Huygens'sches Prinzip in der Wellenwanne

Das Huygens'sche Prinzip

In der Wellenwanne taucht ein Erreger in flaches Wasser und erzeugt Wellen. Ein punktförmiger Erreger liefert Kreiswellen, ein langer Balken liefert ebene Wellen. Als Wellenfront bezeichnet man dabei eine Linie, auf der alle Punkte im gleichen Schwingungszustand sind, z. B. alle Wellenberge einer Welle.

Konstruktion der Wellenfront nach der Zeit $\Delta t$: Zeichne um viele Punkte der Front Kreise mit dem Radius $r = c \cdot \Delta t$. Die gemeinsame Einhüllende aller Kreise ist die neue Front.

Die Wellengeschwindigkeit ergibt sich aus Wellenlänge und Frequenz: $c = \lambda \cdot f$. Bei gleicher Wassertiefe ist $c$ konstant. Verdoppelt man $f$, halbiert sich also $\lambda$.

Reflexion und Brechung

Reflexion

Trifft eine ebene Welle unter dem Einfallswinkel $\alpha$ (gemessen gegen das Lot) auf eine glatte Wand, erreicht zuerst ein Rand der Front die Wand. Dort startet eine Elementarwelle, während der Rest der Front noch läuft. Wenn die letzte Stelle die Wand erreicht, hat die erste Elementarwelle schon einen Halbkreis mit Radius $c \cdot \Delta t$ gebildet. Die Einhüllende der Halbkreise ist die reflektierte Front. Betrachte die beiden rechtwinkligen Dreiecke an der Wand: Sie haben die Wandstrecke als gemeinsame Hypotenuse und je eine Kathete der Länge $c \cdot \Delta t$ (einfallende Front bzw. Radius des Halbkreises). Sie sind daher kongruent, ihre Winkel an der Wand sind gleich. Daraus folgt das Reflexionsgesetz $\alpha = \alpha'$.

Brechung

Läuft die Welle in ein Medium mit anderer Ausbreitungsgeschwindigkeit, z. B. von tiefem in flaches Wasser, bleibt die Frequenz gleich, aber $c$ ändert sich. Wegen $c = \lambda f$ ändert sich auch $\lambda$:

Die Elementarwellen im langsameren Medium haben in gleicher Zeit einen kleineren Radius. Die Front knickt ab. Aus den Dreiecken an der Grenze mit der gemeinsamen Hypotenuse $\Delta s$ gilt $\sin\alpha = \frac{c_1 \Delta t}{\Delta s}$ und $\sin\beta = \frac{c_2 \Delta t}{\Delta s}$. Daraus folgt das Brechungsgesetz:

Ist $c₂ < c_1$, ist $\beta < \alpha$: Die Welle wird zum Lot hin gebrochen. Die Frequenz ändert sich nicht, denn der Erreger gibt den Takt vor.

Totalreflexion

Geht die Welle in ein Medium mit größerem $c$ über, wird sie vom Lot weg gebrochen. Ab dem Grenzwinkel $\alpha_g$ gilt $\beta = 90°$:

Für größere Winkel gibt es keine gebrochene Welle mehr, sie wird vollständig reflektiert.

Dabei ist $c_1$ immer die Geschwindigkeit im Medium, aus dem die Welle kommt, und $c_2$ die im Medium dahinter. Totalreflexion ist nur möglich, wenn $c_2 > c_1$ gilt, die Welle also aus dem langsameren ins schnellere Medium läuft. Sonst wäre $\frac{c_1}{c_2} > 1$, und es gäbe keinen Grenzwinkel.

Beugung

Eine ebene Welle trifft auf eine Öffnung. Nach Huygens wirkt jeder Punkt der Öffnung als Quelle einer Elementarwelle.

• Ist die Öffnung viel breiter als $\lambda$, überlagern sich viele Elementarwellen. Sie bilden in der Mitte wieder eine ebene Front, nur an den Rändern entstehen Kreisbögen. Es gibt einen fast geradlinigen Strahl mit Schattenraum.

• Ist die Öffnung etwa so breit wie $\lambda$, wirkt sie wie ein einziger Erreger: Hinter ihr läuft eine nahezu kreisförmige Welle.

Dieses Eindringen in den geometrischen Schattenraum heißt Beugung. Sie ist umso stärker, je kleiner die Öffnung (oder das Hindernis) im Verhältnis zur Wellenlänge ist.

Interferenz zweier Erreger

Zwei punktförmige Erreger schwingen gleichphasig mit gleicher Frequenz. Ihre Kreiswellen überlagern sich (Superposition). In jedem Punkt P addieren sich die Auslenkungen. Entscheidend ist der Gangunterschied $\Delta s = |s_1 - s_2|$:

Warum? Bei $\Delta s = k\lambda$ kommt von beiden Erregern ein Wellenberg gleichzeitig an. Bei einem halben $\lambda$ Unterschied trifft ein Berg auf ein Tal.

Mit zwei Erregern (oder einem Doppelspalt, vor dem eine ebene Welle läuft) entsteht dasselbe Muster aus Bauch- und Knotenlinien. Bei vielen gleichen Spalten (Gitter) gilt für die Maxima $\sin\alpha_k = \frac{k\lambda}{g}$; dies behandelt die Seite zur Wellenlängenbestimmung mit Doppelspalt und Gitter.

Auf einen Blick

• Huygens'sches Prinzip: Jeder Punkt einer Wellenfront sendet Elementarwellen aus, deren Einhüllende die neue Front ist.

• Wellenwanne: $c = \lambda \cdot f$, bei gleicher Tiefe gilt: doppelte Frequenz, halbe Wellenlänge.

• Reflexion: $\alpha = \alpha'$, gemessen gegen das Lot.

• Brechung: $f$ bleibt gleich. Es gilt $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{c_1}{c_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$. Totalreflexion ab $\sin\alpha_g = \frac{c_1}{c_2}$ bei $c_2 > c_1$.

• Beugung: stark, wenn die Öffnung etwa so groß ist wie $\lambda$.

• Interferenz: konstruktiv bei $\Delta s = k\lambda$, destruktiv bei $\Delta s = (k + \tfrac12)\lambda$.

Zurück zum Anfang: Die Welle des Schiffs wird an der Kaimauer reflektiert, weil Elementarwellen an der Wand die Front zurückwerfen, und sie dringt durch eine enge Hafeneinfahrt als Kreiswelle ins Becken ein, weil die Öffnung dann wie ein einzelner Erreger wirkt.