Wellenlängenbestimmung mit Doppelspalt und Gitter · Physik Q1 Grundkurs

Interferenz am Doppelspalt: Gangunterschied

Trifft kohärentes Licht auf zwei enge Spalte, geht von jedem Spalt nach dem Huygens'schen Prinzip eine Elementarwelle aus. Beide Wellen überlagern sich auf dem Schirm. Ob sie sich verstärken oder auslöschen, hängt nur davon ab, wie viel länger der Weg von einem Spalt zum Schirmpunkt ist als der vom anderen. Diesen Wegunterschied nennt man den Gangunterschied $\Delta s$.

Aus der Geometrie folgt für den Gangunterschied bei Beugungswinkel $\varphi$ (gemessen von der Mittellinie):

$$\Delta s = g \cdot \sin\varphi$$

Dabei ist $g$ der Spaltabstand. Der Schirm ist weit entfernt, daher laufen die beiden Strahlen zu $P$ nahezu parallel.

Das Maximum 0. Ordnung liegt auf der Mittellinie, denn dort ist $\Delta s = 0$. Es ist für alle Wellenlängen gleich.

Üben★☆☆

Geben Sie die Bedingung für Maxima beim Doppelspalt in Abhängigkeit von Gangunterschied $\Delta s$ und Wellenlänge $\lambda$ an, ebenso für Minima. Nennen Sie, warum nur…

Geben Sie die Bedingung für Maxima beim Doppelspalt in Abhängigkeit von Gangunterschied $\Delta s$ und Wellenlänge $\lambda$ an, ebenso für Minima. Nennen Sie, warum nur kohärentes Licht Interferenzmuster liefert.

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Wellenlänge aus dem Doppelspaltmuster

Gemessen werden kann $\varphi$ nicht direkt, aber der Abstand $a_k$ des $k$-ten Maximums von der Mitte und der Abstand $L$ zwischen Spalt und Schirm. Aus der Skizze gilt $\tan\varphi = \frac{a_k}{L}$.

Bei $L \gg g$ und $a_k \ll L$ ist $\varphi$ klein. Dann sind $\sin\varphi$ und $\tan\varphi$ nahezu gleich:

$$\sin\varphi \approx \tan\varphi = \frac{a_k}{L}$$

Mit der Maximumsbedingung $g \sin\varphi = k\lambda$ folgt:

$$\frac{g \cdot a_k}{L} \approx k\lambda \quad\Longrightarrow\quad a_k \approx \frac{k\,\lambda\,L}{g} \quad\text{und}\quad \lambda \approx \frac{g\,a_k}{k\,L}$$

Die Maxima liegen also in dieser Näherung im gleichen Abstand $\frac{\lambda L}{g}$ voneinander. Eine größere Wellenlänge, ein größerer Schirmabstand oder ein kleinerer Spaltabstand spreizen das Muster. Rotes Licht liegt deshalb weiter außen als blaues. Dasselbe Verhalten zeigt die Wellenwanne mit zwei Erregern: Je größer die Wellenlänge der Kreiswellen, desto weiter liegen die Linien der Verstärkung auseinander. Technisch nutzt man destruktive Interferenz beim Antischall, etwa bei Kopfhörern mit Noise-Cancelling (siehe auch WELLEN-HUYGENS).

Laserpointer am Doppelspalt

Ein Laserpointer beleuchtet einen Doppelspalt mit $g = 0{,}25\,\mathrm{mm}$. Der Schirm ist $L = 2{,}0\,\mathrm{m}$ entfernt. Das Maximum 1. Ordnung liegt $a_1 = 5{,}2\,\mathrm{mm}$ neben dem Maximum 0. Ordnung. Bestimmen Sie $\lambda$.

Prüfen der Näherung: $\tan\varphi = \frac{5{,}2\,\mathrm{mm}}{2000\,\mathrm{mm}} = 0{,}0026$. Der Winkel ist sehr klein, die Näherung ist zulässig.

Formel nach $\lambda$ auflösen: $\lambda \approx \frac{g\,a_1}{k\,L}$ mit $k = 1$.

