Auswertung von Öltröpfchen-Messungen
Ein winziges Öltröpfchen schwebt scheinbar schwerelos zwischen zwei Metallplatten. Wie kann man aus diesem „Schweben“ die Ladung eines einzelnen Tröpfchens bestimmen – und woran erkennt man, dass es eine kleinste Ladung gibt? Genau das hat Robert Millikan vor über 100 Jahren untersucht. In der Schulsammlung wird eine vereinfachte Version des Versuchs gezeigt.
Aufbau und Schwebebedingung
Ein Zerstäuber sprüht feine Öltröpfchen in den Raum zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten (Abstand $d$). Beim Zerstäuben laden sich die Tröpfchen durch Reibung auf. Durch ein Mikroskop wird ein einzelnes Tröpfchen beobachtet. Zwischen den Platten liegt die Spannung $U$ einer regelbaren Spannungsquelle an.
Wird $U$ so eingestellt, dass das Tröpfchen ruht, sind die Kräfte im Gleichgewicht: Die elektrische Kraft $F_{el} = q \cdot E$ zeigt nach oben, die Gewichtskraft $F_G = m \cdot g$ nach unten. Im homogenen Feld des Plattenkondensators gilt $E = \frac{U}{d}$.
Das Tröpfchen ruht, also ist die Gesamtkraft null (1. newtonsches Gesetz). Die elektrische Kraft muss nach oben zeigen. Bei positiver oberer Platte zeigt $\vec{E}$ nach unten; die Kraft zeigt nach oben, wenn die Ladung negativ ist.
Beschreiben Sie in vier bis fünf Sätzen den Aufbau des vereinfachten Millikan-Versuchs. Nennen Sie dabei: a) die Bauteile (Kondensator, Zerstäuber, Mikroskop,…
Beschreiben Sie in vier bis fünf Sätzen den Aufbau des vereinfachten Millikan-Versuchs. Nennen Sie dabei:
- a) die Bauteile (Kondensator, Zerstäuber, Mikroskop, Spannungsquelle),
- b) die Kräfte, die auf ein schwebendes Öltröpfchen wirken, mit ihren Richtungen.
Beim vereinfachten Millikan-Versuch schwebt ein geladenes Öltröpfchen zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten im Abstand $d = 5,0\ \text{mm}$. Die angelegte…
Beim vereinfachten Millikan-Versuch schwebt ein geladenes Öltröpfchen zwischen zwei horizontalen Kondensatorplatten im Abstand $d = 5,0\ \text{mm}$. Die angelegte Spannung beträgt $U = 400\ \text{V}$. Die Gewichtskraft des Tröpfchens beträgt $F_G = 6,4 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie die elektrische Feldstärke $E = \frac{U}{d}$ zwischen den Platten.
- b) Begründen Sie, warum im Schwebezustand $F_{el} = F_G$ gilt, und berechnen Sie die Ladung $q = \frac{F_G}{E}$ des Tröpfchens.
In einer Schulsammlung in Göttingen schwebt ein Öltröpfchen der Masse $m = 6,5 \cdot 10^{-16}\ \text{kg}$ in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand…
In einer Schulsammlung in Göttingen schwebt ein Öltröpfchen der Masse $m = 6,5 \cdot 10^{-16}\ \text{kg}$ in einem Plattenkondensator mit Plattenabstand $d = 6,0\ \text{mm}$ bei der Spannung $U = 245\ \text{V}$. Verwenden Sie $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Berechnen Sie die Ladung $q$ des Tröpfchens.
- b) Bestimmen Sie, wie viele Elementarladungen ($e = 1,602 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$) dies entspricht.
- c) Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ladung, wenn die obere Platte positiv geladen ist.
Masse des Tröpfchens: Sinkmethode
Die Masse eines so kleinen Tröpfchens kann man nicht wiegen. Man schaltet das Feld aus: Das Tröpfchen sinkt, bis die Reibungskraft der Luft so groß ist wie die Gewichtskraft (abzüglich Auftrieb). Dann sinkt es mit konstanter Geschwindigkeit $v$. Für eine Kugel gilt die Stokes'sche Reibung $F_R = 6\pi\,\eta\, r\, v$ mit der Viskosität $\eta$ der Luft. Aus der gemessenen Sinkgeschwindigkeit folgt also der Radius $r$ und damit die Masse $m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$.
