Fadenstrahlrohr und spezifische Ladung – Bestimmung von e/m

Aufbau des Fadenstrahlrohrs

Das Fadenstrahlrohr ist ein Glaskolben, der mit Gas bei sehr niedrigem Druck gefüllt ist, meist Helium oder Wasserstoff bei etwa $10^{-2}\,\mathrm{mbar}$. Zwei Helmholtzspulen umgeben ihn und erzeugen ein homogenes Magnetfeld.

Die Bauteile erfüllen jeweils eine Aufgabe:

• Glühkathode: Der geheizte Draht sendet Elektronen aus (glühelektrischer Effekt, Glühemission).

• Anode: Zwischen Kathode und Anode liegt die Beschleunigungsspannung $U_B$. Sie beschleunigt die Elektronen, die durch eine Öffnung in der Anode austreten.

• Helmholtzspulen: Sie erzeugen im Raum dazwischen ein nahezu homogenes Magnetfeld, das senkrecht zur Bewegungsrichtung der Elektronen steht.

• Gasfüllung: Die schnellen Elektronen stoßen auf Gasatome und regen sie zum Leuchten an. Dadurch wird die Bahn als Leuchtfaden sichtbar. Ohne Gas wäre sie unsichtbar.

Beschleunigung im elektrischen Feld

Die Elektronen verlassen die Glühkathode praktisch in Ruhe. Beim Durchlaufen der Spannung $U_B$ nehmen sie die Energie $\Delta E_{kin} = e \cdot U_B$ auf. Das folgt aus der Definition der Spannung: Auf die Ladung $q$ wirkt im Feld die Kraft $F = qE$. Die Arbeit dieser Kraft über die Strecke $d$ ist $qEd = qU$.

Die Energie $1\,\mathrm{eV}$ (Elektronenvolt) ist die Energie, die ein Elektron beim Durchlaufen von $1\,\mathrm{V}$ gewinnt: $1\,\mathrm{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm{J}$.

Die Kreisbahn im Magnetfeld

Nun treten die Elektronen senkrecht zu den Feldlinien in das homogene Magnetfeld ein. Auf eine bewegte Ladung wirkt die Lorentzkraft $F_L = e\,v\,B$ (für $\vec{v}\perp\vec{B}$). Ihre Richtung steht senkrecht auf $\vec{v}$ und auf $\vec{B}$. Das Vorzeichen der Ladung ist dabei wichtig: Bei Elektronen verwenden Sie die Drei-Finger-Regel mit der linken Hand.

Die Kraft zeigt immer senkrecht zur Bahn. Sie ändert deshalb nur die Richtung der Geschwindigkeit, nicht ihren Betrag. Die Lorentzkraft verrichtet keine Arbeit, denn $\vec{F}_L \perp \vec{v}$. Die Elektronen behalten ihre kinetische Energie und laufen auf einer Kreisbahn. Die Lorentzkraft wirkt dabei als Zentripetalkraft.

Aus $F_L = F_{Z}$ erhalten Sie den Bahnradius:

Die Elektronen müssen nicht exakt senkrecht zu $\vec B$ eintreten. Zerlegen Sie dann $\vec v$ in $v_\perp$ und $v_\parallel$ (senkrecht und parallel zu $\vec B$). Der Anteil $v_\perp$ ergibt die Kreisbewegung mit $r = \dfrac{m\,v_\perp}{eB}$, der Anteil $v_\parallel$ bleibt unverändert, weil parallel zum Feld keine Kraft wirkt. Beides zusammen ist eine Schraubenbahn mit der Ganghöhe $h = v_\parallel \cdot T$.

Herleitung von e/m

Die Geschwindigkeit $v$ lässt sich nicht direkt messen. Sie steckt aber in beiden Gleichungen und lässt sich eliminieren:

Die Größen $U_B$, $B$ und $r$ sind messbar. Man erhält die spezifische Ladung $\dfrac{e}{m}$.

Warum bekommt man nur $e/m$ und nicht $e$ und $m$ einzeln? Beide Größen treten in den Bewegungsgleichungen nur als Quotient auf: Ein Teilchen mit doppelter Ladung und doppelter Masse läuft auf derselben Bahn. Für $m_e$ braucht man die Elementarladung $e$ aus einem zweiten Versuch, dem Millikan-Versuch:

Auswertung von Messreihen

Eine einzelne Messung ist ungenau, besonders das Ablesen von $r$ am Leuchtfaden. Besser ist eine Messreihe: Man hält $B$ konstant, verändert $U_B$ und misst jeweils $r$.

Mittelwert und Abweichung

Berechnen Sie für jede Messung $e/m$, bilden Sie den Mittelwert und vergleichen Sie ihn mit dem Literaturwert:

Typische systematische Fehlerquellen sind:

• Parallaxe beim Ablesen von $r$, weil der Leuchtfaden vor oder hinter der Messskala liegt.

• Das Erdmagnetfeld oder Streufelder, die sich dem Spulenfeld überlagern.

• Ein nicht ganz homogenes $B$, besonders am Rand der Spulen.

• Ein ungenau bestimmter Spulenstrom und damit ein ungenaues $B$.

Grafische Auswertung

Aus $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U_B}{B^2 r^2}$ folgt durch Umstellen:

Für konstantes $B$ ist $r^2$ also proportional zu $U_B$. Im $r^2$-$U_B$-Diagramm liegen die Messpunkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung

Die Ausgleichsgerade mittelt über alle Messpunkte, einzelne Ausreißer fallen weniger ins Gewicht, und die Proportionalität selbst wird sichtbar überprüft.

Das Magnetfeld der Helmholtzspulen

Das Magnetfeld in der Mitte eines Helmholtzspulenpaares (Windungszahl $N$ je Spule, Radius $R$, Stromstärke $I$) berechnet sich nach

Weil $r \sim 1/B$ und $e/m \sim 1/B^2$, geht ein Fehler in $B$ doppelt in $e/m$ ein: Ist $B$ um $10\,\%$ zu groß angenommen, ist $e/m$ um etwa $17\,\%$ zu klein ($1/1{,}1^2 \approx 0{,}83$).

Zurück zum Anfang: Der Leuchtfaden krümmt sich, weil die Lorentzkraft die Elektronen auf eine Kreisbahn zwingt. Aus ihrem Radius ergibt sich $e/m$.

Auf einen Blick

• Im Fadenstrahlrohr entstehen Elektronen durch Glühemission, werden mit $U_B$ beschleunigt und im homogenen Feld der Helmholtzspulen abgelenkt. Das verdünnte Gas macht die Bahn sichtbar.

• Beschleunigung: $e\,U_B = \tfrac12 m v^2$, also $v = \sqrt{2eU_B/m}$.

• Lorentzkraft: $F_L = e\,v\,B$ (für $\vec v\perp\vec B$). Sie verrichtet keine Arbeit, es entsteht eine Kreisbahn mit $r = \dfrac{m\,v}{e\,B}$ und $T = \dfrac{2\pi m}{eB}$.

• Bei nicht senkrechtem Eintritt entsteht eine Schraubenbahn mit der Ganghöhe $h = v_\parallel\cdot T$.

• Spezifische Ladung: $\dfrac{e}{m} = \dfrac{2U_B}{B^2 r^2}$ mit dem Literaturwert $1{,}76\cdot10^{11}\,\mathrm{C/kg}$. Die Masse $m_e$ erhält man erst mit $e$ aus einem zweiten Versuch.

• Grafisch: $r^2\sim U_B$ mit der Steigung $\dfrac{2}{B^2\,(e/m)}$. Fehler in $B$ und $r$ gehen quadratisch ein.