Einsetzen (alles in Meter): $\lambda \approx \frac{0{,}25\cdot10^{-3}\,\mathrm{m}\cdot 5{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm{m}}{2{,}0\,\mathrm{m}} = 6{,}5\cdot10^{-7}\,\mathrm{m} = 650\,\mathrm{nm}$.

Welche Farbe hat das Licht? Ordnen Sie $650\,\mathrm{nm}$ dem Spektrum zu.

Sichtbares Licht liegt etwa zwischen $380\,\mathrm{nm}$ (violett) und $780\,\mathrm{nm}$ (rot). $650\,\mathrm{nm}$ ist rotes Licht, typisch für einfache Laserpointer.

Grafische Auswertung

Misst man mehrere Maxima, trägt man $a_k$ gegen $k$ auf. Nach $a_k \approx \frac{\lambda L}{g}\cdot k$ liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit der Steigung $m = \frac{\lambda L}{g}$. Damit ist $\lambda = \frac{m\,g}{L}$.

Die Gerade mittelt zufällige Ablesefehler über alle Messpunkte. Ein einzelner schlecht abgelesener Wert fällt kaum ins Gewicht. Außerdem erkennt man sofort, ob die Punkte wirklich auf einer Geraden liegen, also ob die Näherung gilt.

Üben★☆☆

Ein Laserstrahl trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g = 0,20\ \text{mm}$. Auf einem Schirm im Abstand $L = 3,0\ \text{m}$ beträgt der Abstand der…

Ein Laserstrahl trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g = 0,20\ \text{mm}$. Auf einem Schirm im Abstand $L = 3,0\ \text{m}$ beträgt der Abstand der Maxima 0. und 1. Ordnung $a_1 = 9,5\ \text{mm}$.

a) Berechnen Sie die Wellenlänge mit $\lambda \approx \frac{g\,a_1}{L}$.
b) Geben Sie die Farbe des Lichts näherungsweise an.

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Üben★★★

Für einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g$ und Schirmabstand $L \gg g$ gilt für den Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte $a_k \approx \frac{k\lambda L}{g}$. a)…

Für einen Doppelspalt mit Spaltabstand $g$ und Schirmabstand $L \gg g$ gilt für den Abstand des $k$-ten Maximums von der Mitte $a_k \approx \frac{k\lambda L}{g}$.

a) Leiten Sie die Formel über den Gangunterschied $\Delta s = g\sin\varphi$ her und geben Sie die Gültigkeitsbedingung an.
b) Bei einem Versuch wurden für $k = 1,\ldots,4$ die Werte $a_k = 6,3;\ 12,5;\ 19,0;\ 25,2\ \text{mm}$ mit $L = 2,50\ \text{m}$ und $g = 0,25\ \text{mm}$ gemessen. Bestimmen Sie $\lambda$ aus der Steigung des $a_k$-$k$-Diagramms.
c) Begründen Sie, warum die grafische Auswertung zuverlässiger ist.

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Das Gitter

Ein Gitter ist eine Anordnung sehr vieler gleich weit voneinander entfernter Spalte. Der Abstand zweier benachbarter Spalte heißt Gitterkonstante $g$. Sie wird oft über die Strichzahl angegeben:

$$g = \frac{1}{\text{Striche pro Längeneinheit}}$$

Ein Gitter mit $600$ Strichen pro Millimeter hat $g = \frac{1}{600}\,\mathrm{mm} = 1{,}67\,\mu\mathrm{m}$.

Die Maximumsbedingung ist dieselbe wie beim Doppelspalt: Der Gangunterschied zwischen benachbarten Spalten muss ein ganzes Vielfaches von $\lambda$ sein. Dann sind auch alle anderen Spalte mit dem ersten in Phase.

Weil die Winkel beim Gitter oft groß sind ($g$ ist nur wenige Wellenlängen breit), darf man dort $\sin\varphi \approx \tan\varphi$ meist nicht verwenden. Man berechnet erst $\varphi_k$ mit der Gittergleichung und dann den Abstand auf dem Schirm mit $a_k = L\cdot\tan\varphi_k$.