Warum? Bei konstanter Sinkgeschwindigkeit sind Reibungskraft und Gewichtskraft gleich groß (Auftrieb vernachlässigt): $6\pi\,\eta\, r\, v = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \cdot g$. Kürzt man $\pi$ und $r$ und löst nach $r$ auf, erhält man:
Alternativ kennt man bei Aufgaben oft direkt $F_G$, oder man berechnet $m$ aus Dichte und Radius. Ist $F_G$ (abzüglich Auftrieb) gegeben, genügt die Schwebebedingung; die Sinkgeschwindigkeit erklärt dann, wie man die Masse messtechnisch erhält.
Die Messung läuft also in zwei Schritten: Ohne Feld liefert die Sinkgeschwindigkeit die (effektive) Gewichtskraft $F$. Mit eingeschaltetem Feld schwebt das Tröpfchen, und aus $q\cdot E = F$ folgt die Ladung $q = \frac{F}{E}$. Die Sinkgeschwindigkeit selbst geht in diese Rechnung nicht mehr ein.
Ein Öltröpfchen sinkt im ausgeschalteten Feld mit konstanter Geschwindigkeit $v = 0,12\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$. Bei eingeschaltetem Feld (…
Ein Öltröpfchen sinkt im ausgeschalteten Feld mit konstanter Geschwindigkeit $v = 0,12\ \frac{\text{mm}}{\text{s}}$. Bei eingeschaltetem Feld ($E = 5,0 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$) schwebt es. Die Gewichtskraft (abzüglich Auftrieb) beträgt $F = 4,0 \cdot 10^{-14}\ \text{N}$.
- a) Berechnen Sie die Ladung des Tröpfchens.
- b) Erklären Sie, warum die Sinkgeschwindigkeit ohne Feld zur Bestimmung der Tröpfchenmasse genutzt werden kann (Stokes'sche Reibung).
- c) Berechnen Sie die Zahl der Überschusselektronen.
Ein Öltröpfchen (Dichte $\rho = 870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, Radius $r = 0,50\ \mu\text{m}$) schwebt in einem Feld…
Ein Öltröpfchen (Dichte $\rho = 870\ \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}$, Radius $r = 0,50\ \mu\text{m}$) schwebt in einem Feld $E = 1,4 \cdot 10^4\ \frac{\text{V}}{\text{m}}$. Der Auftrieb in Luft ist zu vernachlässigen. $g = 9,81\ \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
- a) Berechnen Sie die Masse des Tröpfchens ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$).
- b) Berechnen Sie die Ladung und die Anzahl der Elementarladungen.
- c) Bewerten Sie, wie sich ein Fehler von 5 % im Radius auf den ermittelten Wert von $n$ auswirkt, und begründen Sie, ob $n$ dennoch eindeutig bestimmbar ist.
Ladungen als Vielfache: die kleinste Ladung
Millikan maß die Ladungen sehr vieler Tröpfchen. Das Überraschende: Die Werte sind nicht beliebig, sondern liegen auf einem „Raster“. Beispiel (in $10^{-19}\,\mathrm{C}$): 3,2; 4,8; 6,4; 8,0; 11,2. Ordnet man die Werte und bildet Differenzen, treten immer wieder ähnliche Abstände auf, hier etwa $1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$.
Das Vorgehen zur Auswertung:
Bei verrauschten Daten (wie 4,81; 6,43; 8,02 …) ordnest du jedem Wert das passende ganzzahlige $n$ zu (Wert durch grobe Schätzung von $e$ teilen und runden) und mittelst dann die Quotienten $q/n$. So wird der Messfehler gemittelt.
Ein Öltröpfchen trägt die Ladung $q = 4,8 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Die Elementarladung beträgt $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. a) Berechnen Sie, wie viele…
Ein Öltröpfchen trägt die Ladung $q = 4,8 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$. Die Elementarladung beträgt $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.
- a) Berechnen Sie, wie viele Elementarladungen das Tröpfchen trägt, $n = \frac{q}{e}$.
- b) Das Tröpfchen nimmt zusätzlich zwei Elektronen auf. Geben Sie die neue Ladung an, wenn die Ausgangsladung positiv war.
