$ untersucht werden. Gemessen:…
Für ein Federpendel soll die Abhängigkeit $T(D)$ bei konstanter Masse $m = 0,30\ \text{kg}$ untersucht werden. Gemessen: $D = 5,0;\ 10;\ 20;\ 40\ \frac{\text{N}}{\text{m}}$ mit $T = 1,54;\ 1,09;\ 0,77;\ 0,54\ \text{s}$.
- a) Prüfen Sie rechnerisch, ob $T \sim \frac{1}{\sqrt D}$ gilt.
- b) Beschreiben Sie, welche Auftragung ($T$ gegen was) eine Ursprungsgerade liefert.
- c) Begründen Sie, warum die Amplitude die Schwingungsdauer nicht beeinflusst, und nennen Sie die Voraussetzung dafür.
Der Verlauf y(t) und die Energie
Startet das Pendel in der Gleichgewichtslage mit Bewegung nach oben, beschreibt
$$y(t) = \hat y \cdot \sin(\omega t) \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$$die Elongation. Die Kreisfrequenz $\omega$ hat die Einheit $\text{s}^{-1}$. Im Diagramm $y(t)$ gibt die Steigung der Tangente die Geschwindigkeit an, im Diagramm $v(t)$ die Beschleunigung. Der größte Betrag der Geschwindigkeit tritt beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage auf, der größte Betrag der Beschleunigung an den Umkehrpunkten:
$$v_{\max} = \hat y \cdot \omega \qquad a_{\max} = \hat y \cdot \omega^2$$Die Gesamtenergie der ungedämpften Schwingung ist konstant: In den Umkehrpunkten ist sie reine Spannenergie, in der Gleichgewichtslage reine Bewegungsenergie.
$$E_{\text{ges}} = \tfrac{1}{2} D\, \hat y^2 = \tfrac{1}{2} m\, v_{\max}^2$$Ein Federpendel mit $T = 0,80\ \text{s}$ wird mit der Amplitude $\hat y = 5,0\ \text{cm}$ gestartet. a) Geben Sie $y(t)$ an (Start in der Gleichgewichtslage nach oben).…
Ein Federpendel mit $T = 0,80\ \text{s}$ wird mit der Amplitude $\hat y = 5,0\ \text{cm}$ gestartet.
- a) Geben Sie $y(t)$ an (Start in der Gleichgewichtslage nach oben).
- b) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Grenzen des Modells: Federmasse und Dämpfung
Die Formel $T = 2\pi\sqrt{m/D}$ ist ein Modell. Es setzt voraus, dass die Feder masselos ist und keine Reibung auftritt. Reale Messungen weichen davon ab.
Federmasse. Auch die Feder (Masse $m_F$) schwingt mit, aber nicht alle Windungen gleich stark. Genauer gilt
$$T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}} \quad\Rightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{D}\,m + \frac{4\pi^2}{D}\cdot\frac{m_F}{3}$$Im $T^2$-$m$-Diagramm entsteht dann eine Gerade mit positivem Achsenabschnitt $\dfrac{4\pi^2 m_F}{3D}$. Die Steigung bleibt $\dfrac{4\pi^2}{D}$. Bei großen Massen ($m \gg m_F$) ist die Vernachlässigung zulässig.
Dämpfung. Durch Luftreibung und innere Reibung der Feder verliert das Pendel Energie. Im $y(t)$-Diagramm werden die Maxima kleiner (die Einhüllende fällt ab). Bei schwacher Dämpfung bleibt $T$ praktisch unverändert, der Abstand der Nulldurchgänge ändert sich kaum.
Mit einem Ultraschall-Abstandssensor und einem Rechner wird $y(t)$ eines vertikalen Federpendels aufgezeichnet. Für $m = 0,250\ \text{kg}$ ergibt die Sinusanpassung…
Mit einem Ultraschall-Abstandssensor und einem Rechner wird $y(t)$ eines vertikalen Federpendels aufgezeichnet. Für $m = 0,250\ \text{kg}$ ergibt die Sinusanpassung $T = 0,70\ \text{s}$ und $\hat y = 4,2\ \text{cm}$. Die Federmasse wird vernachlässigt.
- a) Berechnen Sie $D$.
- b) Berechnen Sie die Gesamtenergie der Schwingung.
- c) Die Messung wird für größere Zeiten leicht gedämpft. Beschreiben Sie, wie sich das im Diagramm zeigt, und beurteilen Sie, ob $T$ merklich beeinflusst wird.
Die Masse der Feder $m_F$ wird oft vernachlässigt; genauer gilt $T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}}$. Ein Versuch liefert für $m = 0,100\ \text{kg}$:…
Die Masse der Feder $m_F$ wird oft vernachlässigt; genauer gilt $T = 2\pi\sqrt{\frac{m + m_F/3}{D}}$. Ein Versuch liefert für $m = 0,100\ \text{kg}$: $T = 0,640\ \text{s}$ und für $m = 0,300\ \text{kg}$: $T = 1,030\ \text{s}$.
- a) Bestimmen Sie $D$ und $m_F$ aus den beiden Messungen.
- b) Beurteilen Sie, bei welchen Massen die Vernachlässigung von $m_F$ zulässig ist.
- c) Beschreiben Sie, wie sich der Achsenabschnitt im $T^2$-$m$-Diagramm deuten lässt.
Zurück zum Anfang: Wie bei der Schaukel auf dem Spielplatz hängt die Schwingungsdauer nicht von der Weite des Ausschlags ab, sondern von der Trägheit (Masse) und der Rückstellung (Federkonstante).
Auf einen Blick
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$T$ ist die Zeit für eine vollständige Schwingung. Zur genaueren Messung: mehrere Schwingungen messen, mehrfach wiederholen, nur eine Größe variieren.
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$T = 2\pi\sqrt{m/D}$, also $T \sim \sqrt{m}$, $T \sim 1/\sqrt{D}$ und keine Abhängigkeit von $\hat y$ (solange $F \sim y$ und die Dämpfung klein ist).
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Linearisierung: $T^2$ gegen $m$ ergibt eine Ursprungsgerade mit Steigung $4\pi^2/D$.
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Ersatzfederkonstante: parallel $D_1 + D_2$, in Reihe $1/D_{\text{ers}} = 1/D_1 + 1/D_2$.
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$y(t) = \hat y \sin(\omega t)$ mit $\omega = 2\pi/T$; $v_{\max} = \hat y\omega$, $a_{\max} = \hat y\omega^2$; $E_{\text{ges}} = \tfrac12 D\hat y^2$.
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Grenzen: Federmasse ($m + m_F/3$, Achsenabschnitt) und Dämpfung (sinkende Amplitude, $T$ fast konstant).