Grüner Laser am Gitter

Ein Gitter hat $600$ Striche pro Millimeter. Es wird senkrecht mit einem grünen Laser ($\lambda = 532\,\mathrm{nm}$) beleuchtet. Der Schirm ist $L = 1{,}0\,\mathrm{m}$ entfernt. Bestimmen Sie den Winkel und die Lage des Maximums 1. Ordnung sowie die höchste beobachtbare Ordnung.

Gitterkonstante: $g = \frac{1}{600}\,\mathrm{mm} = 1{,}667\,\mu\mathrm{m}$.

Winkel: $\sin\varphi_1 = \frac{532\,\mathrm{nm}}{1667\,\mathrm{nm}} = 0{,}319$, also $\varphi_1 \approx 18{,}6°$.

Lage auf dem Schirm: $a_1 = L\tan\varphi_1 = 1{,}0\,\mathrm{m}\cdot\tan 18{,}6° \approx 0{,}34\,\mathrm{m}$.

Bestimmen Sie die höchste beobachtbare Ordnung.

$\frac{g}{\lambda} = \frac{1667}{532} = 3{,}13$. Also ist $k_{\max} = 3$, mit $\sin\varphi_3 = 0{,}958$ und $\varphi_3 \approx 73{,}3°$. Insgesamt sieht man $2\cdot 3 + 1 = 7$ Maxima, also die 0. Ordnung und je drei Ordnungen links und rechts.

Üben★☆☆

Ein Gitter hat $500$ Striche pro Millimeter. a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $g$. b) Berechnen Sie für $\lambda = 589\ \text{nm}$ den Winkel des Maximums 1. Ordnung…

Ein Gitter hat $500$ Striche pro Millimeter.

a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $g$.
b) Berechnen Sie für $\lambda = 589\ \text{nm}$ den Winkel des Maximums 1. Ordnung mit $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{g}$.

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Üben★★☆

Mit einem Gitter ($g = 1,67\ \mu\text{m}$) werden bei $L = 2,00\ \text{m}$ die Maxima 1. Ordnung im Abstand $a = 0,79\ \text{m}$ von der Mitte beobachtet. a) Berechnen…

Mit einem Gitter ($g = 1,67\ \mu\text{m}$) werden bei $L = 2,00\ \text{m}$ die Maxima 1. Ordnung im Abstand $a = 0,79\ \text{m}$ von der Mitte beobachtet.

a) Berechnen Sie den Beugungswinkel mit $\tan\varphi = \frac{a}{L}$.
b) Berechnen Sie die Wellenlänge.
c) Erklären Sie, warum die Näherung $\sin\varphi \approx \tan\varphi$ hier nicht zulässig ist.

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Üben★★☆

Ein Gitter mit $g = 2,0\ \mu\text{m}$ wird mit Licht der Wellenlängen $\lambda_1 = 450\ \text{nm}$ und $\lambda_2 = 650\ \text{nm}$ beleuchtet. Der Schirm steht…

Ein Gitter mit $g = 2,0\ \mu\text{m}$ wird mit Licht der Wellenlängen $\lambda_1 = 450\ \text{nm}$ und $\lambda_2 = 650\ \text{nm}$ beleuchtet. Der Schirm steht $L = 1,5\ \text{m}$ vom Gitter entfernt.

a) Berechnen Sie die Winkel der 1. Ordnung für beide Wellenlängen.
b) Berechnen Sie den Abstand der beiden Maxima 1. Ordnung auf dem Schirm.
c) Bestimmen Sie die höchste beobachtbare Ordnung für $\lambda_2$.

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Weißes Licht und die Schärfe der Maxima

Spektren

Weißes Licht enthält alle Wellenlängen des sichtbaren Bereichs. Nach $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{g}$ hat jede Wellenlänge ihren eigenen Winkel. In jeder Ordnung $k \ge 1$ wird das Licht deshalb in ein Spektrum zerlegt: Violett (kleines $\lambda$) liegt dem Zentrum am nächsten, Rot (großes $\lambda$) am weitesten außen. Das Maximum 0. Ordnung bleibt weiß, weil dort für alle Wellenlängen $\Delta s = 0$ ist.