Bei fünf Öltröpfchen wurden im Schwebeversuch folgende Ladungen bestimmt: | Tröpfchen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---| | $q$ in $10^{-19}\ \text{C}$ | 3,2…
Bei fünf Öltröpfchen wurden im Schwebeversuch folgende Ladungen bestimmt:
| Tröpfchen | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| $q$ in $10^{-19}\ \text{C}$ | 3,2 | 8,0 | 4,8 | 11,2 | 6,4 |
- a) Berechnen Sie die Differenzen benachbarter, der Größe nach geordneter Ladungswerte.
- b) Schätzen Sie daraus die kleinste Ladung ab.
- c) Geben Sie für jedes Tröpfchen die Anzahl $n$ der Elementarladungen an.
Aussagekraft und Grenzen der Messung
Trägt man die Messwerte als Histogramm auf, sieht man bei kontinuierlich verteilter Ladung eine gleichmäßige Verteilung, bei gequantelter Ladung dagegen Häufungen bei $e, 2e, 3e, \dots$ mit Lücken dazwischen.
Das Raster ist nur erkennbar, wenn die Streuung der Messwerte kleiner ist als der Abstand $e$, grob unter etwa $e/2$. Bei einer Streuung von $\pm0{,}2\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}$ sind die Häufungen noch deutlich getrennt; bei Streuung von der Größenordnung $e$ verschwimmen sie. Tröpfchen mit nur einer oder zwei Elementarladungen sind schwer zu messen, weil die elektrische Kraft dann sehr klein ist und die Brownsche Bewegung sowie Luftströmungen stören.
Aus endlich vielen Messwerten mit Messunsicherheit kann man nur schließen, dass die Daten mit einer kleinsten Ladung verträglich sind und eine kontinuierliche Verteilung sehr unwahrscheinlich ist. Ein strenger Beweis, dass es nie eine kleinere Ladung gibt, ist nicht möglich: Eine noch kleinere Ladung (etwa $e/100$) könnte unterhalb der Auflösung liegen. Die Existenz der Elementarladung ist daher eine durch viele unabhängige Experimente gestützte Aussage.
Bei einem Millikan-Versuch wurden folgende Ladungen gemessen (in $10^{-19}\ \text{C}$): 4,81; 9,60; 6,43; 14,45; 8,02; 11,22; 3,19; 12,86. a) Ordnen Sie die Werte und…
Bei einem Millikan-Versuch wurden folgende Ladungen gemessen (in $10^{-19}\ \text{C}$): 4,81; 9,60; 6,43; 14,45; 8,02; 11,22; 3,19; 12,86.
- a) Ordnen Sie die Werte und berechnen Sie die Differenzen aufeinanderfolgender Werte.
- b) Begründen Sie, dass die Messwerte auf eine kleinste Ladung hindeuten, und bestimmen Sie diese durch Mittelung der Quotienten $q/n$ mit sinnvoll gewählten ganzen Zahlen $n$.
- c) Erläutern Sie, warum aus endlich vielen Messwerten nur auf die Existenz einer kleinsten Ladung geschlossen, sie aber nicht bewiesen werden kann.
Ein Schüler behauptet: „Wenn die gemessenen Ladungen beliebige Werte hätten, könnte man das im Histogramm sofort erkennen.“ Gemessen wurden 40 Tröpfchen; die Ladungen…
Ein Schüler behauptet: „Wenn die gemessenen Ladungen beliebige Werte hätten, könnte man das im Histogramm sofort erkennen.“ Gemessen wurden 40 Tröpfchen; die Ladungen häufen sich bei $1,6$; $3,2$; $4,8$; $6,4$ und $8,0$ (jeweils in $10^{-19}\ \text{C}$) mit Streuung von etwa $\pm 0,2$.
- a) Skizzieren Sie in Worten das erwartete Histogramm und vergleichen Sie es mit dem Histogramm bei kontinuierlich verteilter Ladung.
- b) Beurteilen Sie, ab welcher Messunsicherheit die Methode scheitern würde (Argument über den Abstand $e$ und die Streuung).
- c) Erklären Sie, warum Tröpfchen mit $q = e$ schwer zu messen sind.
Zurück zum Anfang: Das Tröpfchen schwebt, weil $q\cdot E = m\cdot g$ gilt; seine Ladung ist stets ein ganzzahliges Vielfaches von $e$.