Die Spektren verschiedener Ordnungen können sich überlappen. Das Ende des Spektrums $k$-ter Ordnung (rot, $\lambda_{\mathrm r}$) überlappt mit dem Anfang des Spektrums $(k+1)$-ter Ordnung (violett, $\lambda_{\mathrm v}$), wenn $k\,\lambda_{\mathrm r} > (k+1)\,\lambda_{\mathrm v}$ gilt. Man vergleicht also die Winkel, oder gleichwertig die Produkte $k\lambda$.

Warum ein Gitter schärfere Maxima liefert

Beim Doppelspalt sind die Maxima breit und lichtschwach. Beim Gitter sind sie schmal und hell. Ein Maximum entsteht genau dann, wenn alle Spalte in Phase sind. Weicht der Winkel nur wenig ab, entsteht zwischen weit auseinanderliegenden Spalten bereits ein Gangunterschied von einer halben Wellenlänge, und diese Anteile löschen sich aus. Je mehr Spalte beleuchtet werden, desto kleiner ist die Winkelabweichung, die für die Auslöschung genügt. Für die Winkelbreite eines Maximums gilt grob

$$\Delta\varphi \approx \frac{\lambda}{N\,g\cos\varphi},$$

wobei $N\,g$ die Breite des beleuchteten Gitters ist. Mit wachsendem $N$ werden die Maxima schmaler. Gleichzeitig steckt in jedem Maximum das Licht von $N$ Spalten, deshalb ist es heller.

Breite eines Gittermaximums

Ein Gitter mit $N = 500$ beleuchteten Spalten und $g = 2{,}0\,\mu\mathrm{m}$ wird mit $\lambda = 500\,\mathrm{nm}$ beleuchtet. Wie breit ist das Maximum 1. Ordnung?

Winkel: $\sin\varphi_1 = \frac{500}{2000} = 0{,}25$, also $\cos\varphi_1 = 0{,}968$.

Breite: $\Delta\varphi \approx \frac{500\cdot10^{-9}\,\mathrm{m}}{500\cdot 2{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{m}\cdot0{,}968} = 5{,}2\cdot10^{-4}\,\mathrm{rad}$, das sind etwa $0{,}03°$.

Zwei Linien lassen sich unterscheiden, wenn ihr Winkelabstand mindestens so groß wie diese Breite ist. Aus $\varphi_1$ folgt für kleine $\Delta\lambda$ der Winkelabstand $\frac{\Delta\lambda}{g\cos\varphi_1}$. Gleichsetzen ergibt $\Delta\lambda_{\min} = \frac{\lambda}{N} = 1\,\mathrm{nm}$ in der 1. Ordnung. Diese Größenordnung der Auflösung merken Sie sich.

Üben★★☆

Weißes Licht fällt auf ein Gitter mit $400$ Strichen je Millimeter. a) Berechnen Sie die Winkel des 1. Maximums für $400\ \text{nm}$ und $750\ \text{nm}$. b) Beschreiben…

Weißes Licht fällt auf ein Gitter mit $400$ Strichen je Millimeter.

a) Berechnen Sie die Winkel des 1. Maximums für $400\ \text{nm}$ und $750\ \text{nm}$.
b) Beschreiben Sie die Anordnung der Farben im Spektrum 1. Ordnung und begründen Sie sie.
c) Prüfen Sie, ob sich das Spektrum 1. und 2. Ordnung überlappen.

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Üben★★★

Der Unterschied zwischen Doppelspalt und Gitter soll untersucht werden. a) Erklären Sie, warum die Maxima beim Gitter mit vielen Spalten schärfer und heller sind als…

Der Unterschied zwischen Doppelspalt und Gitter soll untersucht werden.

a) Erklären Sie, warum die Maxima beim Gitter mit vielen Spalten schärfer und heller sind als beim Doppelspalt.
b) Ein Gitter mit $N = 1.000$ beleuchteten Spalten hat bei $g = 2,0\ \mu\text{m}$ die Breite $N g$. Schätzen Sie die Winkelbreite eines Maximums 1. Ordnung bei $\lambda = 600\ \text{nm}$ ab (Minimum bei $\Delta\varphi \approx \frac{\lambda}{N g\cos\varphi}$).
c) Beurteilen Sie damit das Auflösungsvermögen für zwei Linien mit Abstand $\Delta\lambda = 0,6\ \text{nm}$.

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Messunsicherheit bei der Wellenlängenbestimmung

Jede Messung hat Unsicherheiten. Bei Gitterversuchen ist die Winkelmessung meist die ungenaueste Größe. Aus $\lambda = g\sin\varphi_k / k$ folgt für eine kleine Winkelunsicherheit $\Delta\varphi$ (im Bogenmaß) die relative Unsicherheit der Wellenlänge

$$\frac{\Delta\lambda}{\lambda} \approx \frac{\Delta\varphi}{\tan\varphi}.$$

Je größer der Winkel, desto kleiner die relative Unsicherheit. Deshalb misst man möglichst in hoher Ordnung, solange das Maximum noch gut erkennbar ist. Die Gitterkonstante muss dann natürlich genau bekannt sein, denn auch $g$ geht direkt in $\lambda$ ein.

Üben★★★

Bei einem Gitter mit unbekannter Gitterkonstante werden mit rotem Laser ($\lambda = 650\ \text{nm}$) die Maxima 1. Ordnung unter $\varphi = 22,9°$ gefunden. Anschließend…

Bei einem Gitter mit unbekannter Gitterkonstante werden mit rotem Laser ($\lambda = 650\ \text{nm}$) die Maxima 1. Ordnung unter $\varphi = 22,9°$ gefunden. Anschließend wird mit einer unbekannten Lichtquelle ein Maximum 2. Ordnung unter $\varphi = 38,0°$ gefunden.

a) Berechnen Sie die Gitterkonstante.
b) Berechnen Sie die unbekannte Wellenlänge.
c) Beurteilen Sie den Einfluss einer Winkelunsicherheit von $\pm 0,5°$ auf die berechnete Wellenlänge.

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Zurück zum Anfang: Die Spuren einer CD wirken als Reflexionsgitter. Misst man bei bekanntem $\lambda$ den Winkel des 1. Maximums, ergibt $g = \frac{\lambda}{\sin\varphi_1}$ die Spurbreite von etwa $1{,}6\,\mu\mathrm{m}$. Umgekehrt liefert ein Gitter mit bekanntem $g$ die Wellenlänge des Lasers.

Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt

★☆☆ Ein Laserstrahl trifft senkrecht auf einen Doppelspalt mit Spaltabstand…★☆☆ Ein Gitter hat $500$ Striche pro Millimeter. a) Berechnen Sie die Gitterkonstante $g$. b)…★☆☆ Geben Sie die Bedingung für Maxima beim Doppelspalt in Abhängigkeit von Gangunterschied…

Auf einen Blick

Der Gangunterschied am Doppelspalt ist $\Delta s = g\sin\varphi$. Maxima liegen bei $\Delta s = k\lambda$, Minima bei $\Delta s = (k+\tfrac12)\lambda$. Interferenz setzt kohärentes Licht voraus.
Für kleine Winkel gilt $a_k \approx \frac{k\lambda L}{g}$, also $\lambda \approx \frac{g\,a_k}{k\,L}$. Die Auftragung $a_k$ gegen $k$ ergibt eine Ursprungsgerade mit der Steigung $\frac{\lambda L}{g}$.
Beim Gitter gilt $\sin\varphi_k = \frac{k\lambda}{g}$ mit der Gitterkonstanten $g = \frac{1}{\text{Striche pro Länge}}$. Die höchste Ordnung erfüllt $k \le \frac{g}{\lambda}$. Bei großen Winkeln rechnet man mit $a_k = L\tan\varphi_k$.
Weißes Licht wird in Spektren zerlegt, mit Violett innen und Rot außen. Das Maximum 0. Ordnung bleibt weiß.
Viele Spalte machen die Maxima schmal ($\Delta\varphi \approx \frac{\lambda}{N g\cos\varphi}$) und hell. Das Gitter ist daher genauer als der Doppelspalt.
Messungen in hoher Ordnung (großer Winkel) verringern die relative Unsicherheit von $\lambda$.